Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1;2;-3)$ và có một vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;3)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x-3y+5=0$. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):3x+2y-4z+1=0$. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$?

Ông An đang xây một ngôi nhà, trong quá trình xây phải đổ bê tông cho một mái vát để lợp ngói. Ông tính toán việc ghép cốt pha đi qua điểm $B$ trên một chân tường và điểm $C$ trên cột góc nhà, đồng thời mặt ghép cốt pha phải đi qua điểm $A$ trên chân tường còn lại cách điểm $O$ ở góc giao hai chân tường một khoảng $5\text{ m}$, ông cũng tận dụng một chiếc cột có sẵn để chống mặt ghép (xem hình dưới). Biết rằng hai bức tường được xây vuông góc với nhau, mỗi bức tường đều vuông góc với sàn mái nhà, cột có chiều cao $1\text{ m}$ và cách hai bức tường với cùng khoảng cách $1\text{ m}$ (đỉnh cột là điểm $M$). Diện tích nhỏ nhất của khung ghép cốt pha $ABC$ là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

Trong một mô hình nông nghiệp công nghệ cao, một tấm pin năng lượng mặt trời phẳng được lắp đặt nghiêng sao cho bề mặt của nó nằm trên mặt phẳng $(P):2x+2y+z-6=0$ (xét trong hệ không gian tọa độ $Oxyz$ với đơn vị đo là mét, mặt phẳng $(Oxy)$ được xem là mặt đất phẳng). Người ta lắp đặt một robot cố định ở trên cao để kiểm tra bụi bẩn. Robot có mắt phát tia laser tại điểm $S(1;1;6)$. Robot thực hiện quét tia laser trên bề mặt tấm pin. Tại một thời điểm tia laser được chiếu theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-2;-2)$ và chạm vào bề mặt tấm pin tại điểm $M$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x-2y+5z-7=0$. Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A(-2;2;0)$ đến mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ là

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A(-2;0;2)$ đến mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x-y+2z-6=0$ là.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x-2y-5z+7=0$. Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là

Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh 3, góc $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ và cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,SD$. Biết góc nhị diện $[M,AC,N]$ bằng $120^{\circ }$, tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$. (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):16x-12y-15z-4=0$ và điểm $A(2;-1;-1)$. Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(P)$. Tính độ dài đoạn thẳng $AH$.

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $x+2z+3=0$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là

Câu 5. Trong bản thiết kế của dự án lắp đặt đường dây điện cho vùng núi tỉnh A, các kĩ sư dự kiến xây dựng các trụ điện cao $120\text{ m}$. Để giữ thăng bằng cho trụ điện, hệ thống dây cáp được nối từ đỉnh trụ $S$ xuống mặt đất giả định tại các điểm $A,B,C$ trên mặt phẳng nằm ngang sao cho $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều, khoảng cách từ chân trụ đến các điểm $A,B,C$ bằng $40\sqrt{3}\text{ m}$. Tuy nhiên, do địa hình thực tế là sườn núi dốc $10^{\circ }$ so với mặt phẳng nằm ngang nên vị trí tiếp đất thực tế của dây cáp sẽ tại $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ ($B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ song song với thân trụ điện, tham khảo hình vẽ). Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) với $O$ trùng với chân trụ điện, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt phẳng thiết kế nằm ngang, điểm $A$ thuộc tia $Oy$, trục $Oz$ hướng lên trên. Khi đó, tọa độ điểm $B^{\prime }(x_{B^{\prime }};y_{B^{\prime }};z_{B^{\prime }})$, $C^{\prime }(x_{C^{\prime }};y_{C^{\prime }};z_{C^{\prime }})$. Giá trị $|z_{B^{\prime }}-z_{C^{\prime }}|$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $I(2;-1;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(2;-2;1)$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+2y-z-2=0$. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $(P)$ qua điểm $M(2;4;8)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ sao cho $OA=2OB=4OC$. Tính $T=a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $A(-1;2;4)$ và nhận vectơ $\vec{n}=(1;-2;3)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng đi qua $M(1;2;-4)$ và vuông góc với trục $Oz$ có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(-2;0;0),B(0;-2;0),C(0;0;-2)$. Điểm $D$ khác gốc tọa độ sao cho $DA,DB,DC$ đôi một vuông góc.