Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: AB ∥ CD (đáy là hình bình hành), AB ⊂ (SAB), CD ⊂ (SCD), nên giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AB, CD (định lý về giao tuyến song song với hai đường thẳng cắt nhau song song). b) Đúng: (SAB) và (SAD) cùng chứa S và A nên giao tuyến là SA. c) Sai: AB nằm trong mặt phẳng (ABCD) còn SC chỉ cắt (ABCD) tại C, C ∉ AB, nên SC và AB chéo nhau, không cắt nhau. d) Đúng: BD cắt AC tại tâm O của hình bình hành; O ∈ AC ⊂ (SAC) và O ∈ BD, nên giao điểm của BD và (SAC) là O — tâm hình bình hành ABCD. Kết quả khớp đáp án mã đề 102: a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì AB ∥ CD, AB ⊂ (SAB), CD ⊂ (SCD), hai mặt phẳng cắt nhau tại S nên giao tuyến là đường thẳng qua S song song với AB và CD.
b) (AI giải đề cho tôi)
(SAB) và (SAD) đều chứa S và A, hai điểm phân biệt, nên giao tuyến là SA.
c) (AI giải đề cho tôi)
SC và AB chéo nhau: SC không nằm trong (ABCD) và chỉ gặp (ABCD) tại C, mà C không thuộc AB, nên chúng không cắt nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
BD cắt AC tại tâm O của hình bình hành; O ∈ (SAC) và O ∈ BD nên giao điểm của BD và (SAC) là O, tâm của ABCD.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy $ABCD$ không là hình thang nên $CD$ không song song với $AB$, do đó $CD$ cắt $AB$ tại một điểm $P$. Điểm $P$ thuộc $AB\subset (SAB)$ nên $P\in (SAB)$, đồng thời $P$ thuộc $CD$. Vậy giao điểm của $CD$ với mặt phẳng $(SAB)$ chính là giao điểm của $CD$ và $AB$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy $ABCD$ không là hình thang nên $AB$ và $CD$ không song song; chúng cùng nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$ nên cắt nhau tại một điểm $P$. Điểm $P$ thuộc $AB\subset (SAB)$ và thuộc đường thẳng $CD$, do đó $P$ chính là giao điểm của $CD$ với mặt phẳng $(SAB)$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành (mã đề 101, Phần II Câu 2).

a) ĐÚNG. Trong (SAB) có AB, trong (SCD) có CD, mà AB ∥ CD (hình bình hành). Vì AB ⊄ (SCD) nên AB ∥ (SCD). Mặt phẳng (SAB) chứa AB và cắt (SCD) theo giao tuyến d đi qua S (S chung của hai mặt phẳng). Theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng: d ∥ AB và d ∥ CD. Vậy giao tuyến là đường thẳng qua S song song với AB và CD.

b) ĐÚNG. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) có điểm chung S, và A thuộc cả hai mặt phẳng (A ∈ AB ⊂ (SAB), A ∈ AD ⊂ (SAD)). Vậy giao tuyến là đường thẳng SA.

c) SAI. SC nằm trong mặt phẳng (SAC), còn AB chỉ cắt mặt phẳng (SAC) tại A (AB ∩ (SAC) = A vì AB không nằm trong (SAC)). Do đó SC và AB không có điểm chung, chúng chéo nhau chứ không cắt nhau.

d) ĐÚNG. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, tức giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khi đó O ∈ BD và O ∈ AC ⊂ (SAC), nên O = BD ∩ (SAC). Vậy giao điểm của BD và (SAC) là tâm của hình bình hành ABCD.

So sánh với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 2): a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ — khớp hoàn toàn với kết quả giải độc lập.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB ∥ CD nên AB ∥ (SCD); (SAB) qua AB cắt (SCD) theo giao tuyến qua S, nên giao tuyến song song với AB và CD.
b) (AI giải đề cho tôi)
(SAB) và (SAD) có hai điểm chung S và A, nên giao tuyến là SA.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB ∩ (SAC) = A, SC ⊂ (SAC) và SC không qua A, nên SC và AB chéo nhau, không cắt nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm O của hình bình hành là giao điểm AC và BD; O ∈ BD và O ∈ AC ⊂ (SAC) nên O = BD ∩ (SAC).

a) $O\in (OMN)\cap (ABC)$ (1)
Trong $(SAC)$, $I=AC\cap MN$
$I\in AC,AC\subset (ABC)\Rightarrow I\in (ABC)$
$I\in MN,MN\subset (OMN)\Rightarrow I\in (OMN)$
$\Rightarrow I\in (OMN)\cap (ABC)$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $OI=(OMN)\cap (ABC)$
b) Trong $(ABC)$, $E=OI\cap AB$
$E\in AB$
$E\in OI,OI\subset (OMN)\Rightarrow E\in (OMN)$
Vậy $E=AB\cap (OMN)$

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì hai đường thẳng phân biệt có thể chéo nhau (không đồng phẳng) hoặc song song... song song thì có mặt phẳng, chéo thì không có mặt phẳng nào chứa cả hai. C sai vì ba điểm phân biệt nhưng thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua. D sai vì đường thẳng đi qua điểm đó thì điểm nằm trên đường thẳng, có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng đó. B đúng: tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng, ví dụ 4 đỉnh của một hình chóp (4 đỉnh A, B, C, S của tứ diện), chúng không đồng phẳng. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
A sai vì hai đường thẳng phân biệt chéo nhau hoặc song song không xác định mặt phẳng duy nhất (hai đường chéo nhau không cùng thuộc mặt phẳng nào). B đúng: tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng, ví dụ 4 đỉnh của một hình chóp (không đồng phẳng). C sai vì ba điểm phân biệt nhưng thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua. D sai vì một đường thẳng đi qua điểm đã cho: nếu xét mặt phẳng chứa đường thẳng đó thì luôn chứa điểm đó, nhưng nếu điểm nằm trên đường thẳng thì có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng; mệnh đề nói 'một điểm và một đường thẳng đi qua điểm đó' — khi điểm thuộc đường thẳng thì không xác định mặt phẳng duy nhất. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$ là trung điểm $SA$, $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$, suy ra $MN\parallel AD\parallel BC$. Mặt phẳng $(OMN)$ chứa đường thẳng $MN$ song song với $AD$, mà $AD\subset (ABC)$, nên theo tính chất giao tuyến, $(OMN)\cap (ABC)$ là đường thẳng đi qua $O$ (điểm chung của hai mặt phẳng) và song song với $AD$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
A sai vì hai đường thẳng phân biệt có thể chéo nhau hoặc song song thì không xác định mặt phẳng duy nhất (hai đường cắt nhau hoặc trùng nhau mới được). B đúng vì tồn tại 4 điểm không đồng phẳng, ví dụ 4 đỉnh của một hình chóp (như các điểm không cùng thuộc một mặt phẳng nào). C sai vì ba điểm phân biệt phải thẳng hàng mới không xác định mặt phẳng; nếu thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua. D sai vì một đường thẳng đi qua điểm đó: đường thẳng và điểm nằm trên đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$ là trung điểm của $SA$, $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$, suy ra $MN\parallel AD$. Mà $AD\subset (ABC)$ nên $MN\parallel (ABC)$. Mặt phẳng $(OMN)$ chứa $MN$ và cắt $(ABC)$ theo giao tuyến $d$ đi qua điểm chung $O$ (vì $O\in (ABC)$ và $O\in (OMN)$). Theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng, $d\parallel MN$, do đó $d\parallel AD$ và đi qua $O$. Vậy giao tuyến là đường thẳng đi qua $O$ và song song với $AD$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì hai đường thẳng phân biệt có thể chéo nhau (không đồng phẳng) hoặc song song; chỉ khi chúng cắt nhau hoặc song song thì mới xác định một mặt phẳng. B đúng vì tồn tại 4 điểm không đồng phẳng, ví dụ 4 đỉnh của một hình chóp (như đỉnh S và ba đỉnh A, B, C của đáy), đây là một trong các tiên đề về mặt phẳng. C sai vì ba điểm phân biệt chỉ xác định một mặt phẳng khi ba điểm đó không thẳng hàng; nếu ba điểm thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua chúng. D sai vì một đường thẳng đi qua điểm đã cho: có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng đó và đều chứa điểm đó, nên không xác định duy nhất một mặt phẳng. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$ là trung điểm của $SA$, $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$, suy ra $MN\parallel AD$. Mà $AD\subset (ABC)$ nên $MN\parallel (ABC)$. Mặt khác $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $O\in (ABC)$ và $O\in (OMN)$. Vậy giao tuyến của $(OMN)$ và $(ABC)$ là đường thẳng đi qua $O$ và song song với $AD$ (đường thẳng qua $O$, nằm trong $(OMN)$, song song $MN$). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên đoạn $MN$ nối trung điểm $AD$ và $BC$ đi qua tâm $O$ của hình bình hành (do $OM$ là đường trung tuyến của tam giác $ACD$... chính xác hơn: $O\in AC$ và $BD$, và $MN$ cắt $AC$ tại trung điểm của $AC$ là $O$). Do đó $O\in MN\subset (SMN)$ và $O\in AC\subset (SAC)$. Ngoài ra $S$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến của $(SMN)$ và $(SAC)$ là đường thẳng $SO$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(MSB)$ và $(SAC)$ đều chứa điểm $S$ nên giao tuyến đi qua $S$. Xét trong mặt đáy: $I=BM\cap AC$ với $I$ thuộc $BM\subset (MSB)$ và $I$ thuộc $AC\subset (SAC)$, do đó $I$ cũng thuộc giao tuyến. Vậy giao tuyến của $(MSB)$ và $(SAC)$ là $SI$ với $I$ là giao điểm của $AC$ và $BM$. Chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O=AC\cap BD$ (với đáy $ABCD$ là hình bình hành thì $O$ là tâm). Khi đó $O\in (SBD)$. Xét mặt phẳng $(SAC)$ chứa $A$, $I$, $S$, $O$. Trong $(SAC)$, đường thẳng $AI$ cắt đường thẳng $SO$ tại điểm $K$ (vì $AI$ không song song với $SO$). Điểm $K\in SO\subset (SBD)$ và $K\in AI$, nên $K$ chính là giao điểm của $AI$ và $(SBD)$. Lưu ý $I$ là trung điểm $SC$ không thuộc $(SBD)$, nên đáp án là điểm $K$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SBD$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BD$. Hai mặt phẳng $(CMN)$ và $(ABCD)$ có điểm chung $C$. Vì $MN\parallel BD$, $BD\subset (ABCD)$ và $BD\not\subset (CMN)$, theo định lý về giao tuyến (nếu mặt phẳng $(\alpha )$ chứa đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(\beta )$ thì giao tuyến của $(\alpha )$ và $(\beta )$ là đường thẳng qua điểm chung và song song với $a$), giao tuyến của $(CMN)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng đi qua $C$ và song song với $BD$. Vậy đáp án là D. Loại A vì $I=MN\cap BD$ không tồn tại do $MN\parallel BD$; loại B vì $MN$ không nằm trong $(ABCD)$; loại C vì $BD$ không nằm trong $(CMN)$.

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Ta có $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$, do đó theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng, giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$ (đồng thời song song với $CD$). Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên hai điểm $B$, $I$ đều nằm trên đường thẳng $AB$, tức $BI$ chính là đường thẳng $AB$. Vậy giao tuyến song song với $BI$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SMB)$ và $(SAC)$ đều chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Xét $I=AC\cap BM$: vì $I\in AC\subset (SAC)$ và $I\in BM\subset (SMB)$ nên $I$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là đường thẳng $SI$. Đáp án khớp với mã đề 1002 (câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SMB)$ và $(SAC)$ đều chứa điểm $S$. Trong mặt đáy, $BM$ cắt $AC$ tại $I$ (vì $M$ là trung điểm $CD$ nên $BM$ không song song $AC$). Khi đó $I\in BM\subset (SMB)$ và $I\in AC\subset (SAC)$. Vậy hai mặt phẳng có chung hai điểm phân biệt $S$ và $I$, suy ra giao tuyến là đường thẳng $SI$. Đáp án C, khớp với bảng đáp án mã đề 1001 (câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $E\in SB\subset (SBD)$, $F\in SD\subset (SBD)$ nên $EF\subset (SBD)$. b) Sai: Trong tam giác $SBD$, $EF$ là đường trung bình nên $EF\parallel BD$. Vì $BD\subset (ABCD)$ và $BD\parallel EF$ nên $EF$ không thể cắt $SA$ (nếu $EF$ cắt $SA$ tại $I$ thì $I\in (ABCD)\cap$ đường thẳng qua $E$ song song $BD$, dẫn đến mâu thuẫn vì $SA$ chỉ gặp $(ABCD)$ tại $A$ mà $A\notin EF$). Thực chất $EF\parallel BD$ và $EF$ nằm trong mặt phẳng $(SBD)$, còn $SA$ cắt $(SBD)$ tại $S\notin EF$, nên $EF$ và $SA$ chéo nhau. c) Đúng: $(AEF)$ chứa $EF\parallel BD$ với $BD\subset (ABCD)$, $A\in (AEF)\cap (ABCD)$. Giao tuyến $d$ qua $A$ và song song với $EF$ (định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng). d) Đúng: $EF\parallel BD$, $BD\subset (ABCD)$, $EF\not\subset (ABCD)$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $EF\parallel (ABCD)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$E\in SB$, $F\in SD$ mà $SB,SD\subset (SBD)$ nên $E,F\in (SBD)$, suy ra $EF\subset (SBD)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$EF$ là đường trung bình tam giác $SBD$ nên $EF\parallel BD$. Vì $A\notin EF$ và $EF\parallel BD\subset (ABCD)$, đường thẳng $EF$ và $SA$ chéo nhau (không đồng phẳng), nên $EF$ không cắt $SA$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(AEF)$ và $(ABCD)$ có điểm chung $A$. Vì $EF\parallel BD$ với $BD\subset (ABCD)$, $EF\not\subset (ABCD)$, theo định lý giao tuyến, giao tuyến $d$ đi qua $A$ và song song với $EF$ (cũng song song $BD$). Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$EF\parallel BD$, $BD\subset (ABCD)$, $EF\not\subset (ABCD)$ nên $EF\parallel (ABCD)$. Đúng.