Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x$ và đi qua điểm $(0;2)$, phù hợp với hàm số $y=x+\frac{2}{x+1}=\frac{x^2+x+2}{x+1}$.

Ta có $y=x+\frac{1}{x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. a) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0⟺x=0$ (cực đại) hoặc $x=2$ (cực tiểu) (Đúng). b) Hàm số gián đoạn tại $x=1\in (0;2)$ (Sai). c) Tiệm cận đứng là $x=1$ (Đúng). d) Tiệm cận xiên là $y=x$, vuông góc với đường thẳng $x+y+6=0$ (Sai).

a) Vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên $(-\infty ;2)$ (Sai). b) $f(x)+1=0⟺f(x)=-1\in (-2;1)$, nên phương trình có $3$ nghiệm thực phân biệt (Đúng). c) Điểm cực tiểu của hàm số là $x=2$ (Đúng). d) Hàm số nghịch biến trên $(-1;2)$ nên nghịch biến trên $(0;1)$ (Đúng).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0110, trang 5), Câu 5 (Phần I) chọn đáp án D.

Đường cong là đồ thị hàm đa thức bậc ba có nhánh cuối đi xuống khi $x\to +\infty$, suy ra hệ số $a<0$. Đồ thị đi qua điểm cực tiểu $(0;-4)$ và cực đại $(2;0)$. Hàm số thỏa mãn là $y=-x^3+3x^2-4$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0110, trang 5), Câu 3 (Phần II) có đáp án là: a:S,b:Đ,c:S,d:Đ.

a) Sai. Tính đơn điệu không được kết luận trên hợp của hai khoảng rời nhau.
b) Đúng. Ta có $y^{\prime }=\frac{-2x(x-2)}{(x-1{)}^2}$. Khi qua $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.
c) Sai. Trên $\left[\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right]$, hàm số nghịch biến nên giá trị nhỏ nhất tại $x=\frac{7}{2}$ và bằng $y\left(\frac{7}{2}\right)=-7,8\ne -7$.
d) Đúng. Hai điểm cực trị $A(0;2)$ và $B(2;-6)$. Dựa vào tính chất chân đường phân giác trong, tọa độ $D(a;b)$ thỏa mãn $a+b=\frac{1}{2}$.

a) Sai. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3$.
b) Đúng. Vì $f^{\prime }(x)=3(x^2-1)<0,\forall x\in (-1;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.
c) Đúng. Ta có $f^{\prime \prime }(x)=6x=0\iff x=0\Rightarrow y=f(0)=-1$, nên điểm uốn $I(0;-1)$ là tâm đối xứng của đồ thị.
d) Đúng. Đồ thị đi qua $(-1;1)$, $(0;-1)$, $(1;-3)$ và có nhánh phải đi lên nên đúng như hình vẽ.

a) Đúng. Điều kiện xác định $x+1\ne 0\iff x\ne -1$, nên tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) Sai. Ta có $y^{\prime }=\frac{2\cdot 1-1\cdot (-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0,\forall x\ne -1$.
c) Sai. Vì $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\in (-\infty ;-1)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$.
d) Đúng. Do hàm số đồng biến trên nửa khoảng $[-2;-1)$ nên ${\min }_{[-2;-1)}y=y(-2)=\frac{2(-2)-1}{-2+1}=5$.

Ta có $y=3-\frac{4}{x-1}$ ($x\ne 1$), tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=3$.
a) Tích khoảng cách từ $M(x;y)\in (C)$ đến hai tiệm cận là $|x-1|\cdot |y-3|=|x-1|\cdot \frac{4}{|x-1|}=4$. Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=\frac{4}{(x-1{)}^2}>0,\forall x\ne 1$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$. Đúng.
c) Vì $f(x)$ đồng biến trên $[-1;1)$ nên ${\min }_{[-1;1)}f(x)=f(-1)=\frac{-10}{-2}=5\ne 2$. Sai.
d) Giao điểm hai đường tiệm cận $I(1;3)$ là tâm đối xứng của $(C)$. Đúng.

Từ bảng biến thiên: ${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty$ nên loại B và D. Tại $x=1$ thì $y=0$, thay $x=1$ vào hàm số ở đáp án A được $y=\frac{1-2+1}{1+4}=0$ (trong khi đáp án C cho $y=\frac{1-4+2}{5}=-\frac{1}{5}\ne 0$). Chọn A.

Ta có $y=-2x-\frac{2}{x-1}$ ($x\ne 1$), $y^{\prime }=-2+\frac{2}{(x-1{)}^2}=\frac{-2x^2+4x}{(x-1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.
a) Tại $x=0$ hàm số đạt cực tiểu $y_{CT}=y(0)=2$ (còn $y=-6$ là giá trị cực đại tại $x=2$). Sai.
b) Tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=-2x$, giao điểm là $I(1;-2)$. Đúng.
c) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, không dùng kí hiệu hợp $\cup$. Sai.
d) Tịnh tiến hệ trục về tâm $I(1;-2)$ với $X=x-1,Y=y+2$, phương trình $(C)$ trở thành $2X^2+XY+2=0$. Đường tròn Monge (quỹ tích điểm $M$ nhìn hypebol dưới góc vuông) có bán kính $R=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16}=4$. Đúng.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0104, trang 5), Câu 1 (Phần II): a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Chia đa thức: $f(x)=2x+1+\frac{1}{x+1}$.
- Ý c: ${\lim }_{x\to \pm \infty }[f(x)-(2x+1)]=0$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $y=2x+1$. Ý c đúng.
- Ý b: Đạo hàm $f^{\prime }(x)=2-\frac{1}{(x+1{)}^2}=0⟺(x+1{)}^2=\frac{1}{2}⟺x=-1\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Ý b đúng.
- Ý a: Trên $\left[-\frac{1}{2};0\right]$, điểm tới hạn là $x=-1+\frac{1}{\sqrt{2}}$. Giá trị nhỏ nhất là $f\left(-1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=2\sqrt{2}-1\ne 2\sqrt{2}-2$. Ý a sai.
- Ý d: Điểm cực đại là $x=-1-\frac{1}{\sqrt{2}}$, giá trị cực đại là $f\left(-1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-1-2\sqrt{2}\ne -2\sqrt{2}+1$. Ý d sai.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=1$ và cắt trục hoành tại điểm $(3;0)$, cắt trục tung tại $\left(0;\frac{3}{2}\right)$, phù hợp với hàm số $y=\frac{x-3}{x-2}$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-3$ (ý c đúng). Tại $x=3$: $y(3)=20,y^{\prime }(3)=24$, tiếp tuyến là $y=24(x-3)+20=24x-52$ (ý a đúng). Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với $y_{\text{CĐ}}=4$ và đạt cực tiểu tại $x=1$ với $y_{\text{CT}}=0$ (nên ý b sai, và bảng biến thiên ở ý d ghi giá trị cực tiểu bằng $2$ là sai).

a) Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ (Đúng). b) $y=-x+4-\frac{9}{x+2}⟹y^{\prime }=-1+\frac{9}{(x+2{)}^2}=\frac{-(x+2{)}^2+9}{(x+2{)}^2}$ (Sai). c) Hàm số không xác định tại $x=-2\in (-5;1)$ (Sai). d) Tiệm cận xiên là $y=-x+4\ne -x$ (Sai).

a) Đồ thị cắt trục hoành tại $(4;0)$ và cắt trục tung tại $(0;-1)$ (Sai). b, c) $y^{\prime }=\frac{1\cdot 4-2(-4)}{(2x+4{)}^2}=\frac{12}{(2x+4{)}^2}>0,\forall x\ne -2$, nên ý c sai và hàm số đồng biến trên $(-1;0)$ (ý b đúng). d) Tiệm cận đứng là $x=-2$ (Đúng).

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận ngang $y=-3$, nên tâm đối xứng là $I(-2;-3)$, suy ra hoành độ $a=-2$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 1 (Phần II, câu 13): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Lời giải chi tiết:

- a) ĐÚNG: Điều kiện xác định $x-1\ne 0⟺x\ne 1$. Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

- b) SAI: Cho $x=0⟹y=\frac{6}{-1}=-6$. Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $M(0;-6)$, không phải $(0;-5)$.

- c) ĐÚNG: Chia đa thức: $\frac{x^2-3x+6}{x-1}=x-2+\frac{4}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, ${\lim }_{x\to \pm \infty }[y-(x-2)]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-1}=0$. Vậy đường thẳng $y=x-2$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

- d) SAI: Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x-1)-(x^2-3x+6)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0⟺x=-1$ hoặc $x=3$. Qua $x=-1$, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên $x=-1$ là điểm cực đại của hàm số, không phải điểm cực tiểu.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên đi qua $(0;2),(-2;0)$ là đường thẳng $y=x+2$. Ta có $y=\frac{x^2+x-3}{x-1}=x+2-\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x+2$ và đi qua $(0;3)$. Chọn C.

Ta có $f(x)=2x-3+\frac{4}{x+3}$ ($x\ne -3$).
a) Sai: $f^{\prime }(x)=2-\frac{4}{(x+3{)}^2}=\frac{2x^2+12x+14}{(x+3{)}^2},\forall x\ne -3$.
b) Đúng: Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }[f(x)-(2x-3)]=0$ nên tiệm cận xiên là $d:y=2x-3$.
c) Đúng: Giao điểm của tiệm cận đứng $x=-3$ và tiệm cận xiên $y=2x-3$ là $I(-3;-9)$, đây là tâm đối xứng của đồ thị.
d) Sai: $f^{\prime }(x)=0\iff (x+3{)}^2=2\iff x=-3\pm \sqrt{2}$. Hai điểm cực trị là $A(-3-\sqrt{2};-9-4\sqrt{2})$ và $B(-3+\sqrt{2};-9+4\sqrt{2})$. Diện tích tam giác $OAB$ là $S_{OAB}=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|=3\sqrt{2}\ne 6\sqrt{2}$.

Đồ thị là của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-2$, cắt trục hoành tại $(2;0)$ và cắt trục tung tại $(0;-4)$, ứng với hàm số $y=\frac{-2x+4}{x-1}$. Chọn C.