Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

1) Trường hợp 1: 1 nam, 2 nữ: $C_{12}^1.C_{15}^2$ — 0,25 điểm. Trường hợp 2: 2 nam, 1 nữ: $C_{12}^2.C_{15}^1$ — 0,25 điểm. Vậy có $C_{12}^1.C_{15}^2+C_{12}^2.C_{15}^1=2250$ cách chọn một nhóm tam ca đi biểu diễn, trong đó có cả nam và nữ. — 0,25 điểm.
2) $(2x-3{)}^5=C_5^0(2x{)}^5-C_5^1(2x{)}^4.3+C_5^2(2x{)}^3.3^2-C_5^3(2x{)}^2.3^3+C_5^4(2x).3^4-C_5^5.3^5$ — 0,25 điểm. $=32x^5-240x^4+720x^3-1080x^2+810x-243$ — 0,25 điểm. Khi đó hệ số của số hạng chứa $x^3$ là 720 — 0,25 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Mật khẩu gồm 6 kí tự đôi một khác nhau: 2 kí tự đầu là chữ cái (26 chữ cái in thường), 4 kí tự sau là chữ số (10 chữ số 0–9). Vì các kí tự đôi một khác nhau nên: chọn và sắp xếp 2 chữ cái từ 26 chữ cái: $A_{26}^2=26\cdot 25=650$ cách; chọn và sắp xếp 4 chữ số từ 10 chữ số: $A_{10}^4=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách tạo mật khẩu là $650\cdot 5040=3276000$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 210, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ 6 chữ số 1; 3; 4; 6; 7; 8 lập số tự nhiên có 4 chữ số, các chữ số được phép lặp lại (đề không yêu cầu đôi một khác nhau). Mỗi vị trí có 6 cách chọn, nên số số lập được là $6^4=1296$. Khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đề không yêu cầu các chữ số khác nhau, mỗi vị trí trong số 4 chữ số đều có 7 cách chọn (từ 7 chữ số 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8). Theo quy tắc nhân, số số tự nhiên gồm 4 chữ số lập được là $7^4=2401$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0;1;2;3;4;5: chữ số hàng trăm không thể là 0 nên có 5 cách chọn; hàng chục có 5 cách (trừ chữ số đã dùng, gồm cả 0); hàng đơn vị có 4 cách. Tổng: $5\times 5\times 4=100$ số. Kết quả trùng với đáp án nguồn (100).

(AI giải đề cho tôi)
Cụm từ NGUYEN HUE có 9 chữ cái: N, G, U, Y, E, N, H, U, E, trong đó N xuất hiện 2 lần, U xuất hiện 2 lần, E xuất hiện 2 lần, các chữ cái G, Y, H xuất hiện 1 lần. Số cách sắp xếp (các chữ cái giống nhau không phân biệt) là hoán vị của 9 phần tử có lặp: $N=\frac{9!}{2!2!2!}=\frac{362880}{8}=45360$. Suy ra $T=\frac{N}{100}=\frac{45360}{100}=453,6\approx 454$ (làm tròn đến hàng đơn vị). Kết quả khớp với đáp án nguồn 454.

(AI giải đề cho tôi)
Một tam giác không thể có 3 đỉnh cùng nằm trên một đường thẳng, nên mỗi tam giác phải có 2 điểm trên một đường và 1 điểm trên đường kia.
- Trường hợp 1: 2 điểm trên $d_1$ và 1 điểm trên $d_2$: $$\begin{gathered} C_{10}^2 \\ cdot12=45 \\ cdot12=540 \end{gathered}$$.
- Trường hợp 2: 1 điểm trên $d_1$ và 2 điểm trên $d_2$: $$\begin{gathered} 10 \\ cdot{C}_{12}^2=10 \\ cdot66=660 \end{gathered}$$.
Tổng số tam giác: $540+660=1200$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 110, câu 4: 1200).

1) Trường hợp 1: 1 nam, 2 nữ: $C_{14}^1.C_{11}^2$ — 0,25 điểm. Trường hợp 2: 2 nam, 1 nữ: $C_{14}^2.C_{11}^1$ — 0,25 điểm. Vậy có $C_{14}^1.C_{11}^2+C_{14}^2.C_{11}^1=1771$ cách chọn một nhóm tam ca đi biểu diễn, trong đó có cả nam và nữ. — 0,25 điểm.
2) $(3x+2{)}^5=C_5^0(3x{)}^5+C_5^1(3x{)}^4.2+C_5^2(3x{)}^3.2^2+C_5^3(3x{)}^2.2^3+C_5^4(3x).2^4+C_5^5{2}^5=243x^5+810x^4+1080x^3+720x^2+240x+32$ — 0,25/0,25 điểm. Khi đó hệ số của số hạng chứa $x^4$ là 810 — 0,25 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 quyển có ít nhất 2 quyển truyện tranh (7 quyển tranh, 6 quyển trinh thám). Trường hợp 1: đúng 2 tranh và 1 trinh thám: $C_7^2\cdot C_6^1=21\cdot 6=126$. Trường hợp 2: cả 3 đều tranh: $C_7^3=35$. Tổng: $126+35=161$ cách. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 110, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Mật khẩu gồm 5 kí tự đôi một khác nhau: 2 kí tự đầu là chữ cái (26 chữ cái in thường), 3 kí tự sau là chữ số. Vì các kí tự khác nhau nên chọn và sắp xếp có thứ tự (hoán vị): số cách chọn 2 chữ cái khác nhau là $A_{26}^2=26\cdot 25=650$; số cách chọn 3 chữ số khác nhau là $A_{10}^3=10\cdot 9\cdot 8=720$. Theo quy tắc nhân, số cách tạo mật khẩu là $650\cdot 720=468000$. Khớp với đáp án nguồn C.

Tổng số quả cầu trong hộp là: $6+5+4=15$.

a) Số cách lấy ra 3 quả cầu từ hộp là: $C_{15}^3=455$ cách. Kết luận: 455 cách. (0,5 điểm)

b) Ta thực hiện theo các bước sau: Chọn 1 quả cầu vàng có 4 cách. Chọn 1 quả cầu đỏ (không cùng số với quả vàng đã chọn) có 4 cách. Chọn 1 quả cầu xanh (không cùng số với quả vàng và đỏ đã chọn) có 4 cách. (0,25 điểm)

Theo quy tắc nhân, ta có: $\mathrm{4.4.4}=64$ cách. Kết luận: 64 cách. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 2, thành phố $A$ được nối với thành phố $B$ bởi 4 con đường cong, và thành phố $B$ được nối với thành phố $C$ bởi 2 con đường cong. Muốn đi từ $A$ đến $C$ và qua $B$ đúng một lần, ta chọn một trong 4 đường từ $A$ đến $B$, sau đó chọn một trong 2 đường từ $B$ đến $C$. Theo quy tắc nhân, số cách đi là $4\times 2=8$ cách. Kết quả này khớp với đáp án chính thức của mã đề 1010 (trang 7 và trang 8): câu 12 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn nên chữ số tận cùng phải là 0, 2 hoặc 4.
- Chữ số tận cùng là 0: chọn 3 chữ số còn lại từ 5 chữ số khác 0 theo thứ tự: $5\cdot 4\cdot 3=60$ số.
- Chữ số tận cùng là 2 hoặc 4: có 2 cách chọn chữ số tận cùng; chữ số hàng nghìn không được là 0 và không trùng chữ số tận cùng nên có 4 cách; hai chữ số còn lại chọn từ 4 chữ số còn lại: $4\cdot 3=12$ cách. Tổng: $2\cdot 4\cdot 4\cdot 3=96$ số.
Vậy tổng số số chẵn là $60+96=156$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1010, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ: chọn 1 nam trong 6 bạn và 1 nữ trong 5 bạn, nên số cách chọn là $6\cdot 5=30$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh từ 12 người: $C_{12}^3=220$. Số cách chọn không có nữ (cả 3 nam): $C_7^3=35$. Vậy số cách có ít nhất một nữ: $220-35=185$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (185).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{A_n^k}{k!}=\frac{A_n^k}{P_k}$ (vì $P_k=k!$). Do đó B, C, D đều đúng. Mệnh đề A sai vì thiếu thừa số $(n-k)!$ ở mẫu: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\ne \frac{n!}{k!}$ (trừ khi $k=n$). Vậy mệnh đề sai là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi vectơ xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai điểm phân biệt trong 12 điểm, nên số vectơ khác vectơ - không là $A_{12}^2=12\cdot 11=132$. Điều này khớp với đáp án D (theo bảng đáp án mã đề 1002, câu 7 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 12 học sinh là $C_{12}^3=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{6}=220$. Số cách chọn 3 học sinh trong đó không có học sinh nữ (tức cả 3 đều nam) là $C_7^3=35$. Vậy số cách chọn để có ít nhất một học sinh nữ là $220-35=185$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (185).

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi vecto khác vecto - không được xác định bởi cặp điểm đầu - điểm cuối phân biệt, và thứ tự là quan trọng vì $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$. Vậy số vecto là $A_{12}^2=12\cdot 11=132$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, Câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn 2 bạn từ 45 học sinh, $n=C_{45}^2=\frac{45\cdot 44}{2}=990$. Chọn 2 bạn cùng giới tính: 2 nam hoặc 2 nữ, số cách $C_{25}^2+C_{20}^2=300+190=490$. Vậy $P=\frac{490}{990}=\frac{49}{99}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.