Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x$. Điểm cực đại là $(0;-1)$, điểm cực tiểu là $(2;3)$. Xét hàm số $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$ thoả mãn đầy đủ các đặc trưng trên. Chọn B.

a) Ta có $y=x-2+\frac{4}{x-1}$. Đạo hàm $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=0⟺(x-1{)}^2=4⟺x=3$ hoặc $x=-1$. Tại $x=3$ hàm số đạt cực tiểu và $y_{CT}=3$. Điểm cực tiểu là $(3;3)⟹a=3,b=3⟹a^2+b=9+3=12$ (Đúng).
b) Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }[y-(x-2)]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-1}=0$, do đó tiệm cận xiên là $y=x-2$ (Đúng).
c) Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=2$ tạo với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích không bằng $12$ (Sai).
d) Khảo sát tương giao đồ thị để tìm các giá trị nguyên của $m$ thoả mãn điều kiện nghiệm cho đúng $9$ giá trị nguyên (Đúng).

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x-3$. Khi $x=0\Rightarrow y=1$. Chọn D: $y=\frac{x^2-4x-1}{x-1}$ (theo mã đề 101).

Theo bảng đáp án chính thức mã đề 101 của trường THPT Diễn Châu 5, đáp án là $1$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề 0101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Theo bảng đáp án chính thức:
a) Đúng: Mẫu $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, TXĐ $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) Sai: $x=1$ là tiệm cận đứng.
c) Sai: $y=x-2+\frac{4}{x-1}$, tiệm cận xiên là $y=x-2$ không đi qua gốc tọa độ $(0;0)$.
d) Đúng: $y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x-1)-(x^2-3x+6)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}=0\iff x=3$ hoặc $x=-1$. Tại $x=3$, $y(3)=\frac{9-9+6}{2}=3$ là giá trị cực tiểu.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 111, trang 5), Câu 4 (Phần II): a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

- **Ý d) Đúng:** $f(x)=x-3+\frac{9}{x+1}\Rightarrow f^{\prime }(x)=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$.
- **Ý a) Sai:** $f^{\prime }(x)=0\iff x=-4$ (điểm cực đại, $f_{\text{CĐ}}=f(-4)=-10$) hoặc $x=2$ (điểm cực tiểu, $f_{\text{CT}}=f(2)=2$).
- **Ý b) Đúng:** Tiệm cận đứng là $x=-1$ và tiệm cận xiên là $y=x-3$.
- **Ý c) Đúng:** Giao điểm hai tiệm cận là $I(-1;-4)$. Đặt $t=x+1>1$ thì $I{M}^2=2t^2+\frac{81}{t^2}+18$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $2t^2=\frac{81}{t^2}\iff t=\frac{3}{\sqrt[4]{2}}\iff x=\frac{3}{\sqrt[4]{2}}-1$.

Đồ thị có nhánh cuối đi lên nên $a>0$, đi qua gốc tọa độ $(0;0)$ nên $d=0$, có hai điểm cực trị tại $x=\pm 1$ với giá trị cực trị là $\mp 2$. Vậy $y=x^3-3x$.

a) Sai: $f^{\prime }(x)=\frac{(4x+3)(x+3)-(2x^2+3x-5)}{(x+3{)}^2}=\frac{2x^2+12x+14}{(x+3{)}^2}\ne \frac{2x^2+12x-14}{(x+3{)}^2}$.
b) Đúng: $f(x)=2x-3+\frac{4}{x+3}\Rightarrow y=2x-3$ là tiệm cận xiên.
c) Sai: Tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận $x=-3$ và $y=2(-3)-3=-9$, tức $I(-3;-9)\ne (3;3)$.
d) Đúng: Giao điểm của tiệm cận xiên với các trục là $A\left(\frac{3}{2};0\right)$ và $B(0;-3)$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot 3=\frac{9}{4}=2,25>2$.

Đường tròn có bán kính $R=4\text{ m}$.
a) Đúng: Điểm chính giữa các cung trên đường tròn bán kính 4 có tọa độ góc $135^{\circ }$ và $-45^{\circ }$, tương ứng $E(-2\sqrt{2};2\sqrt{2})$ và $F(2\sqrt{2};-2\sqrt{2})$.
b) Sai: $f(x)=a{x}^3+bx$ đi qua $(\pm 4;0)$ và $F(2\sqrt{2};-2\sqrt{2})$, ta có $a(4^2)+b=0\Rightarrow b=-16a$. Tại $x=2\sqrt{2}$: $a(16\sqrt{2})+b(2\sqrt{2})=-2\sqrt{2}\Rightarrow 16a+2b=-2\Rightarrow 16a-32a=-2\Rightarrow -16a=-2\Rightarrow a=\frac{1}{8}\Rightarrow b=-2$. Khi đó $a+b=\frac{1}{8}-2=-\frac{15}{8}\ne -15$.
c) Đúng: Do tính đối xứng tâm qua gốc tọa độ, phần diện tích trồng hoa chiếm một nửa diện tích hình tròn cộng/trừ diện tích bù trừ đối xứng, tính tích phân cho ra $S=16+8\pi {\text{ m}}^2$.
d) Sai: Tổng diện tích hình tròn là $16\pi$. Chi phí tính được khác 8117 nghìn đồng.
(Theo bảng đáp án chính thức mã đề 1101: ĐSĐS).

Từ đồ thị, khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$, suy ra hệ số bậc cao nhất $a<0$.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, tức là $y(0)=-d<0\Rightarrow d>0$.
Vậy $a<0,d>0$.
(Theo bảng đáp án chính thức mã đề 601: A).

a) Đúng: Đồ thị đi xuống trên $(-1;1)$ nên hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$.
b) Đúng: Hàm số có hai điểm cực trị tại $x=-1$ và $x=1$.
c) Sai: Trên $[-2;2]$, $f(2)=2^3-3(2)+1=3>2$, do đó giá trị lớn nhất bằng 3.
d) Đúng: $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Đồ thị đi qua $(0;1)\Rightarrow d=1$. Cực trị tại $x=\pm 1$ và đi qua $(-1;3),(1;-1)$ suy ra $f(x)=x^3-3x+1$.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 11, mã đề 0101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

a) Đúng: $f^{\prime }(x)=\frac{1(1)-(-2)(1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}$.
b) Sai: $f(3)=\frac{3-2}{3+1}=\frac{1}{4}\ne 1$.
c) Đúng: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$, đi qua $(2;0)$ và $(0;-2)$.
d) Sai: $f(0)=-2\ne 2$ và $f(-2)=\frac{-4}{-1}=4\ne 0$.

Từ đồ thị ta suy ra hàm số là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, nên hàm số là $y=\frac{x+1}{x-1}$. Chọn B.

Từ hệ phương trình $h(0)=0,h^{\prime }(0)=0,h(4)=2,h^{\prime }(4)=0,75$, giải được $a=-\frac{1}{64},b=\frac{3}{16},c=d=0$. Suy ra $h(t)=-\frac{t^3}{64}+\frac{3t^2}{16}$. Tại $t=8$, $h(8)=-\frac{512}{64}+\frac{3\times 64}{16}=-8+12=4\text{ m}$.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 5, mã đề 1079; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 5, mã đề 1079; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x-2$ và có hai nhánh đặc trưng của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất $y=\frac{x^2-3x+1}{x-1}$.

Đồ thị có dạng đường cong bậc ba với nhánh cuối cùng đi xuống khi $x\to +\infty$, suy ra hệ số $a<0$.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-4)$ và có hai điểm cực trị $(0;-4)$ và $(2;0)$.
Hàm số $y=-x^3+3x^2-4$ có $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$, thỏa mãn.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 7, mã đề 0512: A).