Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=-x^3+3x^2+1$. a) $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$: hai nghiệm phân biệt → Đúng. b) $f(-1)=-(-1{)}^3+3(-1{)}^2+1=1+3+1=5\ne -3$ → Sai. c) Đạo hàm đúng là $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x$, không phải $-x^2+3x+1$ → Sai. d) $f^{\prime \prime }(x)=-6x+6$ nên $f^{\prime \prime }(0)=6\ne 0$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1011: ĐSSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0$ có hai nghiệm $x=0,x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-1)=1+3+1=5\ne -3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-3x^2+6x$, không phải $-x^2+3x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime \prime }(x)=-6x+6$ nên $f^{\prime \prime }(0)=6\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính đạo hàm: $y=2\sin x+7\cos x-1$ nên $y^{\prime }=2\cos x-7\sin x+0$. So sánh với $y^{\prime }=a\cos x+b\sin x+c$ ta được $a=2$, $b=-7$, $c=0$. Vậy $P=a+b+c=2+(-7)+0=-5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1011, câu 16: -5).

a) Tính $y^{\prime }=x^2+2x-3$ (0,5 điểm).

b) Giải pt $y^{\prime }=0\iff x^2+2x-3=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-3\end{array}$ (0,25 điểm).

c) Do TT song song với d: $y=-3x+1\Rightarrow$ k = -3.

Hệ số góc của TT: k = -3 $\iff y^{\prime }=-3\iff x^2+2x-3=-3\iff x^2+2x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}$ (0,25 điểm).

TH1: $x_0=0\Rightarrow y_0=y(0)=1$; (k = -3)

$\Rightarrow$ PTTT : $y-1=-3(x-0)$
$\iff y=-3x+1$ (loại) (0,25 điểm).

TH2: $x_0=-2\Rightarrow y_0=y(-2)=\frac{25}{3}$; (k = -3)

$\Rightarrow$ PTTT : $y-\frac{25}{3}=-3(x+2)$
$\iff y=-3x+\frac{7}{3}$

KL: Có 1 TT song song với d là $y=-3x+\frac{7}{3}$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1: Các quy tắc đạo hàm đúng là $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$, $(u-v{)}^{\prime }=u^{\prime }-v^{\prime }$, $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Đối với thương, công thức đúng là ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ (dấu trừ ở tử), trong khi đáp án D viết $\frac{u^{\prime }v+u{v}^{\prime }}{v^2}$ nên D là khẳng định sai. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-6x+8$. Giải $y^{\prime }=0$: $x^2-6x+8=0\iff x=2$ hoặc $x=4$. Tích các nghiệm: $2\cdot 4=8$. Vậy chọn đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã 111, Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) $f^{\prime }(x)=2x-6$ nên $f^{\prime }(-3)=2(-3)-6=-12\ne 32$ → Sai. b) $f^{\prime }(x)=2x-6$ → Đúng. c) $f(-3)=9+18+5=32$, tiếp tuyến: $y=f^{\prime }(-3)(x+3)+32=-12(x+3)+32=-12x-4$ → Đúng. d) $f^{\prime }(a)=2a-6=2\Rightarrow a=4$, $b=f(4)=16-24+5=-3$, nên $a+b=1$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã 111, Câu 1: S, Đ, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(-3)=2(-3)-6=-12\ne 32$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=2x-6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(-3)=32$, $y=-12(x+3)+32=-12x-4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2a-6=2\Rightarrow a=4$, $b=-3$, $a+b=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc thương: $y^{\prime }=\frac{(2x+3)(x+2)-(x^2+3x+8)}{(x+2{)}^2}=\frac{2x^2+7x+6-x^2-3x-8}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x-2}{(x+2{)}^2}$. Vậy $a=1,b=4,c=-2$, do đó $T=a+b+c=1+4-2=3$. Kết quả trùng với đáp số nguồn (đáp số 3).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa: $(x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$. Với $y=x^{2026}$, ta có $y^{\prime }=2026\cdot x^{2026-1}=2026\cdot x^{2025}$. Vậy đáp án đúng là B, trùng với đáp án trong bảng mã đề 111 (Câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=5^x$ là hàm số mũ với cơ số $a=5>0$, $a\ne 1$. Theo công thức đạo hàm của hàm số mũ $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$, ta có $y^{\prime }=5^x\ln 5$. Do đó đáp án đúng là C, trùng với đáp án trong bảng mã đề 111 (Câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc tích: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Với $u=x$, $v=\sin x$ ta có $u^{\prime }=1$, $v^{\prime }=\cos x$, nên $y^{\prime }=(x\sin x{)}^{\prime }=1\cdot \sin x+x\cos x=\sin x+x\cos x$. Kết quả trùng với đáp án B và với bảng đáp án mã đề 111 (Câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\log x={\log }_{10}x$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{1}{x\ln 10}$ với $x>0$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã 111, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{x+2}$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}$ với $x>-2$. Tại điểm có hoành độ $x=3$: $y^{\prime }(3)=\frac{1}{2\sqrt{3+2}}=\frac{1}{2\sqrt{5}}$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là $\frac{1}{2\sqrt{5}}$, trùng với đáp án C (khớp với đáp án nguồn C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot (-\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ (với $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$). Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 111, Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ và $(2x{)}^{\prime }=2$, nên với $y=\tan x-2x$ thì $y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-2$. Kết quả trùng với đáp án B trong đề và với bảng đáp án (mã 112, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2+5x+4$.

a) $f^{\prime }(x)=x^2-6x+5$, $f^{\prime \prime }(x)=2x-6$. Giải $f^{\prime \prime }(x)=0\iff x=3\ne 4$ → Sai.

b) $f(3)=9-27+15+4=1$ nên $M(3;1)\in (C)$. $f^{\prime }(3)=9-18+5=-4$. Tiếp tuyến: $y=-4(x-3)+1=-4x+13\ne -4x+10$ → Sai.

c) $f^{\prime }(x)=x^2-6x+5\ne x^2-6x+4$ → Sai.

d) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=3$ đúng là $k=f^{\prime }(3)=-4$ → Đúng.

Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng, phù hợp với đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime \prime }(x)=2x-6=0\iff x=3$, không có nghiệm $x=4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(3)=-4$, $f(3)=1$, tiếp tuyến là $y=-4(x-3)+1=-4x+13\ne -4x+10$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x^2-6x+5$, không phải $x^2-6x+4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hệ số góc của tiếp tuyến tại hoành độ $x=3$ là $k=f^{\prime }(3)=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{(4x-1)(x-1)-(2x^2-x+4)}{(x-1{)}^2}=\frac{4x^2-5x+1-2x^2+x-4}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-4x-3}{(x-1{)}^2}$. Vậy $a=2,b=-4,c=-3$, nên $S=a^2+b^2+c^2=4+16+9=29$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (29).

(AI giải đề cho tôi)
Ta kiểm tra từng mệnh đề: $(c{)}^{\prime }=0$ đúng với hằng số $c$; $(x{)}^{\prime }=1$ đúng; ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n.x^{n-1}$ đúng với $n$ nguyên lớn hơn 1. Riêng mệnh đề A sai vì $(\sqrt{x}{)}^{\prime }={\left(x^{1/2}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ với $x>0$, chứ không phải $\frac{1}{\sqrt{x}}$. Vậy mệnh đề sai là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc tích: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ với $u=e^x$, $v=\sin x$. Ta có $u^{\prime }=e^x$, $v^{\prime }=\cos x$. Suy ra $y^{\prime }=e^x\sin x+e^x\cos x$. Kết quả trùng với đáp án A, cũng khớp với đáp án của đề (mã đề 112, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề: A đúng vì $(x^n{)}^{\prime }=n.x^{n-1}$ với $n$ nguyên lớn hơn 1. B đúng vì đạo hàm hằng số bằng 0. D đúng vì $(x{)}^{\prime }=1$. C sai vì $(\sqrt{x}{)}^{\prime }={\left(x^{1/2}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ với $x>0$, không phải $\frac{1}{\sqrt{x}}$. Vậy mệnh đề sai là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=(e^x{)}^{\prime }\sin x+e^x(\sin x{)}^{\prime }=e^x\sin x+e^x\cos x$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 12: B).