Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mệnh đề, phủ định, điều kiện cần/đủ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề 'Mọi hình chữ nhật đều là hình bình hành' có dạng $\forall x,P(x)$. Phủ định là $\exists x,\neg P(x)$: 'Tồn tại hình chữ nhật không phải là hình bình hành'. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 4 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề “Có một học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán” có dạng $\exists xP(x)$ với $P(x)$: “x không thích học môn Toán”. Phủ định của $\exists xP(x)$ là $\forall x\neg P(x)$, tức là “Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Toán”. Đáp án khớp với khóa nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của $\exists x\in \mathbb{Z}:3x+1\le 1$ là $\forall x\in \mathbb{Z}:3x+1>1$. Khớp đáp án B trong bảng đáp án (Mã đề 102, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của $\exists x\in \mathbb{Z}:3x+1\le 1$ là $\forall x\in \mathbb{Z}:3x+1>1$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (1.B).

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề $\forall x\in \mathbb{R},x^2-x+7<0$ là $\exists x\in \mathbb{R},x^2-x+7\ge 0$ (đổi $\forall$ thành $\exists$ và phủ định $<$ thành $\ge$). Khớp với đáp án D trong đề và bảng đáp án chính thức (Mã 0102, Câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề $\exists x\in \mathbb{R},x^2=3$ là mệnh đề tồn tại, khẳng định có ít nhất một số thực $x$ sao cho $x^2=3$ (thực tế có hai số là $\pm \sqrt{3}$). Do đó đáp án là B. Đáp án A và D tương ứng với mệnh đề $\forall x$, C sai vì có hai số thực thỏa mãn. Khớp với đáp án nguồn (Mã 0101, Câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: (A) Phương trình $x^2+x+7=0$ có $\Delta =1^2-4\cdot 7=1-28=-27<0$ nên vô nghiệm → đúng. (B) Phương trình $x^2+7x-2=0$ có $\Delta =49+8=57>0$ và tích hai nghiệm $c=-2<0$ nên hai nghiệm trái dấu, không cùng dấu → sai. (C) $6\sqrt{2}$ là số vô tỷ vì $\sqrt{2}$ vô tỷ → sai. (D) 17 là số lẻ → sai. Vậy mệnh đề đúng là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: (A) Phương trình $x^2+7x-2=0$ có $a=1>0$, $c=-2<0$ nên tích hai nghiệm $ac<0$, hai nghiệm trái dấu → đúng. (B) $6\sqrt{2}$ là số vô tỷ (vì $\sqrt{2}$ vô tỷ) → sai. (C) 17 là số lẻ → sai. (D) $x^2+x+7=0$ có $\Delta =1-28=-27<0$ nên vô nghiệm → sai. Vậy mệnh đề đúng là A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề ĐÚNG.

Ta có đẳng thức quen thuộc:
$$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2.$$

Vì $a,b,c$ là các số nguyên lẻ phân biệt nên các hiệu $a-b,b-c,c-a$ là các số chẵn khác $0$, do đó mỗi bình phương $(a-b{)}^2,(b-c{)}^2,(c-a{)}^2$ đều $\ge 4$. Suy ra
$$(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\ge 12,$$
tức là $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge \frac{12}{2}=6$, hay $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca+6$.

Về dấu bằng: dấu bằng trong ước lượng trên đòi hỏi $(a-b{)}^2=(b-c{)}^2=(c-a{)}^2=4$, tức $|a-b|=|b-c|=|c-a|=2$. Điều này không thể xảy ra vì $a-b+b-c+c-a=0$ trong khi tổng của ba số mỗi số bằng $\pm 2$ không thể bằng $0$ (tổng của ba số lẻ là số lẻ). Thật vậy, với ba số lẻ phân biệt, trong ba hiệu có đúng hai hiệu bằng $\pm 2$ và hiệu còn lại bằng $\pm 4$; chẳng hạn với $a=1,b=3,c=5$:
$$(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2=4+4+16=24,$$
khi đó $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=12>6$.

Kết luận: mệnh đề đúng; thực tế bất đẳng thức luôn chặt, tức $a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca+6$, nhưng dạng $\ge$ trong mệnh đề vẫn được thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề 'Tồn tại $x\in \mathbb{R}$ sao cho $x^2+1<0$' là 'Mọi $x\in \mathbb{R}$ đều có $x^2+1\ge 0$' (đổi 'tồn tại' thành 'mọi' và phủ định bất đẳng thức '<' thành '$\ge$'). Tra bảng đáp án mã đề 0102, câu 8 là B, khớp với kết quả giải.

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của 'Tồn tại $x\in \mathbb{R}$ sao cho $x^2+1<0$' là 'Mọi $x\in \mathbb{R}$ đều có $x^2+1\ge 0$'. Khớp đáp án A trong bảng mã đề 0101.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định đúng hay sai. Câu A, C, D đều là mệnh đề (A sai nhưng vẫn là mệnh đề, D sai nhưng vẫn là mệnh đề). Câu B 'Học lớp 10 thật vui' là câu cảm thán/khẳng định mang tính chủ quan, không thể xác định đúng hay sai, nên không phải mệnh đề.

(AI giải đề cho tôi)
Xét mệnh đề đảo của từng phương án:
- A. Mệnh đề đảo: 'Nếu $a+b$ chia hết cho $c$ thì $a$, $b$ cùng chia hết cho $c$' — sai, ví dụ $a=1,b=2,c=3$: $a+b=3$ chia hết cho 3 nhưng $a$, $b$ không chia hết cho 3.
- B. Mệnh đề đảo: 'Nếu một số nguyên chia hết cho 2 và 3 thì nó chia hết cho 6' — đúng, vì $\gcd (2,3)=1$ nên nếu $2\mid n$ và $3\mid n$ thì $6\mid n$.
- C. Mệnh đề đảo: 'Nếu có ít nhất một trong hai số $x$, $y$ dương thì $x+y>0$' — sai, ví dụ $x=5,y=-10$ thì $x+y=-5<0$.
- D. Mệnh đề đảo: 'Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt thì $a$, $c$ trái dấu' — sai, ví dụ $x^2-3x+2=0$ có hai nghiệm phân biệt nhưng $a=1$, $c=2$ cùng dấu.
Vậy chỉ có mệnh đề ở phương án B có mệnh đề đảo đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $|x^2-2x-3|=x^2+|2x+3|$ với $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$.

- Với $x\le -\frac{3}{2}$: khi đó $2x+3\le 0$ nên $|2x+3|=-2x-3$; đồng thời $(x-3)(x+1)\ge 0$ nên $|x^2-2x-3|=x^2-2x-3$. Phương trình trở thành $x^2-2x-3=x^2-2x-3$, đúng với mọi $x\le -\frac{3}{2}$.
- Với $-\frac{3}{2}<x<-1$: $|2x+3|=2x+3$, $|x^2-2x-3|=x^2-2x-3$, phương trình cho $-2x-3=2x+3\Rightarrow x=-\frac{3}{2}$ (loại).
- Với $-1\le x<\frac{3}{2}$: $|x^2-2x-3|=-x^2+2x+3$, phương trình cho $-x^2+2x+3=x^2+2x+3\Rightarrow x=0$, thỏa mãn (kiểm tra $|-3|=0+3$ đúng).
- Với $x\ge \frac{3}{2}$: không có nghiệm (dẫn đến $x=-\frac{3}{2}$ hoặc $x=0$, đều loại).

Vậy tập nghiệm là $x\le -\frac{3}{2}$ hoặc $x=0$. Trong khoảng $-2020\le x\le 2021$, các giá trị nguyên thỏa mãn là $x\in \{-2020,-2019,\dots ,-2\}$ (2019 giá trị) cùng với $x=0$, tổng cộng $2019+1=2020$ giá trị. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề (dấu "2.5" trong đề hiểu là tích $2\cdot 5$, phù hợp với vế tiền đề $\sqrt{23}<5$):
- A: Vế trái $-\pi <-2$ đúng (vì $\pi \approx 3,14>2$). Vì $\pi >2>0$ nên bình phương hai vế của $\pi >2$ cho ${\pi }^2>4$, do đó vế phải ${\pi }^2<4$ sai. Hai vế khác giá trị chân lý nên mệnh đề tương đương A sai. (Lỗi điển hình: bình phương hai vế của bất đẳng thức $-\pi <-2$ với hai vế đều âm.)
- B: $\pi <4$ đúng; vì $\pi >0$ nên bình phương hai vế bảo toàn chiều: ${\pi }^2<16$ đúng. Vậy B đúng.
- C: $\sqrt{23}<5$ đúng; nhân hai vế với $2>0$: $2\sqrt{23}<2\cdot 5=10$ đúng. Vậy C đúng.
- D: $\sqrt{23}<5$ đúng; nhân hai vế với $-2<0$ phải đổi chiều: $-2\sqrt{23}>-2\cdot 5=-10$ đúng. Vậy D đúng.
Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $P\Rightarrow Q$ đúng nên $P$ là điều kiện đủ để có $Q$ (và $Q$ là điều kiện cần để có $P$). Do đó đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện đủ của "$x>1$" là mệnh đề $P$ sao cho $P\Rightarrow (x>1)$ đúng. Xét: $x>0$ không kéo theo $x>1$ (ví dụ $x=0,5$); $x\ge 1$ không kéo theo $x>1$ (ví dụ $x=1$); $x<1$ không kéo theo $x>1$. Với $x\ge 2$ thì luôn có $x>1$, nên $x\ge 2$ là điều kiện đủ của "$x>1$". Vậy chọn D.