Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định với $x>0$. Ta có $f^{\prime }(x)=16x^2-\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Giải $f^{\prime }(x)=0$: $16x^2=\frac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow 32x^{5/2}=1\Rightarrow x^{5/2}=\frac{1}{32}=2^{-5}\Rightarrow x=2^{-2}=\frac{1}{4}$. Vậy $x=\frac{1}{4}=0,25$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $y=2^x+e^2$ có $y^{\prime }=2^x\ln 2$ (vì $e^2$ là hằng số, đạo hàm bằng 0), không phải $2^x\ln 2+2e$.
b) Đúng: $y^{\prime }=\cos x-\sin x$, $y^{\prime \prime }=-\sin x-\cos x=-y$.
c) Đúng: $y=x{e}^{-x}$ nên $y^{\prime }=e^{-x}+x(-e^{-x})=\frac{1-x}{e^x}$.
d) Sai: $f(x)=x\log x^2$ (xác định với $x\ne 0$), $f^{\prime }(x)=\log x^2+x\cdot \frac{2x}{x^2\ln 10}=\log x^2+\frac{2}{\ln 10}$; $g^{\prime }(x)=2\log e=\frac{2}{\ln 10}$. Bất phương trình $f^{\prime }(x)\le g^{\prime }(x)\iff \log x^2\le 0\iff 0<x^2\le 1\iff 0<|x|\le 1$, tập nghiệm $[-1;0)\cup (0;1]$ chỉ chứa hai số nguyên là $x=\pm 1$, không chứa ba số nguyên.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2^x\ln 2$ vì $e^2$ là hằng số nên đạo hàm bằng 0, không phải $2^x\ln 2+2e$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\cos x-\sin x$, $y^{\prime \prime }=-\sin x-\cos x=-y$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=x{e}^{-x}$, $y^{\prime }=e^{-x}-x{e}^{-x}=\frac{1-x}{e^x}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\log x^2+\frac{2}{\ln 10}$, $g^{\prime }(x)=\frac{2}{\ln 10}$. Bất phương trình trở thành $\log x^2\le 0\iff 0<|x|\le 1$, chỉ có hai số nguyên $x=\pm 1$, không phải ba.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\ln \left(x\sqrt{x^2+5}\right)$, ta có $y=\ln x+\frac{1}{2}\ln (x^2+5)$ trên $(0;+\infty )$. Suy ra $y^{\prime }=\frac{1}{x}+\frac{x}{x^2+5}=\frac{(x^2+5)+x^2}{x(x^2+5)}=\frac{2x^2+5}{x^3+5x}$. Vậy $a=2$, $b=5$, do đó $P=a^5-26b=2^5-26\cdot 5=32-130=-98$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-98$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{10x^3}{3}-\frac{4}{x}+\cot x$ xác định với $x\ne 0$ và $\sin x\ne 0$. Ta tính đạo hàm từng thành phần:
- ${\left(\frac{10x^3}{3}\right)}^{\prime }=10x^2$.
- ${\left(-\frac{4}{x}\right)}^{\prime }=\frac{4}{x^2}$.
- $(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$.
Vậy $y^{\prime }=10x^2+\frac{4}{x^2}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, với $x\ne k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

(AI giải đề cho tôi)
Dùng quy tắc đạo hàm của thương: $y^{\prime }=\frac{(x+1{)}^{\prime }{e}^x-(x+1)(e^x{)}^{\prime }}{(e^x{)}^2}=\frac{e^x-(x+1)e^x}{e^{2x}}=\frac{-x{e}^x}{e^{2x}}=\frac{-x}{e^x}$. Vậy đáp án là C. Bảng đáp án của mã đề 1145 không ghi kết quả câu 7 nên không có mâu thuẫn.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức đạo hàm của thương: $y^{\prime }=\frac{(x^2-2x-1{)}^{\prime }(x-2)-(x^2-2x-1)(x-2{)}^{\prime }}{(x-2{)}^2}=\frac{(2x-2)(x-2)-(x^2-2x-1)}{(x-2{)}^2}$. Tính tử số: $(2x-2)(x-2)=2x^2-6x+4$; trừ đi $(x^2-2x-1)$ ta được $2x^2-6x+4-x^2+2x+1=x^2-4x+5$. Vậy $y^{\prime }=\frac{x^2-4x+5}{(x-2{)}^2}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tính đạo hàm: $f^{\prime }(x)=\frac{(x^2+1)-(x-1)\cdot x}{(x^2+1{)}^{3/2}}=\frac{x+1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$. Vậy $a=1,b=1$, do đó $S=2a+b=3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=2^{2x}=4^x$, nên $y^{\prime }=4^x\ln 4$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+3$ — đúng. b) $f(0)=1\ne 7$ — sai. c) $f(2)=7$, $f^{\prime }(2)=7$ nên tiếp tuyến $y=7(x-2)+7=7x-7$ — đúng. d) $f^{\prime }(x)=3\iff 3x^2-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{4}{3}$, hai tiếp tuyến — đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-4x+3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=1\ne 7$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=7$, $f^{\prime }(2)=7$, tiếp tuyến $y=7x-7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3\iff 3x^2-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{4}{3}$: có hai tiếp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\sqrt{x^2+3}$, nên $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$. Suy ra $f(1)=\sqrt{4}=2$ và $f^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$. Do đó $S=f(1)+4f^{\prime }(1)=2+4\cdot \frac{1}{2}=4$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{2x-3}$ xác định tại $x_0=-1$ (vì $2(-1)-3=-5\ne 0$). Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-3)-2(x+1)}{(2x-3{)}^2}=\frac{-5}{(2x-3{)}^2}$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0=-1$ là $y^{\prime }(-1)=\frac{-5}{(-5{)}^2}=-\frac{1}{5}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-2$, tại $x=1$: $k=y^{\prime }(1)=3-2=1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=(2x-1)\sqrt{x^2+x}$, áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=2\sqrt{x^2+x}+(2x-1)\cdot \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}=\frac{4(x^2+x)+(2x-1)(2x+1)}{2\sqrt{x^2+x}}=\frac{4x^2+4x+4x^2-1}{2\sqrt{x^2+x}}=\frac{8x^2+4x-1}{2\sqrt{x^2+x}}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{3(x+1)-(3x+2)}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}$ với $x\ne -1$.
a) Vì $(x+1{)}^2>0$ với mọi $x\ne -1$ nên $f^{\prime }(x)>0$, mệnh đề đúng.
b) $f^{\prime }(2)=\frac{1}{9}$, $f^{\prime }(-3)=\frac{1}{4}$, tổng $=\frac{4+9}{36}=\frac{13}{36}\ne \frac{5}{36}$, mệnh đề sai.
c) $f^{\prime }(x)=25\iff \frac{1}{(x+1{)}^2}=25\iff (x+1{)}^2=\frac{1}{25}\iff x=-\frac{4}{5}$ hoặc $x=-\frac{6}{5}$. Tích hai nghiệm $=\frac{24}{25}\ne \frac{26}{25}$, mệnh đề sai.
d) $f(-2)=\frac{-6+2}{-1}=4$ nên $M(-2;4)$ thuộc đồ thị. $f^{\prime }(-2)=1$ nên tiếp tuyến tại $M$: $y=4+1\cdot (x+2)=x+6$. Thay $E(-5;1)$: $-5+6=1$ đúng, nên $E$ thuộc tiếp tuyến, mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(2)+f^{\prime }(-3)=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}=\frac{13}{36}\ne \frac{5}{36}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm của $f^{\prime }(x)=25$ là $x=-\frac{4}{5},x=-\frac{6}{5}$; tích $=\frac{24}{25}\ne \frac{26}{25}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $M(-2;4)$ có phương trình $y=x+6$; với $x=-5$ thì $y=1$, nên đi qua $E(-5;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Năm 2025 ứng với $t=2025-2015=10$. Ta có $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$, nên $f^{\prime }(t)=\frac{26(t+5)-(26t+10)}{(t+5{)}^2}=\frac{120}{(t+5{)}^2}$. Vậy tốc độ tăng dân số năm 2025 là $f^{\prime }(10)=\frac{120}{15^2}=\frac{120}{225}=\frac{8}{15}\approx 0,53$ (nghìn người/năm).

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn hàm số: $y=\frac{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{-\cos 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x}=-2\cot 2x$. Khi đó $y^{\prime }=4{\csc }^{2}2x=\frac{4}{{\sin }^{2}2x}$. Tại $x=\frac{\pi }{6}$ thì $2x=\frac{\pi }{3}$, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $y^{\prime }{|}_{x=\pi /6}=\frac{4}{3/4}=\frac{16}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
$y=\sqrt{x}$ có $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Tại $x=4$: $k=y^{\prime }(4)=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần tự luận):

a) Hàm số $y=\sin 3x-2\sqrt{x}-5$ xác định với $x\ge 0$.
$$y^{\prime }=3\cos 3x-2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=3\cos 3x-\frac{1}{\sqrt{x}},x>0.$$

b) Với $y=2x^2-3x$ tại $x_0=2$:
- $y_0=2\cdot 4-3\cdot 2=8-6=2$ nên tiếp điểm $M(2;2)$.
- $y^{\prime }=4x-3$ nên $y^{\prime }(2)=8-3=5$ là hệ số góc $k=5$.
- Phương trình tiếp tuyến: $y=5(x-2)+2=5x-8$.

Vậy $y=5x-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y={\log }_4(2x^2-3)=\frac{\ln (2x^2-3)}{\ln 4}$. Do đó $y^{\prime }=\frac{1}{\ln 4}\cdot \frac{4x}{2x^2-3}=\frac{4x}{(2x^2-3)\ln 4}=\frac{4x}{(2x^2-3)\cdot 2\ln 2}=\frac{2x}{(2x^2-3)\ln 2}$. Vậy đáp án D. (Hàm xác định khi $2x^2-3>0$, tức $|x|>\sqrt{3/2}$.)

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x^2+4x$. Tại $x_0=-1$: $y^{\prime }(-1)=-3(-1{)}^2+4(-1)=-3-4=-7$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là $-7$.