Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng chứa trục $Oz$ có dạng $ax+by=0$ (không chứa $z$). Vì đi qua $A(1;2;3)$ nên $a+2b=0$, chọn $a=2,b=-1$ được $2x-y=0$. Kiểm tra: $A(1;2;3)$ thỏa $2\cdot 1-2=0$; trục $Oz$ (các điểm $(0;0;z)$) cũng thỏa. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Q)$ song song với $(P):3x-2y+4z-5=0$ nên có dạng $3x-2y+4z+d=0$. Vì $(Q)$ đi qua $A(2;-1;-3)$ nên $3(2)-2(-1)+4(-3)+d=0\iff 6+2-12+d=0\iff d=4$. Vậy $(Q):3x-2y+4z+4=0$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB là $I(1;1;2)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(-6;2;2)$, chọn vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-1;-1)$. Mặt phẳng trung trực đi qua $I$ và vuông góc với $\overrightarrow{AB}$: $3(x-1)-(y-1)-(z-2)=0\iff 3x-y-z=0$. Vậy đáp án D. Kiểm tra: $A$: $12-0-1=11\ne 0$... thực tế $3(4)-0-1=11\ne 0$ (A không thuộc mặt phẳng, đúng vì mặt trung trực không qua A); $I$: $3-1-2=0$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-1;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(2;-2;-3)$. Pháp vector $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(3-2;-2+3;-2+2)=(1;1;0)$. Mặt phẳng qua $A(2;3;5)$: $1(x-2)+1(y-3)+0(z-5)=0\iff x+y-5=0$. Kiểm tra: $B(3;2;4)$: $3+2-5=0$ ✓; $C(4;1;2)$: $4+1-5=0$ ✓. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(1;-2;3)$ đến mặt phẳng $(P):3x+4y+2z+4=0$ là $d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot (-2)+2\cdot 3+4|}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}}=\frac{|3-8+6+4|}{\sqrt{29}}=\frac{5}{\sqrt{29}}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $M(1;2;3)$ trên $Ox,Oy,Oz$ lần lượt là $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;3)$. Mặt phẳng đi qua ba điểm này có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$. Kiểm tra: $A(1;0;0)$: $\frac{1}{1}=1$ ✓; $B(0;2;0)$: $\frac{2}{2}=1$ ✓; $C(0;0;3)$: $\frac{3}{3}=1$ ✓. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $AB=\sqrt{(3-1{)}^2+(4-2{)}^2+(4-3{)}^2}=\sqrt{4+4+1}=3$. Khoảng cách từ $A(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(P):2x+y+mz-1=0$ là $d(A,(P))=\frac{|2\cdot 1+2+3m-1|}{\sqrt{4+1+m^2}}=\frac{|3+3m|}{\sqrt{5+m^2}}$. Theo đề: $\frac{|3+3m|}{\sqrt{5+m^2}}=3\iff |1+m|=\sqrt{5+m^2}\iff 1+2m+m^2=5+m^2\iff 2m=4\iff m=2$. Vậy $m=2$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(0;-1;4)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;2;-1)$ có phương trình: $2(x-0)+2(y+1)-1(z-4)=0$, tức $2x+2y+2-z+4=0\iff 2x+2y-z+6=0$. Kiểm tra: thay $A(0;-1;4)$: $0-2-4+6=0$ đúng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-4;2;0)$, $\overrightarrow{AC}=(0;-4;4)$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(2\cdot 4-0\cdot (-4);0\cdot 0-(-4)\cdot 4;(-4)(-4)-0\cdot 0)=(8;16;16)$. Chia cho 8 được $(1;2;2)$, ứng với phương án A. Kiểm tra: $(1;2;2)\cdot (-4;2;0)=0$ và $(1;2;2)\cdot (0;-4;4)=0$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua ba điểm trên các trục $A(-2;0;0)$, $B(0;3;0)$, $C(0;0;1)$ có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{1}=1$. Kiểm tra: tại $A$: $\frac{-2}{-2}=1$; tại $B$: $\frac{3}{3}=1$; tại $C$: $\frac{1}{1}=1$, thỏa mãn. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(0;4;2)$, $\overrightarrow{AC}=(-3;4;3)$. Vecto pháp tuyến: $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(4\cdot 3-2\cdot 4;2\cdot (-3)-0\cdot 3;0\cdot 4-4\cdot (-3))=(4;-6;12)\parallel (2;-3;6)$. Mặt phẳng qua $A(3;-2;-2)$: $2x-3y+6z+d=0$ với $2\cdot 3-3\cdot (-2)+6\cdot (-2)+d=0\Rightarrow 6+6-12+d=0\Rightarrow d=0$. Vậy $(ABC):2x-3y+6z=0$, tương ứng phương án C. Kiểm tra: $B$: $6-6+0=0$ ✓, $C$: $0-6+6=0$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):3x+y-z-12=0$ có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;1;-1)$ nên a) đúng. Thay $A(5;3;-6)$: $3\cdot 5+3-(-6)-12=15+3+6-12=12\ne 0$ nên $(P)$ không đi qua $A$, b) sai. Với $M(a;b;1)\in (P)$: $3a+b-1-12=0\iff 3a+b=13\ne -13$, c) sai. Cắt $Ox$: $y=z=0\Rightarrow x=4$ nên $A(4;0;0)$; cắt $Oz$: $x=y=0\Rightarrow z=-12$ nên $B(0;0;-12)$. Khi đó $OA=4$, $OB=12$, $AB=\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}\approx 12,65$. Chu vi tam giác $OAB=16+4\sqrt{10}\approx 28,65\ne 12$, d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $3x+y-z-12=0$, hệ số của $x,y,z$ cho véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;1;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(5;3;-6)$ vào $(P)$: $15+3+6-12=12\ne 0$ nên $A\notin (P)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M(a;b;1)\in (P)\Rightarrow 3a+b-1-12=0\iff 3a+b=13$, không phải $-13$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A(4;0;0)$, $B(0;0;-12)$ nên $OA=4$, $OB=12$, $AB=4\sqrt{10}$. Chu vi $=16+4\sqrt{10}\approx 28,65\ne 12$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Q)$ song song với $(P):3x-2y+4z-5=0$ nên có dạng $3x-2y+4z+D=0$. Vì $(Q)$ đi qua $A(2;-1;-3)$ nên $3(2)-2(-1)+4(-3)+D=0\iff 6+2-12+D=0\iff D=4$. Vậy $(Q):3x-2y+4z+4=0$. Kiểm tra: thay $A$ vào $3x-2y+4z+4=6+2-12+4=0$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(1;-2;3)$ đến mặt phẳng $(P):3x+4y+2z+4=0$ là $d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot (-2)+2\cdot 3+4|}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}}=\frac{|3-8+6+4|}{\sqrt{29}}=\frac{5}{\sqrt{29}}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ thuộc trục $Oy$ nên $M(0;y;0)$. Khoảng cách từ $M$ đến $(P):x+y-z+1=0$ là $d(P)=\frac{|y+1|}{\sqrt{3}}$; khoảng cách đến $(Q):x-y+z-5=0$ là $d(Q)=\frac{|-y-5|}{\sqrt{3}}=\frac{|y+5|}{\sqrt{3}}$. Cách đều nên $|y+1|=|y+5|$, suy ra $y+1=-(y+5)\Rightarrow y=-3$. Vậy $M(0;-3;0)$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng song song với $(\beta ):x+y-z+3=0$ có dạng $(\alpha ):x+y-z+c=0$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng: $d((\alpha ),(\beta ))=\frac{|c-3|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|c-3|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\Rightarrow |c-3|=3\Rightarrow c=0$ hoặc $c=6$. Vậy có hai mặt phẳng: $x+y-z+6=0$ và $x+y-z=0$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):\frac{x}{-2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{3}=1$. Nhân hai vế với $-6$ (BCNN của 2, 1, 3 đổi dấu) ta được $3x+6y-2z=-6$, tức $3x+6y-2z+6=0$. Vậy một vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n}=(3;6;-2)$, tương ứng phương án A. Kiểm tra: các vecto ở B, C, D không cùng tỷ lệ với $(3;6;-2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=\overrightarrow{n_Q}\times \overrightarrow{n_R}=(1;1;3)\times (2;-1;1)=(1\cdot 1-3\cdot (-1);3\cdot 2-1\cdot 1;1\cdot (-1)-1\cdot 2)=(4;5;-3)$. Mặt phẳng qua $A(2;1;-3)$: $4(x-2)+5(y-1)-3(z+3)=0\iff 4x+5y-3z-22=0$. Kiểm tra: $4(2)+5(1)-3(-3)=8+5+9=22$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(0;3;1)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;3;-2)$. Vecto pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(3\cdot (-2)-1\cdot 3;1\cdot (-1)-0\cdot (-2);0\cdot 3-3\cdot (-1))=(-9;-1;3)$. Mặt phẳng: $-9x-y+3z+d=0$. Thay $A(1;-2;0)$: $-9+2+d=0\Rightarrow d=7$. Vậy $-9x-y+3z+7=0$, nhân với $-1$: $9x+y-3z-7=0$, tức $a=9$, $b=1$, $c=-3$ (thỏa dạng $ax+by+cz-7=0$). Do đó $T=a+b+c=9+1-3=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng có dạng $\frac{x}{-2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{3}=1$. Nhân hai vế với $-6$ (BCNN của 2, 1, 3 với dấu thích hợp) ta được $3x+6y-2z=-6$, tức $3x+6y-2z+6=0$. Vậy một vector pháp tuyến là $\vec{n}=(3;6;-2)$, tương ứng phương án A. Kiểm tra: các hệ số tỉ lệ với $\left(\frac{1}{-2};\frac{1}{-1};\frac{1}{3}\right)=\left(-\frac{1}{2};-1;\frac{1}{3}\right)$, và $(3;6;-2)=-6\cdot \left(-\frac{1}{2};-1;\frac{1}{3}\right)$, đúng.