Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2x+1=2(x-1)+3$ nên $f(x)=2+\frac{3}{x-1}$ (a đúng). Nguyên hàm tổng quát là $\int f(x)dx=2x+3\ln |x-1|+C$; khẳng định b thiếu giá trị tuyệt đối nên chỉ đúng trên khoảng $x>1$, không phải nguyên hàm trên toàn tập xác định (b sai). Với $F(x)=2x+3\ln |x-1|+C$: $F(2)=4+0+C=1\Rightarrow C=-3$, nên $F(x)=2x+3\ln |x-1|-3$ (c đúng). Phương trình $F(x)=2x+2$: $2x+3\ln |x-1|-3=2x+2\Rightarrow \ln |x-1|=\frac{5}{3}\Rightarrow |x-1|=e^{5/3}$, cho hai nghiệm $x=1\pm e^{5/3}$, tổng $T=2$ (d đúng).
a) $2x+1=2(x-1)+3$ nên $f(x)=2+\frac{3}{x-1}$.
b) Nguyên hàm đúng là $2x+3\ln |x-1|+C$; khẳng định thiếu giá trị tuyệt đối nên không đúng trên toàn tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
c) $F(x)=2x+3\ln |x-1|+C$, $F(2)=4+C=1\Rightarrow C=-3$, được $F(x)=2x+3\ln |x-1|-3$.
d) $3\ln |x-1|=5\Rightarrow |x-1|=e^{5/3}$, hai nghiệm $x=1\pm e^{5/3}$, tổng $T=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: f(x)=2^{2x}=4^x, g(x)=cot x.
a) F'(x)=(2^{2x-1}ln2)'=2^{2x-1}·ln2·2ln2=2^{2x}ln^2 2 ≠ 2^{2x}. Vậy F không phải nguyên hàm của f → SAI.
b) Trên (0;π), sin x>0 nên G(x)=ln(sin x) xác định và G'(x)=cos x/sin x=cot x=g(x) → ĐÚNG.
c) sin2x·cot x=2sin x cos x·(cos x/sin x)=2cos^2 x=1+cos2x. Do đó ∫(1+cos2x)dx=x+sin2x/2+C → ĐÚNG.
d) ∫f(x)dx=∫4^x dx=4^x/ln4=2^{2x-1}/ln2 (không phải 2^{2x+1}/ln2); ∫cot^2 x dx=∫(csc^2 x−1)dx=−cot x−x+C (không phải +cot x−x). Cả hai thành phần đều sai → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
F'(x)=2^{2x-1}·(ln2)^2·2=2^{2x}ln^2 2 ≠ f(x), nên F không là nguyên hàm của f.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (0;π) có sin x>0, G'(x)=cos x/sin x=cot x=g(x), nên G là một nguyên hàm của g.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin2x·cot x=2cos^2 x=1+cos2x, tích phân bằng x+sin2x/2+C.
d) (AI giải đề cho tôi)
∫2^{2x}dx=2^{2x-1}/ln2 và ∫cot^2 x dx=−cot x−x+C, khác với biểu thức đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \frac{2}{2x-1}dx=\ln |2x-1|+C$ trên mỗi khoảng liên tục. Vì $f$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1/2\}$, hằng số nguyên hàm khác nhau trên hai khoảng: $f(x)=\ln (2x-1)+C_1$ với $x>1/2$ và $f(x)=\ln (1-2x)+C_2$ với $x<1/2$. Từ $f(1)=0$: $\ln 1+C_1=0\Rightarrow C_1=0$. Từ $f(0)=1$: $\ln 1+C_2=1\Rightarrow C_2=1$. Vậy $f(-2)=\ln 5+1=1+\ln 5$ (đúng); $f(-1)+f(3)=(\ln 3+1)+\ln 5=1+\ln 15\ne \ln 15$ (sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $\frac{2}{2x-1}$ là $\ln |2x-1|+C$, đúng trên mỗi khoảng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ xác định trên hai khoảng $(-\infty ;1/2)$ và $(1/2;+\infty )$, hằng số $C$ có thể khác nhau trên mỗi khoảng, nên biểu diễn phân đoạn với $C_1,C_2$ là đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<1/2$: $f(x)=\ln (1-2x)+C_2$, $f(0)=1\Rightarrow C_2=1$, nên $f(-2)=\ln 5+1=1+\ln 5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_1=0$ (từ $f(1)=0$), $C_2=1$ (từ $f(0)=1$). Suy ra $f(-1)=\ln 3+1$, $f(3)=\ln 5$, nên $f(-1)+f(3)=1+\ln 15\ne \ln 15$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính từng phần: $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}$; $\int \frac{3}{x}dx=3\ln |x|$; $\int -2\sqrt{x}dx=-2\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}=-\frac{4}{3}\sqrt{x^3}$. Vậy họ nguyên hàm là $\frac{x^3}{3}+3\ln |x|-\frac{4}{3}\sqrt{x^3}+C$, khớp với đáp án B. Đáp án C sai vì thiếu hằng số $C$ và dùng $\ln x$ thay vì $\ln |x|$; A sai dấu; D sai hệ số của $\ln |x|$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P^{\prime }(x)=17-0,025x$ nên $P(x)=\int (17-0,025x)dx=17x-0,0125x^2+C$. Vì nhà máy lỗ 24 triệu đồng khi không bán được gì nên $P(0)=-24\Rightarrow C=-24$. Vậy $P(x)=17x-0,0125x^2-24$ với $0\le x\le 100$.

a) Sai: do điều kiện $P(0)=-24$ nên hằng số $C$ bị xác định $C=-24$, không còn là hằng số bất kỳ.

b) Sai: công thức chỉ áp dụng với $0\le x\le 100$, nên không thể tính lợi nhuận khi bán 120 tấn (ngoài miền xác định).

c) Đúng: $P(80)=17\cdot 80-0,0125\cdot 80^2-24=1360-80-24=1256$ (triệu đồng) $=1$ tỉ 256 triệu đồng.

d) Sai: nhà máy có lãi khi $P(x)>0\iff 17x-0,0125x^2-24>0$. Giải $0,0125x^2-17x+24=0$ được $x=\frac{17\pm \sqrt{289-1,2}}{0,025}$, nghiệm nhỏ $x\approx \frac{17-16,9647}{0,025}\approx 1,41$. Vậy chỉ khi bán được từ khoảng $1,41$ tấn trở lên (và $x\le 100$) nhà máy mới có lãi, chứ không phải từ $1,3$ tấn; ví dụ $P(1,3)=22,1-0,021125-24<0$ vẫn lỗ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $P(0)=-24$ nên $C=-24$, hằng số không còn bất kỳ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức chỉ có ý nghĩa với $0\le x\le 100$, không tính được tại $x=120$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(80)=1360-80-24=1256$ triệu đồng $=1$ tỉ 256 triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(x)>0$ khi $x⪆1,41$ tấn, nên bán 1,3 tấn vẫn lỗ.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $x=(x+1)-1$, khi đó $y=x(x+1{)}^5=(x+1{)}^6-(x+1{)}^5$. Do đó $\int (x+1{)}^{6}dx-\int (x+1{)}^{5}dx=\frac{(x+1{)}^7}{7}-\frac{(x+1{)}^6}{6}+C$. Kiểm tra bằng cách đạo hàm: ${\left(\frac{(x+1{)}^7}{7}-\frac{(x+1{)}^6}{6}\right)}^{\prime }=(x+1{)}^6-(x+1{)}^5=(x+1{)}^5\cdot x$, đúng. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\frac{(2x-3{)}^3}{6}+C$. Với $F(0)=\frac{-27}{6}+C=\frac{1}{3}$ suy ra $C=\frac{1}{3}+\frac{9}{2}=\frac{29}{6}$. Do đó $F(1)=\frac{-1}{6}+\frac{29}{6}=\frac{14}{3}$, $F(2)=\frac{1}{6}+\frac{29}{6}=5$. Vậy $3F(1)-2F(2)=14-10=4$ và ${\log }_{2}4=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+a}{x-1}=\frac{(x^2-1)+(a+1)}{x-1}=x+1+\frac{a+1}{x-1}$. Suy ra $F(x)=\frac{x^2}{2}+x+(a+1)\ln |x-1|+C$ trên $(-\infty ;1)$. Điều kiện $F(0)=1$: $(a+1)\ln 1+C=1\Rightarrow C=1$, nên $F(x)=\frac{x^2}{2}+x+(a+1)\ln (1-x)+1$. Với $x=1-e$ (thuộc $(-\infty ;1)$): $\ln (1-(1-e))=\ln e=1$, do đó $F(1-e)=\frac{(1-e{)}^2}{2}+(1-e)+(a+1)+1=\frac{e^2}{2}-e+\frac{1}{2}+1-e+a+1+1=\frac{e^2}{2}-2e+a+\frac{7}{2}$. Theo đề $F(1-e)=\frac{e^2}{2}-2e$, suy ra $a+\frac{7}{2}=0\Rightarrow a=-\frac{7}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)={\mathrm{e}}^x+2x$ là $F(x)={\mathrm{e}}^x+x^2+C$. Với $F(0)=1+C=\frac{3}{2}$ suy ra $C=\frac{1}{2}$. Do đó $F(2)={\mathrm{e}}^2+4+\frac{1}{2}={\mathrm{e}}^2+\frac{9}{2}\approx 7,389+4,5=11,889\approx 11,9$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên mỗi khoảng liên thông, $f(x)=\ln |2x-1|+C$. Với $x<\frac{1}{2}$: $f(0)=\ln 1+C=1\Rightarrow C=1$, nên $f(-2)=\ln 5+1$. Với $x>\frac{1}{2}$: $f(1)=\ln 1+C=2\Rightarrow C=2$, nên $f(3)=\ln 5+2$. Vậy $f(-2)+f(3)=3+2\ln 5$, tức $a=3,b=2$, do đó $T=a+b=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại phương trình dưới dạng tuyến tính: $f^{\prime }(x)+\frac{x+2}{x(x+1)}f(x)=1$. Phân tích $\frac{x+2}{x(x+1)}=\frac{2}{x}-\frac{1}{x+1}$, nên thừa số tích phân là $\mu (x)=e^{\int \left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x+1}\right)dx}=\frac{x^2}{x+1}$.
Khi đó ${\left(f(x)\cdot \frac{x^2}{x+1}\right)}^{\prime }=\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$, suy ra $f(x)\cdot \frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2}{2}-x+\ln |x+1|+C$.
Dùng $f(1)=2\ln 2+1$ với $\mu (1)=\frac{1}{2}$: $\frac{2\ln 2+1}{2}=\frac{1}{2}-1+\ln 2+C\Rightarrow C=1$.
Vậy $f(x)=\frac{x+1}{x^2}\left(\frac{x^2}{2}-x+\ln |x+1|+1\right)$.
Tại $x=2$: $f(2)=\frac{3}{4}\left(2-2+\ln 3+1\right)=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\ln 3$, tức $a=b=\frac{3}{4}$.
Do đó $T=a^2-b=\frac{9}{16}-\frac{3}{4}=-\frac{3}{16}\approx -0,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (3\cos x-4\sin x)dx=3\sin x+4\cos x+C$ vì $\int \cos xdx=\sin x+C$ và $\int \sin xdx=-\cos x+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $3\sin x+4\cos x$ là $3\cos x-4\sin x=f(x)$. Vậy họ nguyên hàm là $3\sin x+4\cos x+C$, tương ứng với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Bài 11 – Nguyên hàm), tính từng nguyên hàm:

a. $\int \left(x^2-3x+4\right)\mathrm{d}x=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+4x+C$.

b. $\int \frac{x^2+3x+2}{x}\mathrm{d}x=\int \left(x+3+\frac{2}{x}\right)\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}+3x+2\ln |x|+C$, với $x\ne 0$.

c. $\int \left(\frac{2425}{x}+\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x=2425\ln |x|-\frac{1}{x}+C$, với $x\ne 0$.

d. $\int \frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}=\int \frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}+\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)\mathrm{d}x=\tan x-\cot x+C$.

e. $\int \frac{1}{3^x}\mathrm{d}x=\int 3^{-x}\mathrm{d}x=\frac{3^{-x}}{-\ln 3}+C=-\frac{1}{3^x\ln 3}+C$.

f. $\int \frac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^x}\mathrm{d}x=\int \left(2\cdot \frac{2^x}{10^x}-\frac{1}{5}\cdot \frac{5^x}{10^x}\right)\mathrm{d}x=\int \left(2{\left(\frac{1}{5}\right)}^x-\frac{1}{5}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\right)\mathrm{d}x$
$=2\cdot \frac{(1/5{)}^x}{\ln (1/5)}-\frac{1}{5}\cdot \frac{(1/2{)}^x}{\ln (1/2)}+C=-\frac{2}{5^x\ln 5}+\frac{1}{5\cdot 2^x\ln 2}+C$.

Kiểm tra lại bằng cách đạo hàm từng kết quả đều thu được hàm dưới dấu tích phân, nên các đáp số trên đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$. Vì $F(0)=0$ nên $\frac{1}{2}{e}^0+C=0\Rightarrow C=-\frac{1}{2}$. Vậy $F(x)=\frac{1}{2}\left(e^{2x}-1\right)$. Do đó $F(\ln 3)=\frac{1}{2}\left(e^{2\ln 3}-1\right)=\frac{1}{2}(9-1)=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$. Do đó một nguyên hàm của $f(x)=2025^x$ là $F(x)=\frac{2025^x}{\ln 2025}$. Kiểm tra: $F^{\prime }(x)=\frac{2025^x\ln 2025}{\ln 2025}=2025^x=f(x)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int \left(e^x+2e^{-x}-2x\right)dx=e^x-2e^{-x}-x^2+C$. Điều kiện $F(0)=1$: $1-2-0+C=1\Rightarrow C=2$. Vậy $F(x)=e^x-2e^{-x}-x^2+2$, tương ứng đáp án A. Kiểm tra đạo hàm: $F^{\prime }(x)=e^x+2e^{-x}-2x=f(x)$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $-x^2-2x=-(x+1{)}^2+1$, nên $f(x)=\frac{1}{(x+1{)}^4}-\frac{1}{(x+1{)}^2}$. Nguyên hàm: $F(x)=-\frac{1}{3(x+1{)}^3}+\frac{1}{x+1}+C$. Với $F(-2)=\frac{1}{3}-1+C=C-\frac{2}{3}=-\frac{2}{3}\Rightarrow C=0$. Vậy $F(1)=-\frac{1}{24}+\frac{1}{2}=\frac{11}{24}$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $P$ là trung điểm $AC$, $Q$ là trung điểm $AB$ nên $PQ$ là đường trung bình, suy ra $PQ\parallel BC$. Vì $BC\subset (SBC)$ và $PQ\not\subset (SBC)$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $PQ\parallel (SBC)$. Do đó khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 518, Câu 6: C).

Chọn B
$F(x)=\int \left(e^x+2\sin x\right)dx=e^x-2\cos x+C$.
$F(0)=20\iff 1-2+C=20\iff C=21$.
Vậy: $F(x)=e^x-2\cos x+21$.