Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 25 nam + 16 nữ = 41 học sinh.
a) Chọn 3 học sinh bất kỳ (không phân biệt vai trò) là tổ hợp: $C_{41}^3$ cách → Đúng.
b) Chọn 3 học sinh vào 3 vị trí khác nhau (lớp trưởng, bí thư, lớp phó văn nghệ) là chỉnh hợp: $A_{41}^3$ cách → Đúng.
c) Xác suất chọn 4 học sinh có đúng 2 nam: $P=\frac{C_{25}^2{C}_{16}^2}{C_{41}^4}=\frac{300\cdot 120}{101270}=\frac{36000}{101270}\approx 0,3556\ne \frac{1}{2}$ → Sai.
d) Xác suất chọn 3 học sinh có cả nam và nữ $=1-P(\text{3 nam})-P(\text{3 nữ})=1-\frac{C_{25}^3+C_{16}^3}{C_{41}^3}=1-\frac{2300+560}{10660}=\frac{7800}{10660}=\frac{30}{41}$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh bất kỳ từ 41 học sinh, không phân biệt thứ tự: $C_{41}^3$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn và phân công 3 học sinh vào 3 vị trí khác nhau: $A_{41}^3$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{C_{25}^2{C}_{16}^2}{C_{41}^4}=\frac{36000}{101270}\approx 0,3556\ne \frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=1-\frac{C_{25}^3+C_{16}^3}{C_{41}^3}=1-\frac{2860}{10660}=\frac{30}{41}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì không có 3 điểm nào thẳng hàng, mỗi cách chọn 3 điểm trong 6 điểm cho đúng một tam giác. Số tam giác là $C_6^3=\frac{6!}{3!3!}=20$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 132: C).

(AI giải đề cho tôi)
Chia 9 người thành 3 nhóm có nhiệm vụ khác nhau (nhóm 1: 3 người, nhóm 2: 4 người, nhóm 3: 2 người). Số cách phân công là: $$\frac{9!}{3!4!2!}=\frac{362880}{6\cdot 24\cdot 2}=\frac{362880}{288}=1260.$$ Cách tính khác: chọn 3 người cho nhóm 1: $C_9^3=84$; chọn 4 người cho nhóm 2 từ 6 người còn lại: $C_6^4=15$; 2 người cuối vào nhóm 3. Tổng: $84\cdot 15=1260$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1260).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 cuốn truyện ngắn từ 7 cuốn: $C_7^2=21$ cách. Chọn 2 cuốn tiểu thuyết từ 10 cuốn: $C_{10}^2=45$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn 4 cuốn gồm 2 truyện ngắn và 2 tiểu thuyết là $21\times 45=945$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Bạn Phong cần chọn 2 cuốn truyện ngắn từ 7 cuốn và 2 cuốn tiểu thuyết từ 10 cuốn. Số cách chọn 2 cuốn truyện ngắn là $C_7^2=\frac{7\cdot 6}{2}=21$. Số cách chọn 2 cuốn tiểu thuyết là $C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45$. Theo quy tắc nhân, số cách chọn 4 cuốn thỏa mãn là $21\cdot 45=945$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia 9 người thành 3 nhóm có nhiệm vụ khác nhau (nhóm 1: 3 người, nhóm 2: 4 người, nhóm 3: 2 người). Vì các nhóm có nhiệm vụ phân biệt nên số cách phân công là: $$\frac{9!}{3!4!2!}=\frac{362880}{6\cdot 24\cdot 2}=\frac{362880}{288}=1260.$$ Cách khác: chọn 3 người cho nhóm 1: $C_9^3=84$; chọn 4 người cho nhóm 2 từ 6 người còn lại: $C_6^4=15$; 2 người còn lại vào nhóm 3. Tổng: $84\cdot 15=1260$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1260.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 4 bạn (An, Bình, Chi, Dũng) phân biệt vào 6 chỗ ngồi là chọn và sắp thứ tự 4 chỗ trong 6 chỗ, tức là chỉnh hợp: số cách = $A_6^4=\frac{6!}{2!}=360$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 1007, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn và sắp xếp 4 chữ số khác nhau từ 6 chữ số 1;2;3;4;5;6 là $A_6^4=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$. Vậy đáp án là C.

Tổng số sách trên giá là $6+5=11$ quyển. Số cách chọn 3 quyển sách bất kỳ từ 11 quyển là $C_{11}^3=165$ (cách). Để chọn 3 quyển có đủ cả hai loại sách, ta có các trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Chọn 2 quyển Toán và 1 quyển Ngữ văn. Số cách chọn là: $C_6^2\cdot C_5^1=15\cdot 5=75$ (cách).
- Trường hợp 2: Chọn 1 quyển Toán và 2 quyển Ngữ văn. Số cách chọn là: $C_6^1\cdot C_5^2=6\cdot 10=60$ (cách).
Vậy tổng số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $75+60=135$ (cách). Lưu ý: Có thể dùng phương pháp phần bù: $C_{11}^3-\left(C_6^3+C_5^3\right)=165-30=135$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số có 2 chữ số là $\overline{ab}$ với $a$ là chữ số hàng chục ($a\in \{1,2,\dots ,9\}$) và $b$ là chữ số hàng đơn vị ($b\in \{0,1,\dots ,9\}$), điều kiện cần đếm là $b>a$. Với mỗi cách chọn 2 chữ số khác nhau từ tập $\{0,1,\dots ,9\}$, ta xếp chữ số lớn hơn ở hàng đơn vị và chữ số nhỏ hơn ở hàng chục; khi đó chữ số hàng chục khác 0 nên số luôn hợp lệ, và mỗi cách chọn cho đúng một số thỏa mãn. Vậy số số tự nhiên cần đếm là $C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số tự nhiên có 2 chữ số: chữ số hàng chục $a\in \{1,...,9\}$, hàng đơn vị $b\in \{0,...,9\}$ với $b>a$. Với mỗi $a$, có $9-a$ cách chọn $b$. Tổng: $8+7+6+5+4+3+2+1+0=36$. Vậy đáp án B.

a)
Gọi $A$ là tập hợp học sinh thích Toán $\Rightarrow n(A)=22$
Gọi $B$ là tập hợp học sinh thích Vật lý $\Rightarrow n(B)=18$
Gọi $C$ là tập hợp học sinh thích Hóa học $\Rightarrow n(C)=15$
Suy ra:
Thích cả Toán và Lý: $n(A\cap B)=9$
Thích cả Lý và Hóa: $n(B\cap C)=7$
Thích cả Toán và Hóa: $n(A\cap C)=6$
Thích cả ba môn: $n(A\cap B\cap C)=3$

Số học sinh thích ít nhất một trong ba môn là:

$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)=36$ (học sinh)

b)
Từ câu a) số học sinh không thích môn nào là: $40-36=4$

Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên 3 bạn từ 40 bạn: ${\mathrm{C}}_{40}^3=9880$ (cách)

Ta có số cách chọn 3 học sinh thích ít nhất một môn là: ${\mathrm{C}}_{36}^3=7140$ (cách)

Vậy số cách chọn 3 học sinh không thích ít nhất một môn là: $9880-7140=2740$ (cách)

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 4 nữ, 5 nam (tổng 9 bạn). a) Số cách xếp 9 bạn thành hàng ngang là $9!=362880$ → đúng. b) Không gian mẫu: $C(9,3)=84$. Chọn đúng 1 nữ và 2 nam: $C(4,1)\cdot C(5,2)=4\cdot 10=40$. Xác suất $=40/84=10/21$ → đúng. c) Số cách chọn 3 bạn có đúng 1 nữ là $C(4,1)\cdot C(5,2)=40$, không phải 4 → sai. d) Xếp 5 nam trước: $5!=120$ cách, tạo 6 khoảng trống; chọn 4 trong 6 khoảng để xếp 4 nữ: $C(6,4)\cdot 4!=15\cdot 24=360$. Tổng $=120\cdot 360=43200$ cách, không phải $2880$ → sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 9 bạn thành hàng ngang: $9!=362880$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P=C(4,1)\cdot C(5,2)/C(9,3)=40/84=10/21$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn đúng 1 nữ và 2 nam: $C(4,1)\cdot C(5,2)=40$ cách, không phải 4.
d) (AI giải đề cho tôi)
$5!\cdot C(6,4)\cdot 4!=120\cdot 15\cdot 24=43200$ cách, không phải $2880$.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi hình chữ nhật được tạo bởi 2 trong 4 đường thẳng song song (làm hai cạnh đối) và 2 trong 3 đường thẳng song song vuông góc (làm hai cạnh còn lại). Số cách: $C_4^2\cdot C_3^2=6\cdot 3=18$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (18).

(AI giải đề cho tôi)
Mật mã là dãy 6 chữ số đôi một khác nhau, chọn từ 10 chữ số 0–9 và thứ tự quan trọng, nên số cách là hoán vị chỉnh hợp: $A_{10}^6=\frac{10!}{4!}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=151200$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Mật mã là dãy 6 chữ số đôi một khác nhau, chọn từ 10 chữ số 0–9, thứ tự quan trọng nên đây là chỉnh hợp chập 6 của 10: $A_{10}^6=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=151200$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Một hình chữ nhật được tạo bởi 2 trong 4 đường thẳng song song (làm hai cạnh đối) và 2 trong 3 đường thẳng song song vuông góc (làm hai cạnh đối còn lại). Số cách: $C_4^2\cdot C_3^2=6\cdot 3=18$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (18).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 viên từ 19 viên là $C_{19}^3=969$. Số cách lấy 3 viên cùng một màu: $C_8^3+C_6^3+C_5^3=56+20+10=86$. Vậy số cách lấy 3 viên có ít nhất hai màu là $969-86=883$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn một áo và một cà vạt là $7\cdot 5=35$ cách. Số cách chọn không hợp lệ (áo trắng và cà vạt vàng) là $3\cdot 2=6$ cách. Vậy số cách chọn thỏa mãn 'chọn áo trắng thì không chọn cà vạt vàng' là $35-6=29$ cách. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 1003: A).