Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int x^{4}dx=\frac{x^5}{5}+C$ và $\int \sin xdx=-\cos x+C$. Vậy họ nguyên hàm của $f(x)=x^4+\sin x$ là $\frac{x^5}{5}-\cos x+C$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $\frac{x-3}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1)-2}{(x-1{)}^2}=\frac{1}{x-1}-\frac{2}{(x-1{)}^2}$. Do đó $\int \frac{x-3}{x^2-2x+1}dx=\ln |x-1|+\frac{2}{x-1}+C$, suy ra $a=1,b=2$ và $T=a^2+b^2=1+4=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng công thức: $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$ đúng; $\int e^{x}dx=e^x+C$ đúng; $\int \sin xdx=-\cos x+C$ đúng. Đối với D, đạo hàm của $\frac{1}{x}$ là $-\frac{1}{x^2}\ne \ln x$, nên công thức $\int \ln xdx=\frac{1}{x}+C$ là sai. Đúng ra $\int \ln xdx=x\ln x-x+C$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 2x=2\sin x\cos x$, do đó $\int \frac{\sin 2x}{\cos x}dx=\int \frac{2\sin x\cos x}{\cos x}dx=\int 2\sin xdx=-2\cos x+C$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí, $P(x)=R(x)-C(x)$.

b) $R^{\prime }(x)=278-2x\Rightarrow R(x)=278x-x^2+C$. Với $R(5)=1465$: $1390-25+C=1465\Rightarrow C=100$. Vậy $R(x)=278x-x^2+100$, không phải $+95$ → sai.

c) $C^{\prime }(x)=\frac{6}{5}{x}^2-2x+8\Rightarrow C(x)=\frac{2}{5}{x}^3-x^2+8x+C_0$. Với $C(5)=900$: $50-25+40+C_0=900\Rightarrow C_0=835$. Vậy $C(x)=\frac{2}{5}{x}^3-x^2+8x+835$ → đúng.

d) $P(x)=R(x)-C(x)=278x-x^2+100-\frac{2}{5}{x}^3+x^2-8x-835=-\frac{2}{5}{x}^3+270x-735$. $P^{\prime }(x)=-\frac{6}{5}{x}^2+270=0\Rightarrow x=15$ (thỏa $0\le x\le 24$). $P(15)=-1350+4050-735=1965$ USD. Lợi nhuận lớn nhất là 1965 USD, không phải 1960 USD → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí: $P(x)=R(x)-C(x)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R(x)=278x-x^2+C$; từ $R(5)=1465$ suy ra $C=100$, nên $R(x)=278x-x^2+100$ chứ không phải $+95$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C(x)=\frac{2}{5}{x}^3-x^2+8x+C_0$; từ $C(5)=900$ suy ra $C_0=835$, đúng như đề.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(x)=-\frac{2}{5}{x}^3+270x-735$; $P^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=15$, $P(15)=1965$ USD. Lợi nhuận lớn nhất là 1965 USD, không phải 1960 USD.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(t)=A_0{\left(\frac{4}{5}\right)}^t\ln \frac{4}{5}$, nên $f(t)=A_0{\left(\frac{4}{5}\right)}^t+C$. Theo đề: $f(2)=25,6$ và $f(3)=20,48$. Hiệu: $f(3)-f(2)=A_0\left[{\left(\frac{4}{5}\right)}^3-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2\right]=A_0\left(\frac{64}{125}-\frac{16}{25}\right)=A_0\cdot \left(-\frac{16}{125}\right)=-0,128A_0$. Mà $20,48-25,6=-5,12$, suy ra $-0,128A_0=-5,12\Rightarrow A_0=40$. Kiểm tra: $f(2)=40\cdot \frac{16}{25}+C=25,6\Rightarrow C=0$; $f(3)=40\cdot \frac{64}{125}=20,48$ đúng. Vậy nhiệt độ ban đầu $A_0=40{}^{\circ }C$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có công thức nguyên hàm cơ bản: $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ với $a>0,a\ne 1$. Với $a=3$, họ nguyên hàm của $y=3^x$ là $\int 3^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(\frac{3^x}{\ln 3}\right)}^{\prime }=\frac{3^x\ln 3}{\ln 3}=3^x$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$ vì ${\left(\frac{2^x}{\ln 2}\right)}^{\prime }=2^x$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_0^{1}f(x)dx=F(1)-F(0)$, do đó $F(0)-F(1)=-{\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_1^{0}f(x)dx$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F^{\prime }(x)=2m{e}^{2x}+2nx$. Vì $F$ là nguyên hàm của $f(x)=e^{2x}+2x$ nên $2m=1\Rightarrow m=\frac{1}{2}$ và $2n=2\Rightarrow n=1$. Điều kiện $F(0)=m+p=\frac{5}{2}$ cho $p=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2$. Do đó $T=4m+n-p=4\cdot \frac{1}{2}+1-2=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tính $F^{\prime }(x)=a\sqrt{4x+1}+\frac{2(ax+b)}{\sqrt{4x+1}}=\frac{a(4x+1)+2(ax+b)}{\sqrt{4x+1}}=\frac{6ax+(a+2b)}{\sqrt{4x+1}}$. So sánh với $f(x)=\frac{36x}{\sqrt{4x+1}}$: $6a=36\Rightarrow a=6$; $a+2b=0\Rightarrow b=-3$. Vậy $a+2b=0$, chọn đáp án C (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\int {\sin }^{2}xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$. Điều kiện $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{4}-0+C=0\Rightarrow C=-\frac{\pi }{4}$. Suy ra $F\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{8}-\frac{1}{4}-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{8}-\frac{2}{8}=-\frac{\pi +2}{8}$. Kết quả trùng với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;+\infty )$: $f(x)=\ln (x-1)+C_1$, với $f(2)=2026$ suy ra $C_1=2026$, nên $f(4)=\ln 3+2026$. Trên $(-\infty ;1)$: $f(x)=\ln (1-x)+C_2$, với $f(0)=2025$ suy ra $C_2=2025$, nên $f(-2)=\ln 3+2025$. Vậy $P=f(4)-f(-2)=(\ln 3+2026)-(\ln 3+2025)=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}+4$ ta có $f(x)=\frac{1}{x}+4x+C$. Với $f(2)=\frac{21}{2}$: $\frac{1}{2}+8+C=\frac{21}{2}\Rightarrow C=2$, vậy $f(x)=\frac{1}{x}+4x+2$. Nguyên hàm $F(x)=\ln x+2x^2+2x+C_1$. Với $F(3)=24+\ln 3$: $\ln 3+18+6+C_1=24+\ln 3\Rightarrow C_1=0$. Do đó $F(1)=0+2+2=4$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (5x^4-8x^3-6x)dx=x^5-2x^4-3x^2+C$. Kiểm tra: $F^{\prime }(x)=5x^4-8x^3-6x$ đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=e^x\left(1-\frac{e^{-x}}{x^2}\right)=e^x-\frac{1}{x^2}$ (với $x\ne 0$). Vì ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$ nên một nguyên hàm của $f(x)$ có dạng $F(x)=e^x+\frac{1}{x}+C$. Áp dụng điều kiện $F(1)=e$: $e+1+C=e\Rightarrow C=-1$. Vậy $F(x)=e^x+\frac{1}{x}-1$. Kiểm tra: $F^{\prime }(x)=e^x-\frac{1}{x^2}=f(x)$ và $F(1)=e+1-1=e$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int {\sin }^{5}x\cos xdx=\int {\sin }^{5}xd(\sin x)=\frac{{\sin }^{6}x}{6}+C$. Vậy $F(x)=\frac{{\sin }^{6}x}{6}+C$. Với $F(0)=\frac{{\sin }^{6}0}{6}+C=C=\ln 2+\frac{\pi }{2}$, suy ra $F(x)=\frac{1}{6}{\sin }^{6}x+\ln 2+\frac{\pi }{2}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{2x-3}{x-2}=2+\frac{1}{x-2}$, nên $f(x)=2x+\ln |x-2|+C$ trên mỗi khoảng của tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Vì $f$ xác định trên hai khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, hằng số nguyên hàm có thể khác nhau trên mỗi khoảng.

Trên $(-\infty ;2)$: $f(1)=2+\ln 1+C_1=1\Rightarrow C_1=-1$, nên $f(x)=2x+\ln |x-2|-1$. Suy ra $f(0)=0+\ln 2-1=\ln 2-1$.

Trên $(2;+\infty )$: $f(3)=6+\ln 1+C_2=2\Rightarrow C_2=-4$, nên $f(x)=2x+\ln |x-2|-4$. Suy ra $f(4)=8+\ln 2-4=4+\ln 2$.

Vậy $f(0)+2f(4)=(\ln 2-1)+2(4+\ln 2)=7+3\ln 2$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int (2x-3{)}^{2}dx=\frac{(2x-3{)}^3}{6}+C$. Với $F(-1)=-17$: $\frac{(-5{)}^3}{6}+C=-17\Rightarrow C=-17+\frac{125}{6}=\frac{23}{6}$. Vậy $F(x)=\frac{(2x-3{)}^3}{6}+\frac{23}{6}=\frac{4}{3}{x}^3-6x^2+9x-\frac{9}{2}+\frac{23}{6}=\frac{4}{3}{x}^3-6x^2+9x-\frac{2}{3}$. Kiểm tra: $F(-1)=-\frac{4}{3}-6-9-\frac{2}{3}=-17$ đúng. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{x^2-x+1}{x-1}=\frac{x(x-1)+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$. Do đó $\int \left(x+\frac{1}{x-1}\right)dx=\frac{x^2}{2}+\ln |x-1|+C$. Vậy đáp án C.