Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

$y=\sqrt{{\log }_3\left(x^3+2x\right)}=\frac{{\left({\log }_3\left(x^3+2x\right)\right)}^{\prime }}{2\sqrt{{\log }_3\left(x^3+2x\right)}}$

$=\frac{{\left(x^3+2x\right)}^{\prime }}{2\sqrt{{\log }_3\left(x^3+2x\right)}.\left(x^3+2x\right)\ln 3}$

$=\frac{3x^2+2}{2\sqrt{{\log }_3\left(x^3+2x\right)}.\left(x^3+2x\right)\ln 3}$

Thay số. (Lưu ý: HS ra kết quả gần đúng cũng cho điểm. HS ko tính đạo hàm, chỉ có kết quả cuối cùng KHÔNG cho điểm.) (điểm 0,25 × 4).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2}{x}$ có đạo hàm $y^{\prime }={\left(2x^{-1}\right)}^{\prime }=-2x^{-2}=\frac{-2}{x^2}$ (với $x\ne 0$). Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Đề 1011, Câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Với $y={\log }_{3}x$ trên khoảng $(0;+\infty )$, ta có công thức đạo hàm $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$. Do đó $y^{\prime }=\frac{1}{x\ln 3}$, tương ứng phương án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (mã đề 1102), Phần II đúng-sai, hàm số $f(x)=x^5+3x$.
a) Sai. Theo định nghĩa, $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$, còn mẫu $x+x_0$ và tử $f(x)+f(x_0)$ trong đề là sai (khi $x\to x_0$ mẫu tiến về $2x_0$, không phải dạng hiệu thương).
b) Đúng. $f^{\prime }(x)=5x^4+3$.
c) Đúng. Với $x\ne 0$ (thực chất $f(x)=x(x^4+3)\ne 0$ khi $x\ne 0$), $g^{\prime }(x)=-\frac{f^{\prime }(x)}{[f(x){]}^2}=-\frac{5x^4+3}{(x^5+3x{)}^2}$.
d) Sai. $M(1;4)$ thuộc $(C)$ vì $f(1)=1+3=4$. $f^{\prime }(1)=5+3=8$, tiếp tuyến: $y=8(x-1)+4=8x-4\ne 8x-3$.
Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai — khớp đáp án nguồn (S Đ Đ S cho mã 1102).
a) (AI giải đề cho tôi)
Định nghĩa đúng là $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$; biểu thức với $f(x)+f(x_0)$ và $x+x_0$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=5x^4+3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=-\frac{f^{\prime }(x)}{[f(x){]}^2}=-\frac{5x^4+3}{(x^5+3x{)}^2}$ với $x\ne 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(1)=8$, tiếp tuyến tại $M(1;4)$: $y=8(x-1)+4=8x-4$, không phải $y=8x-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x+2}$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{3(x+2)-(3x+1)}{(x+2{)}^2}=\frac{5}{(x+2{)}^2}$. Tại $x_0=-1$ (thuộc tập xác định vì $x\ne -2$): $y^{\prime }(-1)=\frac{5}{(-1+2{)}^2}=5$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, Phần III câu 1 = 5).

$y^{\prime }=3{\sin }^{2}x.(\sin x{)}^{\prime }-\sin 2x.(2x{)}^{\prime }=3{\sin }^{2}x.\cos x-2\sin 2x$.

(Học sinh đạo hàm đúng một trong hai hàm cho 0,25đ)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng theo định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. b) $f^{\prime }(x)=5x^4+4$, đúng. c) $g(x)=\frac{1}{f(x)}\Rightarrow g^{\prime }(x)=-\frac{f^{\prime }(x)}{f(x{)}^2}=-\frac{5x^4+4}{(x^5+4x{)}^2}$, mệnh đề thiếu dấu âm nên sai. d) $f(1)=5$ nên $M(1;5)$ thuộc $(C)$, $f^{\prime }(1)=9$, tiếp tuyến: $y=9(x-1)+5=9x-4\ne 9x+5$, sai. Kết quả khớp đáp án Đ Đ S S của đề.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định nghĩa đạo hàm của $f$ tại $x_0$: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x^5+4x\Rightarrow f^{\prime }(x)=5x^4+4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ ta có $g^{\prime }(x)=-\frac{f^{\prime }(x)}{[f(x){]}^2}=-\frac{5x^4+4}{(x^5+4x{)}^2}$, mệnh đề thiếu dấu âm nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(1;5)\in (C)$ vì $f(1)=5$. Hệ số góc $f^{\prime }(1)=5+4=9$. Tiếp tuyến: $y=9(x-1)+5=9x-4\ne 9x+5$ nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{2x+3}$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{(2x+3)-2(x+1)}{(2x+3{)}^2}=\frac{1}{(2x+3{)}^2}$. Tại $x_0=-1$: $y^{\prime }(-1)=\frac{1}{(2(-1)+3{)}^2}=\frac{1}{1}=1$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bằng $1$, trùng với đáp án nguồn (Phần III, Câu 1, mã đề 1101: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Với $y={\log }_{3}x$, ta có $y^{\prime }=\frac{1}{x\ln 3}$ trên khoảng $(0;+\infty )$. Đáp án khớp với key D.

$y^{\prime }=3{\sin }^{2}x.(\sin x{)}^{\prime }-\sin 2x.(2x{)}^{\prime }=3{\sin }^{2}x.\cos x-2\sin 2x$.

(Học sinh đạo hàm đúng một trong hai hàm cho 0,25đ)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\sin x-\cos x$, nên $y^{\prime }=\cos x+\sin x$. Kết quả trùng với đáp án D và với bảng đáp án mã đề 112 (câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln x$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{1}{x}$ với $x>0$. Tại điểm có hoành độ $x=e$, hệ số góc của tiếp tuyến là $k=y^{\prime }(e)=\frac{1}{e}$. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án trong bảng hướng dẫn chấm (Câu 10, mã đề 111: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x+\cos x$ có đạo hàm $y^{\prime }=\cos x-\sin x$ (vì $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$). Kết quả trùng với đáp án B và với bảng đáp án của đề (Câu 11, mã đề 111: B).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: $y^{\prime }=\frac{(3x-5{)}^{\prime }(x+1)-(3x-5)(x+1{)}^{\prime }}{(x+1{)}^2}=\frac{3(x+1)-(3x-5)}{(x+1{)}^2}=\frac{3x+3-3x+5}{(x+1{)}^2}=\frac{8}{(x+1{)}^2}$ (với $x\ne -1$). Kết quả trùng với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x$. a) $f^{\prime }(x)=3x^2-3$ đúng. b) $f^{\prime }(x)=0\iff x^2=1\iff x=\pm 1$: hai nghiệm, nên khẳng định 'có một nghiệm' sai. c) $f^{\prime \prime }(x)=6x$ nên $f^{\prime \prime }(1)=6\ne 0$, sai. d) $f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)=-1+3=2\ne -4$, sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1012 câu 13: ĐSSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của $f(x)=x^3-3x$ là $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff 3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, phương trình có hai nghiệm nên khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime \prime }(x)=6x$ nên $f^{\prime \prime }(1)=6\ne 0$, khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(-1)=-1+3=2\ne -4$, khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=5\sin x-3\cos x+2$, suy ra $y^{\prime }=5\cos x+3\sin x+0$. Vậy $a=5$, $b=3$, $c=0$, do đó $P=a+b+c=5+3+0=8$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1012, câu 16: 8).

a) Tính $y^{\prime }=x^2-2x$ (0,5 điểm).

b) Giải pt $y^{\prime }=0\iff x^2-2x=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}\right]$ (0,25 điểm).

c) Do TT song song với d: $y=3x+10\Rightarrow k=3$

Hệ số góc của TT: $k=3\iff y^{\prime }=3\iff x^2-2x=-3\iff x^2-2x+3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ x=3\end{array}\right]$ (0,25 điểm).

TH1: $x_0=-1\Rightarrow y_0=y(-1)=-\frac{1}{3}$; $(k=3)$

$\Rightarrow$ PTTT: $y+\frac{1}{3}=3(x+1)$

$\iff y=3x+\frac{8}{3}$ (0,25 điểm).

TH2: $x_0=3\Rightarrow y_0=y(3)=1$; $(k=3)$

$\Rightarrow$ PTTT: $y+1=3(x-3)$

$\iff y=3x-8$ (loại).

KL: Có 1 TT song song với d là $y=3x+\frac{8}{3}$ (0,25 điểm).

Lưu ý: Lời giải nguồn giữ nguyên theo bản gốc; có dấu hiệu sai toán học (phương trình $x^2-2x+3=0$ vô nghiệm trên $\mathbb{R}$ nhưng lời giải kết luận $x=-1$ hoặc $x=3$; giá trị $y(-1)$ không khớp hàm số) và đề bài ghi đường thẳng d: $y=3x-8$ trong khi lời giải ghi d: $y=3x+10$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2-2x=x(x-2)$. Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=0$ và $x=2$. Vậy số nghiệm là 2, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1012, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: với $y=\frac{u}{v}$ thì $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$. Ở đây $u=3x+2$, $u^{\prime }=3$; $v=x-1$, $v^{\prime }=1$. Suy ra $y^{\prime }=\frac{3(x-1)-(3x+2)\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{3x-3-3x-2}{(x-1{)}^2}=\frac{-5}{(x-1{)}^2}$. Kết quả trùng với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1011, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2-6x$. Phương trình $f^{\prime }(x)=0\iff x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=6$. Vậy phương trình có 2 nghiệm, khớp với đáp án A (mã đề 1011).