Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

a) Đúng.
b) Sai. $f^{\prime }(x)=2\cos x+\sqrt{3}$.
c) Đúng. $F(x)=\int \left(2\sin x+\sqrt{3}x\right)dx=-2\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+C$. Cho $C=2026$ ta được một nguyên hàm là $F(x)=-2\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+2026$.
d) Đúng. Ta có: $f(0)=0$, $f(\pi )=\sqrt{3}\pi$ và $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)=1+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0;\pi ]$ bằng $1+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}$.
a) Đúng.
b) Sai. $f^{\prime }(x)=2\cos x+\sqrt{3}$.
c) Đúng. $F(x)=\int \left(2\sin x+\sqrt{3}x\right)dx=-2\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+C$. Cho $C=2026$ ta được một nguyên hàm là $F(x)=-2\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+2026$.
d) Đúng. Ta có: $f(0)=0$, $f(\pi )=\sqrt{3}\pi$ và $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)=1+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0;\pi ]$ bằng $1+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}$.

Chọn A
$F(x)=\int f(x)\mathrm{d}x=\int \left(-3x^2+4x+2\right)\mathrm{d}x=-x^3+2x^2+2x+C$.
$F(1)=2\iff C+3=2\iff C=-1$.
Vậy $F(-1)=1+2-2-1=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=-x^3+2x^2+2x+C$. Với $F(1)=2$: $-1+2+2+C=2\Rightarrow C=-1$, nên $F(x)=-x^3+2x^2+2x-1$. Khi đó $F(-1)=1+2-2-1=0$. Kết quả khớp với đáp án D trong bảng mã đề 1202.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int (e^x+2\sin x)dx=e^x-2\cos x+C$. Với $F(0)=1-2+C=20$ suy ra $C=21$. Vậy $F(x)=e^x-2\cos x+21$, khớp đáp án C (bảng đáp án mã đề 1202, câu 10 là C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét f(x)=2sin x+√3x trên [0;π]. a) f(0)=2sin0+0=0, f(π)=2sinπ+√3π=√3π → đúng. b) F(x)=-2cos x+(√3/2)x²+2026 có F'(x)=2sin x+√3x... kiểm tra: F'(x)=2sin x+√3·x? Thực tế F'(x)=2sin x+√3x = f(x) → đúng. c) f'(x)=2cos x+√3, không phải -2cos x+√3 → sai. d) f'(x)=2cos x+√3=0 ⇒ cos x=-√3/2 ⇒ x=5π/6 thuộc [0;π]. f(5π/6)=2·(1/2)+√3·5π/6=1+5√3π/6. So sánh f(0)=0, f(π)=√3π≈5,44, còn 1+5√3π/6≈5,53 là lớn nhất → đúng. Khớp đáp án mã đề 1202: ĐĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(0)=2sin0+√3·0=0 và f(π)=2sinπ+√3π=√3π.
b) (AI giải đề cho tôi)
F'(x)=2sin x+√3x=f(x), vậy F(x)=-2cos x+(√3/2)x²+2026 là một nguyên hàm của f(x).
c) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=2cos x+√3 (đạo hàm của 2sin x là 2cos x), không phải -2cos x+√3.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=2cos x+√3=0 ⇒ cos x=-√3/2 ⇒ x=5π/6. f(5π/6)=1+5√3π/6≈5,53 > f(π)=√3π≈5,44 > f(0)=0, nên GTLN trên [0;π] là 1+5√3π/6.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $N^{\prime }(t)=22t-3t^2$, $N(0)=10$, $0\le t\le 10$.

a) $N^{\prime }(1)=22\cdot 1-3\cdot 1^2=19$ triệu tế bào/ml/giờ → đúng.

b) Xét $N^{\prime \prime }(t)=22-6t$. Tốc độ thay đổi $N^{\prime }(t)$ chỉ tăng khi $N^{\prime \prime }(t)>0\iff t<\frac{11}{3}$, không phải trên toàn khoảng $0\le t<\frac{22}{3}$ (với $\frac{11}{3}\le t<\frac{22}{3}$ thì $N^{\prime }$ giảm). Ngoài ra tại $t=0$ thì $N^{\prime }(0)=0$. → sai.

c) Nguyên hàm $\int N^{\prime }(t)dt=\int (22t-3t^2)dt=11t^2-t^3+C$, không phải $11t-t^3$ → sai.

d) $N(10)=N(0)+{\int }_0^{10}(22t-3t^2)dt=10+\left(11t^2-t^3\right){|}_0^{10}=10+1100-1000=110$ triệu tế bào/ml $\ne 100$ → sai.

Khớp với đáp án nguồn mã 1201: ĐSSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$N^{\prime }(1)=22(1)-3(1{)}^2=19$ triệu tế bào/ml/giờ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$N^{\prime \prime }(t)=22-6t>0\iff t<\frac{11}{3}$, nên $N^{\prime }(t)$ chỉ tăng khi $t<\frac{11}{3}$, không phải trên cả khoảng $\frac{11}{3}\le t<\frac{22}{3}$; hơn nữa $N^{\prime }(0)=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int (22t-3t^2)dt=11t^2-t^3+C$, thiếu số mũ ở $11t^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$N(10)=10+{\int }_0^{10}(22t-3t^2)dt=10+1100-1000=110\ne 100$ triệu tế bào/ml.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int (e^x+2\sin x)dx=e^x-2\cos x+C$. Điều kiện $F(0)=1-2+C=20\Rightarrow C=21$. Vậy $F(x)=e^x-2\cos x+21$, khớp đáp án C (đáp án nguồn cũng là C).

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=-x^3+2x^2+2x+C$. Với $F(1)=2$: $-1+2+2+C=2\Rightarrow C=-1$. Suy ra $F(-1)=1+2-2-1=0$. Vậy đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 1201 (Câu 8: D).

a) Ta có: $\int f(x)dx=\int (x+\cos x)dx=\frac{x^2}{2}+\sin x+C$. Vậy a) sai.

b) Ta có $F^{\prime }(x)={\left(\frac{x^2}{2}-\sin x+5\right)}^{\prime }=x-\cos x\ne f(x)$ nên b) sai.

c) Ta có $f^{\prime }(x)=1-\sin x$ nên c) đúng.

d) Gọi $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $G(x)=\frac{x^2}{2}+\sin x+C$.

Vì $G(0)=1$ nên $0+\sin 0+C=1\Rightarrow C=1$. Suy ra $G(\pi )=\frac{{\pi }^2}{2}+\sin \pi +1=\frac{{\pi }^2}{2}+1$. Vậy d) đúng.
a) Ta có: $\int f(x)dx=\int (x+\cos x)dx=\frac{x^2}{2}+\sin x+C$. Vậy a) sai.
b) Ta có $F^{\prime }(x)={\left(\frac{x^2}{2}-\sin x+5\right)}^{\prime }=x-\cos x\ne f(x)$ nên b) sai.
c) Ta có $f^{\prime }(x)=1-\sin x$ nên c) đúng.
d) Gọi $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $G(x)=\frac{x^2}{2}+\sin x+C$.

Vì $G(0)=1$ nên $0+\sin 0+C=1\Rightarrow C=1$. Suy ra $G(\pi )=\frac{{\pi }^2}{2}+\sin \pi +1=\frac{{\pi }^2}{2}+1$

Vậy d) đúng.

Nguyên hàm của hàm số $f(x)=9^x$ là $F(x)=\frac{9^x}{\ln 9}+C=\frac{9^x}{2\ln 3}+C$.

Nguyên hàm của hàm số $f(x)=4^x$ là $F(x)=\frac{4^x}{\ln 4}+C=\frac{4^x}{2\ln 2}+C$.

a) Ta có $f^{\prime }(x)=1+\cos x$ nên a) sai.

b) Ta có $F^{\prime }(x)={\left(\frac{x^2}{2}-\cos x-2\right)}^{\prime }=x+\sin x=f(x)$ nên b) đúng.

c) Ta có: $\int f(x)dx=\int (x+\sin x)dx=\frac{x^2}{2}-\cos x+C$. Vậy c) đúng.

d) Gọi $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $G(x)=\frac{x^2}{2}-\cos x+C$.

Vì $G(0)=1$ nên $0-\cos 0+C=1\Rightarrow C=2$. Suy ra $G(\pi )=\frac{{\pi }^2}{2}-\cos \pi +2=\frac{{\pi }^2}{2}+3$. Vậy d) đúng.
a) Ta có $f^{\prime }(x)=1+\cos x$ nên a) sai.
b) Ta có $F^{\prime }(x)={\left(\frac{x^2}{2}-\cos x-2\right)}^{\prime }=x+\sin x=f(x)$ nên b) đúng.
c) Ta có: $\int f(x)dx=\int (x+\sin x)dx=\frac{x^2}{2}-\cos x+C$. Vậy c) đúng.
d) Gọi $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $G(x)=\frac{x^2}{2}-\cos x+C$.

Vì $G(0)=1$ nên $0-\cos 0+C=1\Rightarrow C=2$. Suy ra $G(\pi )=\frac{{\pi }^2}{2}-\cos \pi +2=\frac{{\pi }^2}{2}+3$

Vậy d) đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (\cos x-\sin x)dx=\sin x+\cos x+C$ vì $(\sin x+\cos x{)}^{\prime }=\cos x-\sin x=f(x)$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (12B).

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^3+4x$:
a) $G^{\prime }(x)=x^3+4x=f(x)$, nên $G(x)=\frac{1}{4}{x}^4+2x^2+2025$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Đúng.
b) ${\int }_0^2[1+f(x)]dx={\int }_0^2(1+x^3+4x)dx={\left[x+\frac{x^4}{4}+2x^2\right]}_0^2=2+4+8=14$. Đúng.
c) $F(x)=\frac{x^4}{4}+2x^2+C$; $F(0)=C=2$ nên $F(x)=\frac{x^4}{4}+2x^2+2$, do đó $F(2)=4+8+2=14\ne 41$. Sai.
d) ${\int }_0^{2}f(x)dx={\left[\frac{x^4}{4}+2x^2\right]}_0^2=4+8=12$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$G^{\prime }(x)=x^3+4x=f(x)$ nên $G$ là một nguyên hàm của $f$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^2(1+x^3+4x)dx=2+4+8=14$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=\frac{x^4}{4}+2x^2+2$ nên $F(2)=4+8+2=14\ne 41$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^2(x^3+4x)dx=4+8=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Do đó đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân của tích hai hàm số không bằng tích hai tích phân. Ví dụ với $f(x)=g(x)=x$ thì $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$ còn $\int xdx\cdot \int xdx={\left(\frac{x^2}{2}\right)}^2=\frac{x^4}{4}+C$, hai kết quả khác nhau. Các tính chất tuyến tính của tích phân (B, C, D) đều đúng. Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F^{\prime }(x)=2\cos x+3\sin x$. Vậy $F(x)=2\sin x-3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=2\cos x+3\sin x$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \left(\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+x-2024\right)dx=\frac{1}{12}{x}^4-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{x^2}{2}-2024x+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $\frac{1}{12}{x}^4$ là $\frac{1}{3}{x}^3$, của $-\frac{2}{3}{x}^3$ là $-2x^2$, của $\frac{x^2}{2}$ là $x$, của $-2024x$ là $-2024$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: theo định nghĩa nguyên hàm, $F^{\prime }(x)=f(x)$, không phải $f^{\prime }(x)=F(x)$. b) Đúng: $\int (3x^2+1)dx=x^3+x+C$. c) Đúng: $F(0)=C=1$ nên $F(2)=8+2+1=11$. d) Sai: phương trình hoành độ giao điểm $3x^2+1=6x+10\iff 3x^2-6x-9=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Trên $[-1;3]$, đường thẳng nằm trên parabol nên diện tích $S={\int }_{-1}^3(-3x^2+6x+9)dx={\left[-x^3+3x^2+9x\right]}_{-1}^3=27-(-5)=32\ne 12$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm thỏa $F^{\prime }(x)=f(x)$, không phải $f^{\prime }(x)=F(x)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int (3x^2+1)dx=x^3+x+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(0)=C=1$ nên $F(2)=8+2+1=11$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm tại $x=-1,3$; $S={\int }_{-1}^3(-3x^2+6x+9)dx=32\ne 12$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích của hai nguyên hàm không bằng nguyên hàm của tích, nên khẳng định A sai. Các tính chất tuyến tính ở B, C, D đều đúng.