Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(MSB)$ và $(SAC)$ đều chứa điểm $S$ nên giao tuyến đi qua $S$. Xét trong mặt đáy: $I=BM\cap AC$ với $I$ thuộc $BM\subset (MSB)$ và $I$ thuộc $AC\subset (SAC)$, do đó $I$ cũng thuộc giao tuyến. Vậy giao tuyến của $(MSB)$ và $(SAC)$ là $SI$ với $I$ là giao điểm của $AC$ và $BM$. Chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O=AC\cap BD$ (với đáy $ABCD$ là hình bình hành thì $O$ là tâm). Khi đó $O\in (SBD)$. Xét mặt phẳng $(SAC)$ chứa $A$, $I$, $S$, $O$. Trong $(SAC)$, đường thẳng $AI$ cắt đường thẳng $SO$ tại điểm $K$ (vì $AI$ không song song với $SO$). Điểm $K\in SO\subset (SBD)$ và $K\in AI$, nên $K$ chính là giao điểm của $AI$ và $(SBD)$. Lưu ý $I$ là trung điểm $SC$ không thuộc $(SBD)$, nên đáp án là điểm $K$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SBD$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BD$. Hai mặt phẳng $(CMN)$ và $(ABCD)$ có điểm chung $C$. Vì $MN\parallel BD$, $BD\subset (ABCD)$ và $BD\not\subset (CMN)$, theo định lý về giao tuyến (nếu mặt phẳng $(\alpha )$ chứa đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(\beta )$ thì giao tuyến của $(\alpha )$ và $(\beta )$ là đường thẳng qua điểm chung và song song với $a$), giao tuyến của $(CMN)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng đi qua $C$ và song song với $BD$. Vậy đáp án là D. Loại A vì $I=MN\cap BD$ không tồn tại do $MN\parallel BD$; loại B vì $MN$ không nằm trong $(ABCD)$; loại C vì $BD$ không nằm trong $(CMN)$.

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Ta có $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$, do đó theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng, giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$ (đồng thời song song với $CD$). Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên hai điểm $B$, $I$ đều nằm trên đường thẳng $AB$, tức $BI$ chính là đường thẳng $AB$. Vậy giao tuyến song song với $BI$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$ (vì $ABCD$ là hình bình hành), $S(0;0;h)$. Khi đó $M$ trung điểm $SC$ là $M\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{h}{2}\right)$.

Mặt phẳng $(ABM)$ đi qua $A$ và chứa vectơ $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$, $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{h}{2}\right)$. VTCP của pháp tuyến: $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AM}=(0;-\frac{h}{2};\frac{1}{2})$, nên phương trình mặt phẳng: $-\frac{h}{2}y+\frac{1}{2}z=0$, tức $z=hy$.

Điểm $F$ trên đường thẳng $SD$: $F=(0;t;h(1-t))$ với $t=\frac{SF}{SD}$ (tham số từ $S$ khi $t=0$ đến $D$ khi $t=1$). Thay vào phương trình mặt phẳng: $h(1-t)=ht\Rightarrow t=\frac{1}{2}$.

Vậy $\frac{SF}{SD}=\frac{1}{2}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành trên mặt đáy $ABCD$). Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (quy tắc ba vectơ cùng xuất phát, vì $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$). Vậy tổng bằng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 001, câu 7 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ kiểm chứng: A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), C(1;1;0), S(0;0;1). Khi đó O(0,5;0,5;0), I(0,5;0;0,5), K(0;0,5;0,5).
a) Mặt phẳng (CKB) có phương trình z = 0,5(1−x). Đường thẳng SA: (0;0;λ) cắt mặt phẳng tại λ = 0,5 nên J(0;0;0,5) là trung điểm SA. Đường thẳng qua K song song DC (phương trình (t;0,5;0,5)) không chứa J vì hoành y của J bằng 0 ≠ 0,5. Vậy a) Sai.
b) Mặt phẳng (OIA): x − y − z = 0; mặt phẳng (SCD): y + z = 1. Giao tuyến: x = 1, y + z = 1, đi qua C(1;1;0) với chỉ phương (0;1;−1) cùng phương SD. Vậy b) Đúng.
c) Cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) đều chứa S và O (O là giao điểm hai đường chéo hình bình hành), nên giao tuyến là SO. Vậy c) Đúng.
d) I(0,5;0;0,5) và J(0;0;0,5) nên IJ có chỉ phương (1;0;0) song song CD (chỉ phương (1;0;0)). Vậy d) Đúng.
Kết quả khớp đáp án mã đề 1002: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
J là trung điểm SA (tọa độ (0;0;0,5)), không nằm trên đường thẳng qua K song song DC (các điểm có dạng (t;0,5;0,5)).
b) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của (OIA): x−y−z=0 và (SCD): y+z=1 là đường thẳng x=1, y+z=1, đi qua C và có chỉ phương (0;1;−1) cùng phương SD.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cả (SAC) và (SBD) đều chứa S và O nên giao tuyến là SO.
d) (AI giải đề cho tôi)
I(0,5;0;0,5), J(0;0;0,5) nên IJ có chỉ phương (1;0;0) song song CD.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $A$ là gốc, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$.

Ta có:
- $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$: $\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{2\vec{b}+\vec{d}}{3}$.
- $P$ là trung điểm $SC$: $\overrightarrow{AP}=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{2}$.
- $R$ trên $SD$: $\overrightarrow{AR}=(1-t)\vec{s}+t\vec{d}$ với $t=\frac{SR}{SD}$.

Vì $R\in (AGP)$ nên $\overrightarrow{AR}=\alpha \overrightarrow{AG}+\beta \overrightarrow{AP}=\frac{\beta }{2}\vec{s}+\left(\frac{2\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}\right)\vec{b}+\left(\frac{\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}\right)\vec{d}$.

So sánh hệ số:
- Theo $\vec{b}$: $0=\frac{2\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}\Rightarrow \alpha =-\frac{3\beta }{4}$.
- Theo $\vec{d}$: $t=\frac{\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}=\frac{\beta }{4}$.
- Theo $\vec{s}$: $1-t=\frac{\beta }{2}\Rightarrow 1=\frac{\beta }{2}+\frac{\beta }{4}=\frac{3\beta }{4}\Rightarrow \beta =\frac{4}{3}$.

Suy ra $t=\frac{1}{3}$, tức $\frac{SR}{SD}=\frac{1}{3}\approx 0,33$, khớp với đáp án nguồn.

a) Vẽ hình:
[Hình cần kiểm tra lại: p11_f1]
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(CMN)$ và $(CAD)$. Xét mặt phẳng $(CMN)$ và $(CAD)$ có C là điểm chung thứ nhất. Trong mặt phẳng $(SAD)$, gọi K là giao điểm của MN và AD. Khi đó K là điểm chung thứ 2. Khi đó: $(CMN)\cap (CAD)=CK$.
b) Chứng minh $NG//(ABCD)$. Gọi I là trung điểm của AB. Xét tam giác SID có $\frac{SG}{SI}=\frac{SN}{SD}=\frac{2}{3}$ suy ra $GN//ID$. Từ $$\begin{array}{rl}GN& //ID\\ ID& \subset (ABCD)\\ GN& \not\subset (ABCD)\end{array}\}\Rightarrow GN//(ABCD)$$
Học sinh làm các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SMB)$ và $(SAC)$ đều chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Xét $I=AC\cap BM$: vì $I\in AC\subset (SAC)$ và $I\in BM\subset (SMB)$ nên $I$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là đường thẳng $SI$. Đáp án khớp với mã đề 1002 (câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $N$ là giao điểm của $SD$ và $(ACM)$. Trong mặt phẳng $(SBD)$, $M$ thuộc $SB$ nên đường thẳng $BM$ cắt $SD$ tại $N$. Xét tam giác $SBD$: $O$ là giao điểm của $BD$ và $MO$... Cụ thể: trong $(SBD)$, đường thẳng $MO$ cắt $SD$ tại $N$ (vì $M\in (ACM)\cap (SBD)$, $A,C$ thuộc $(ACM)$ nhưng $BD\cap AC=O$ nên $O\in (ACM)$; $O$ cũng thuộc $(SBD)$). Vậy $(ACM)\cap (SBD)=OM$, do đó $N=SD\cap OM$. Kiểm tra vị trí: $SB=4SM\Rightarrow SM/SB=1/4$. Trong tam giác $SBD$, $M$ trên $SB$ với $SM/MB=1/3$, đường thẳng qua $M$ và $O$ ($O$ trung điểm $BD$) cắt $SD$ tại $N$; dùng định lý Menelaus: $SM/MB\cdot BO/OD\cdot DN/NS=1\Rightarrow (1/3)\cdot 1\cdot (DN/NS)=1\Rightarrow DN=3NS$, tức $N$ nằm trên đoạn $SD$ kéo dài... thực tế $N$ nằm trên tia $D$ sao cho $SN=4/3SD$, vẫn là giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $(ACM)$. Vậy giao điểm nằm trên đường thẳng $OM$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
$G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $BF$. Khi đó $E$ và $G$ cùng thuộc mặt phẳng $(ABF)$. Mặt phẳng $(ABF)$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ theo giao tuyến $AF$ (vì $A$, $F$ = trung điểm $CD$ đều thuộc cả hai mặt phẳng). Do $E$ không thuộc $(ACD)$, đường thẳng $EG$ cắt $(ACD)$ tại giao điểm của $EG$ với $AF$. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
$G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $BF$. Khi đó $E$ (thuộc $AB$) và $G$ (thuộc $BF$) cùng nằm trong mặt phẳng $(ABF)$. Mặt phẳng $(ABF)$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ theo giao tuyến $AF$ (vì $A$ chung, $F=AB\cap \dots$ thực chất $F$ thuộc $CD$ nên $F$ thuộc $(ACD)$, và $A$, $F$ cùng thuộc cả hai mặt phẳng). Do đó giao điểm của $EG$ với $(ACD)$ là giao điểm của $EG$ với $AF$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ kiểm chứng: A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), S(0,0,1); khi đó O(0.5,0.5,0), I(0.5,0,0.5), K(0,0.5,0.5).
a) Mặt phẳng (OIA) có phương trình x - y - z = 0; mặt phẳng (SCD) có phương trình y + z = 1. Giao tuyến: x = 1, y + z = 1, đi qua C(1,1,0) và có vectơ chỉ phương (0,-1,1) song song với SD(0,1,-1). Vậy giao tuyến đi qua C và song song SD → Đúng.
b) Mặt phẳng (CKB) có phương trình x + 2z = 1. Đường SA: (0,0,t) ⇒ z = 0.5, nên J(0,0,0.5) là trung điểm SA. Vectơ IJ = (-0.5,0,0) song song với trục x, tức song song AB và cũng song song DC (vì ABCD là hình bình hành). Vậy CD ∥ IJ → Đúng.
c) Đường qua K song song DC là (t, 0.5, 0.5); J(0,0,0.5) không thuộc đường này (tung độ 0 ≠ 0.5) → Sai.
d) O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành nên O thuộc cả AC và BD; do đó O thuộc cả (SAC) và (SBD), còn S hiển nhiên thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD) → Đúng (định lý giao tuyến hai mặt phẳng).
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001: Đ-Đ-S-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(OIA): x - y - z = 0; (SCD): y + z = 1. Giao tuyến x = 1, y + z = 1 đi qua C(1,1,0), vectơ chỉ phương (0,-1,1) ∥ SD.
b) (AI giải đề cho tôi)
(CKB): x + 2z = 1; J = SA ∩ (CKB) = (0,0,0.5) trung điểm SA. IJ = (-0.5,0,0) ∥ AB ∥ DC, nên CD ∥ IJ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường qua K(0,0.5,0.5) song song DC là (t,0.5,0.5); J(0,0,0.5) không thuộc đường này.
d) (AI giải đề cho tôi)
O thuộc AC và BD nên thuộc cả (SAC) và (SBD); S chung, vậy SO là giao tuyến (ĐĐSĐ).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $A$: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$. Trọng tâm tam giác $ABC$: $\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{2\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Trung điểm $SC$: $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{2}$. Điểm $K$ trên $SD$: $\overrightarrow{AK}=(1-\lambda )\vec{s}+\lambda \vec{d}$ với $\lambda =\frac{SK}{SD}$. Vì $K\in (AGM)$ nên $\overrightarrow{AK}=\alpha \overrightarrow{AG}+\beta \overrightarrow{AM}$. So sánh hệ số: theo $\vec{s}$: $1-\lambda =\frac{\beta }{2}$; theo $\vec{b}$: $0=\frac{2\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}\Rightarrow \alpha =-\frac{3\beta }{4}$; theo $\vec{d}$: $\lambda =\frac{\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}=\frac{\beta }{4}$. Suy ra $1-\frac{\beta }{4}=\frac{\beta }{2}\Rightarrow \beta =\frac{4}{3}$, $\lambda =\frac{1}{3}$. Vậy $\frac{KS}{KD}=\frac{\lambda }{1-\lambda }=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}=0,5$, khớp với bảng đáp án mã đề 1001, câu 17: 0,5.

a) Vẽ hình:
[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(BMN)$ và $(ABD)$. Xét mặt phẳng $(BMN)$ và $(ABD)$ có B là điểm chung thứ nhất. Trong mặt phẳng $(SAD)$, gọi K là giao điểm của MN và AD. Khi đó K là điểm chung thứ 2. Khi đó: $(BMN)\cap (ABD)=BK$.
b) Chứng minh $GN//(SAB)$. Gọi I là trung điểm của CD. Xét tam giác SID có $\frac{SG}{SI}=\frac{SN}{SD}=\frac{2}{3}$ suy ra $GN//ID$, mà $ID//AB$ nên $GN//AB$. $$\begin{array}{rl}GN& //AB\\ \text{Từ }AB& \subset (SAB)\\ GN& \not\subset (SAB)\end{array}\}\Rightarrow GN//(SAB)(\text{đpcm})$$
Học sinh làm các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SMB)$ và $(SAC)$ đều chứa điểm $S$. Trong mặt đáy, $BM$ cắt $AC$ tại $I$ (vì $M$ là trung điểm $CD$ nên $BM$ không song song $AC$). Khi đó $I\in BM\subset (SMB)$ và $I\in AC\subset (SAC)$. Vậy hai mặt phẳng có chung hai điểm phân biệt $S$ và $I$, suy ra giao tuyến là đường thẳng $SI$. Đáp án C, khớp với bảng đáp án mã đề 1001 (câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $N=SD\cap (ACM)$. Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O=AC\cap BD$, do đó $O\in AC\subset (ACM)$ và $O\in BD$. Xét mặt phẳng $(SBD)$: nó chứa đường thẳng $SD$ và chứa điểm $O$, đồng thời chứa $M\in SB$. Vậy $N$ là giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $(ACM)$ chính là giao điểm của $SD$ với đường thẳng $OM$ (vì $OM$ là giao tuyến của $(SBD)$ và $(ACM)$, cả hai mặt phẳng đều chứa $O$ và $M$). Do đó giao điểm nằm trên đường thẳng $OM$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện là hình đa diện gồm 4 đỉnh, 4 mặt đều là tam giác. Xét 4 hình trong đề: hình thứ nhất có 4 đỉnh $A,B,C,D$ với các mặt đều là tam giác nên là tứ diện; hình thứ hai là hình chóp $S.ABCD$ có đáy tứ giác (5 đỉnh) nên không phải tứ diện; hình thứ ba là hình lăng trụ nên không phải tứ diện; hình thứ tư không phải là tứ diện (các điểm không tạo thành hình đa diện có 4 mặt tam giác như yêu cầu). Vậy chỉ có 1 hình tứ diện, tương ứng đáp án C. Kết quả này trùng với đáp án của đề (Câu 10, Mã đề 132: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $E\in SB\subset (SBD)$, $F\in SD\subset (SBD)$ nên $EF\subset (SBD)$. b) Sai: Trong tam giác $SBD$, $EF$ là đường trung bình nên $EF\parallel BD$. Vì $BD\subset (ABCD)$ và $BD\parallel EF$ nên $EF$ không thể cắt $SA$ (nếu $EF$ cắt $SA$ tại $I$ thì $I\in (ABCD)\cap$ đường thẳng qua $E$ song song $BD$, dẫn đến mâu thuẫn vì $SA$ chỉ gặp $(ABCD)$ tại $A$ mà $A\notin EF$). Thực chất $EF\parallel BD$ và $EF$ nằm trong mặt phẳng $(SBD)$, còn $SA$ cắt $(SBD)$ tại $S\notin EF$, nên $EF$ và $SA$ chéo nhau. c) Đúng: $(AEF)$ chứa $EF\parallel BD$ với $BD\subset (ABCD)$, $A\in (AEF)\cap (ABCD)$. Giao tuyến $d$ qua $A$ và song song với $EF$ (định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng). d) Đúng: $EF\parallel BD$, $BD\subset (ABCD)$, $EF\not\subset (ABCD)$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $EF\parallel (ABCD)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$E\in SB$, $F\in SD$ mà $SB,SD\subset (SBD)$ nên $E,F\in (SBD)$, suy ra $EF\subset (SBD)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$EF$ là đường trung bình tam giác $SBD$ nên $EF\parallel BD$. Vì $A\notin EF$ và $EF\parallel BD\subset (ABCD)$, đường thẳng $EF$ và $SA$ chéo nhau (không đồng phẳng), nên $EF$ không cắt $SA$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(AEF)$ và $(ABCD)$ có điểm chung $A$. Vì $EF\parallel BD$ với $BD\subset (ABCD)$, $EF\not\subset (ABCD)$, theo định lý giao tuyến, giao tuyến $d$ đi qua $A$ và song song với $EF$ (cũng song song $BD$). Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$EF\parallel BD$, $BD\subset (ABCD)$, $EF\not\subset (ABCD)$ nên $EF\parallel (ABCD)$. Đúng.