Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Lời giải chi tiết:
- Ý a: SAI. Đạo hàm của hàm số là $y^{\prime }=3x^2-6x$.
- Ý b: SAI. Ta có $y^{\prime }=3x(x-2)<0$ với mọi $x\in (0;2)$, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.
- Ý c: SAI. Điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba là tâm đối xứng: $y^{\prime \prime }=6x-6=0\iff x=1\Rightarrow y(1)=1-3-1=-3$. Do đó tâm đối xứng là $I(1;-3)\ne I(1;-1)$.
- Ý d: ĐÚNG. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Hai điểm cực trị là $A(0;-1)$ và $B(2;-5)$. Diện tích tam giác $OAB$ là $S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|=\frac{1}{2}|0\cdot (-5)-2\cdot (-1)|=1$.

Dựa vào đồ thị ta thấy:
- Đường tiệm cận đứng là $x=1$, tiệm cận ngang là $y=1$.
- Đồ thị cắt trục hoành tại $(-2;0)$ và cắt trục tung tại $(0;-2)$.
Kiểm tra hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ thỏa mãn tất cả các tính chất trên.
Chọn A.

Lời giải chi tiết:

- Ý a: ĐÚNG. $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-3)(x-1)-(x^2-3x+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$.
- Ý b: SAI. $f^{\prime }(x)<0\iff x\in (0;1)\cup (1;2)$. Hàm số gián đoạn tại $x=1$ nên không nghịch biến trên $(0;2)$.
- Ý c: ĐÚNG. $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=2$, $f(2)=1$. Điểm cực tiểu của đồ thị là $(2;1)$.
- Ý d: SAI. Trên $[-2;0]$, $x\le 0\Rightarrow f^{\prime }(x)\ge 0$, hàm số đồng biến. Do đó ${\max }_{[-2;0]}f(x)=f(0)=-3\ne 0$.

a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0,\forall x\ne 1$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Mệnh đề a) SAI.
b) Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Giao điểm hai đường tiệm cận là tâm đối xứng $I(1;1)$. Mệnh đề b) ĐÚNG.
c) Giao điểm của $(C)$ với trục tung là $M_0(0;-2)$. Hệ số góc tiếp tuyến tại $M_0$: $y^{\prime }(0)=-3$. Phương trình tiếp tuyến là $y=-3x-2$. Thay $A(2;-3)$ vào: $-3\ne -3(2)-2=-8$, nên tiếp tuyến không đi qua $A$. Mệnh đề c) ĐÚNG.
d) Tịnh tiến hệ trục tọa độ về tâm đối xứng $I(1;1)$ bằng cách đặt $X=x-1,Y=y-1$. Hàm số trở thành $Y=-\frac{3}{X}$ (hay xét đối xứng: trên hệ trục cũ $y-1=\frac{3}{x-1}\iff Y=\frac{3}{X}$). Tọa độ điểm $A$ trong hệ trục mới là $A(1;-4)$.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $I(0;0)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M,N$ nên có dạng $Y=kX$ với $k>0$. Khi đó $kX=\frac{3}{X}\iff X=\pm \sqrt{\frac{3}{k}}$, suy ra $M\left(\sqrt{\frac{3}{k}};\sqrt{3k}\right)$ và $N\left(-\sqrt{\frac{3}{k}};-\sqrt{3k}\right)$.
Do $I$ là trung điểm $MN$: $S_{△AMN}=2S_{△AIM}=|X_A{Y}_M-Y_A{X}_M|=\left|1\cdot \sqrt{3k}-(-4)\cdot \sqrt{\frac{3}{k}}\right|=\sqrt{3}\left(\sqrt{k}+\frac{4}{\sqrt{k}}\right)\ge \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{\sqrt{k}\cdot \frac{4}{\sqrt{k}}}=4\sqrt{3}$.
Dấu "$=$" xảy ra khi $k=4$. Vậy diện tích nhỏ nhất của tam giác $AMN$ bằng $4\sqrt{3}$. Mệnh đề d) ĐÚNG.

a) Đúng: Điều kiện xác định là $x+1\ne 0\iff x\ne -1\Rightarrow D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) Sai: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thu được từ nghiệm của mẫu số là đường thẳng $x=-1$.
c) Đúng: Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{2\cdot 1-(-3)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{5}{(x+1{)}^2}>0,\forall x\ne -1$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$.
d) Đúng: Giao điểm hai đường tiệm cận (đứng $x=-1$, ngang $y=2$) là tâm đối xứng $I(-1;2)$. Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình đường thẳng $d$: $-1+2(2)-3=0$ (đúng), vậy tâm đối xứng nằm trên đường thẳng $d$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 3 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

- Ý a: Điều kiện xác định $x\ne 2$, vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ý a đúng.
- Ý b: Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x-3)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-2}=0$ nên tiệm cận xiên của $(C)$ là đường thẳng $y=x-3$. Ý b đúng.
- Ý c: Tiệm cận đứng là $x=2$, tiệm cận xiên là $y=x-3$. Giao điểm của hai đường tiệm cận là $I(2;-1)$, chính là tâm đối xứng của $(C)$. Ý c đúng.
- Ý d: Đạo hàm $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-2{)}^2}=0⟺(x-2{)}^2=4⟺x=4$ hoặc $x=0$.
Với $x=4⟹y=3⟹A(4;3)$.
Với $x=0⟹y=-5⟹B(0;-5)$.
Khoảng cách $AB=\sqrt{(4-0{)}^2+(3-(-5){)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\ne 4\sqrt{6}$. Do đó ý d sai.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 579, trang 5), Câu 9 (Phần I) chọn đáp án A.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$, đi qua $(1;0)$ và $(0;-1)$, ứng với $y=\frac{x-1}{x+1}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 579, trang 5), Câu 3 (Phần II, câu 15): a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

Ta có $y=x+4+\frac{3}{x+2}$ và $y^{\prime }=1-\frac{3}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x+1}{(x+2{)}^2}$, nên cả $4$ khẳng định a, b, c, d đều đúng.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 9125, trang 5), Câu 1 (Phần II, câu 13): a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Từ BBT, $a>0$ (a đúng); hai điểm cực trị là $A(1;2)$ và $B(3;-2)$ nên tâm đối xứng là $I(2;0)$ có tung độ bằng $0$ (b sai); công thức hàm số là $f(x)=x^3-6x^2+9x-2$ (c sai); $I(2;0)$ là trung điểm của cả $AB$ và $MN$ nhưng $IA=\sqrt{5}\ne IM=\sqrt{3}$ nên $A,B,M,N$ không cùng thuộc một đường tròn (d đúng).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 9125, trang 5), Câu 4 (Phần II, câu 16): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Ta có $f(x)=2x-1+\frac{1}{x+1}$ có TCĐ $x=-1$ (a đúng); $f^{\prime }(x)=2-\frac{1}{(x+1{)}^2}=0$ có $2$ nghiệm phân biệt (b đúng); đường thẳng qua hai điểm cực trị là $y=4x+1$ cắt $x=-1$ tại $(-1;-3)$ (c sai); $M(1;\frac{3}{2})$ cách tiệm cận xiên $2x-y-1=0$ một khoảng $\frac{1}{2\sqrt{5}}$ (d đúng).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 083, trang 5), Câu 4 (Phần I) chọn đáp án A.

Đồ thị hàm bậc ba có hệ số $a<0$, đạt cực tiểu tại $(1;1)$ và cực đại tại $(3;5)$, đi qua $(0;5)$, ứng với $y=-x^3+6x^2-9x+5$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 083, trang 5), Câu 1 (Phần II, câu 13): a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Ta có $f(x)=-\frac{1}{2}x+1+\frac{2}{x-1}$ có TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, $f^{\prime }(x)<0$ trên từng khoảng xác định, tâm đối xứng $(1;\frac{1}{2})$ và đồ thị như hình vẽ.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 083, trang 5), Câu 1 (Phần III, câu 17) có đáp số là $0$.

Điểm cực tiểu $(0;-2)$ và điểm cực đại $(2;2)$ có trung điểm là tâm đối xứng $I(1;0)$ của đồ thị hàm bậc ba, nên $f(1)=0$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 221, trang 4), Câu 4 (Phần I) chọn đáp án B.

Đồ thị hàm bậc ba có hệ số $a<0$, đạt cực tiểu tại $(0;-4)$ và đạt cực đại tại $(2;0)$, ứng với $y=-x^3+3x^2-4$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 10 (Phần I) chọn đáp án B.

Đồ thị là hàm số bậc ba có $a>0$, đạt cực đại tại $(-1;4)$ và cực tiểu tại $(1;0)$, nên là hàm số $y=x^3-3x+2$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 1 (Phần II, câu 13): a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

a) Sai ($2+(-2)=0\ne 4$). b) Sai (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{12}{f(x)}=0$ nên chỉ có $1$ tiệm cận ngang $y=0$). c) Đúng. d) Sai (trên $[-\sqrt{3};\sqrt{3}]$, $M=2,m=-2⟹4M-\frac{3}{2}m=11\ne 5$).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 2 (Phần II, câu 14): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

a) Sai (hàm số không có cực trị). b) Đúng (hàm số đồng biến trên $[3;5]$ nên GTNN là $f(3)$). c) Sai (tiệm cận ngang là $y=-1$, còn $x=2$ là tiệm cận đứng). d) Đúng.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 3 (Phần II, câu 15): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

a) Đúng. b) Đúng. c) Sai (theo đáp án chính thức Mã đề 101 trang 4 và trang 6). d) Đúng (tổng giá trị cực đại và cực tiểu là $-6+2=-4$).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 3 (Phần III, câu 19) có đáp số là $0,2$.

Ta có $y=2x+3+\frac{10}{x-1}$. Giao điểm của TCĐ $x=1$ và TCX $y=2x+3$ là tâm đối xứng $I(1;5)⟹\frac{c}{d}=\frac{1}{5}=0,2$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề thi 1121, trang 6), Câu 3 (Phần II, câu 15): a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

a) Đúng. b) Sai (tiệm cận xiên đi qua $(0;1)$ và $(1;0)$ là $y=-x+1$). c) Sai ($(0;2)$ là điểm cực tiểu và $(2;-2)$ là điểm cực đại). d) Đúng (giao điểm của hai đường tiệm cận là $(1;0)$).