Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tập hợp và phép toán (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Giải bất phương trình của A: $x+3<4+2x\iff x-2x<4-3\iff -x<1\iff x>-1$, nên $A=(-1;+\infty )$. Giải bất phương trình của B: $5x-3<4x-1\iff 5x-4x<-1+3\iff x<2$, nên $B=(-\infty ;2)$. Vậy $A\cap B=(-1;2)$. Các số tự nhiên thuộc $A\cap B$ là $0$ và $1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Để $A=[m;m+2]\subset B=[-1;2]$ (cả hai là đoạn đóng), cần và đủ: $m\ge -1$ và $m+2\le 2$, tức $-1\le m\le 0$. Kiểm tra: với $m=-1$, $A=[-1;1]\subset B$; với $m=0$, $A=[0;2]\subset B$. Vậy điều kiện là $-1\le m\le 0$, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $X=(0;3]$, $Y=(a;4)$. Để $X\cap Y\ne \varnothing$ thì khoảng $(a;4)$ phải chứa điểm thuộc $(0;3]$, tức là phần bên trái của $Y$ phải nằm trước phần bên phải của $X$: cần $a<3$ (khi đó $X\cap Y=(a;3]$ với $a\ge 0$, hoặc $X\cap Y=(0;3]$ với $a<0$, đều khác rỗng). Nếu $a\ge 3$ thì $X\cap Y=\varnothing$ (khi $a=3$: $(3;4)$ không chứa điểm của $(0;3]$ vì 3 không thuộc $(3;4)$). Kết hợp với $a\le 4$, điều kiện là $a<3$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A=[m;m+2]$, $B=[1;3)$. Để $A\cap B=\varnothing$ thì hai khoảng không giao nhau, tức $A$ nằm hoàn toàn bên trái $B$ hoặc hoàn toàn bên phải $B$.
- $A$ bên trái $B$: $m+2<1\iff m<-1$ (nếu $m+2=1$, tức $m=-1$ thì $1\in A\cap B$, loại).
- $A$ bên phải $B$: $m\ge 3$ (vì $3\notin B$, nên khi $m=3$ thì $A=[3;5]$ và $A\cap B=\varnothing$).
Vậy điều kiện là $m<-1$ hoặc $m\ge 3$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định:
- A: $(x-1)(x-3)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$, nên $B=\{1;3\}=A$. Đúng.
- B: Với $k=0,1,2,3,4$ thì $n=2k+1\in \{1;3;5;7;9\}$, nên $B=A$. Đúng.
- C: $x^2-2x-3=0\iff (x-3)(x+1)=0\iff x=3$ hoặc $x=-1$, nên $B=\{-1;3\}\ne A=\{-1;2\}$. Khẳng định này SAI.
- D: $x^2+x+1=0$ có $\Delta =1-4=-3<0$ nên vô nghiệm, $B=\varnothing =A$. Đúng.
Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5b: Tập $A$ (số chẵn lớn hơn 9 trong $\mathrm{1..20}$): $\{10;12;14;16;18;20\}$ có 6 phần tử. Tập $B$ (số từ 8 đến 15): $\{8;9;10;11;12;13;14;15\}$ có 8 phần tử. Giao $A\cap B=\{10;12;14\}$ nên có 3 phần tử. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ Venn cho hai tập hợp A, B giao nhau; phần tô đen là vùng chung thuộc cả A và B, tức $A\cap B$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 1106: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ Venn cho thấy phần tô đen là vùng giao chung của hai tập hợp $A$ và $B$, tức là $A\cap B$. Đáp án khớp với mã đề 1105: câu 9 là D.

Điều kiện: $m-1<2m+1\iff m>-2$. Để $A\subset B$ thì: $\{\begin{array}{l}-2<m-1\\ 2m+1\le 3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}m>-1\\ m\le 1\end{array}\Rightarrow -1<m\le 1$. So điều kiện ta được $-1<m\le 1$. Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{0;1\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phần gạch sọc nằm đồng thời trong $A$ và $B$ nhưng không thuộc $C$, tức là phần giao của $A$ và $B$ trừ đi $C$: $(A\cap B)\backslash C$. Kiểm tra các phương án khác: $(A\cap B)\cup C$ gồm cả toàn bộ $C$ (loại A); $(A\cup B)\backslash C$ gồm cả phần của $A$ và $B$ ngoài giao (loại C); $(A\backslash C)\cup (A\backslash B)$ gồm cả phần $A$ không thuộc $B$ (loại D). Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A=[-2;-1]\cup [1;2]$, còn $B=(-\infty ;m-2]\cup [m;+\infty )$, phần $B$ thiếu là khoảng hở $(m-2;m)$. Để $A\subset B$, mỗi đoạn $[1;2]$ và $[-2;-1]$ phải nằm trọn trong một nhánh của $B$ (không đè lên khoảng hở).
- Với $[1;2]$: cần $m-2\ge 2\iff m\ge 4$, hoặc $m\le 1$.
- Với $[-2;-1]$: cần $m-2\ge -1\iff m\ge 1$, hoặc $m\le -2$.
Kết hợp: $m\ge 4$; hoặc $m\le 1$ và $m\le -2\iff m\le -2$; hoặc $m\le 1$ và $m\ge 1\iff m=1$ (khi đó khoảng hở $(m-2;m)=(-1;1)$ không chứa điểm nào của $A$).
Vậy $[<table><tbody><tr><td>m\ge 4</td></tr><tr><td>m\le -2</td></tr><tr><td>m=1</td></tr></tbody></table>$, tương ứng đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Giải $2x^2-3x+1=0$: $\Delta =9-8=1$, $x=\frac{3\pm 1}{4}$, tức $x=1$ hoặc $x=\frac{1}{2}$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên chỉ lấy $x=1$, do đó $X=\{1\}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $2x^2-3x+1=0$: $\Delta =9-4=5$... thực ra phân tích $2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)=0$ nên $x=1$ hoặc $x=\frac{1}{2}$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên chỉ lấy $x=1$, do đó $X=\{1\}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $(x+1)(x^2-4)=0$ cho $x=-1,x=2,x=-2$, đều nguyên, nên $A=\{-1;2;-2\}$ có 3 phần tử. Số tập con là $2^3=8$.

Lời giải (nguồn: CLB Toán Lim - LIM Olympic):

(1) Với mỗi tập con $T\subset \{3,4,\dots ,2026\}$, xét bốn tập $T$, $T\cup \{1\}$, $T\cup \{2\}$ và $T\cup \{1,2\}$.
Giả sử tổng các phần tử của $T$ có số dư là $r$ khi chia cho 4. Khi đó tổng các phần tử của bốn tập trên lần lượt có số dư $r,r+1,r+2,r+3$ (mod 4).
Do đó trong bốn tập trên có đúng một tập có tổng các phần tử chia hết cho 4.
Khi $T$ chạy qua tất cả các tập con của $\{3,4,\dots ,2026\}$, các nhóm gồm bốn tập trên tạo thành một phân hoạch của tập hợp tất cả các tập con của $S$. Có $2^{2024}$ cách chọn $T$, nên có đúng $2^{2024}$ tập con của $S$ có tổng các phần tử chia hết cho 4 (kể cả tập rỗng).
Giờ trừ đi tập rỗng (có tổng bằng 0) ta được số tập con cần tìm là $2^{2024}-1$.

(2) Điều kiện $|S_i\setminus S_j|\ne 0$ với mọi $i\ne j$ tương đương với $S_i\not\subset S_j$ với mọi $i\ne j$.
Như vậy các tập $S_1,S_2,\dots ,S_n$ đôi một không chứa nhau.
Trước hết ta chứng minh $n\le 2024$.
Để ý với $n\ge 2$ thì ta không thể có $S_i=S$, do đó $1\le |S_i|\le 2025$ với mọi $i$.
Vì các $|S_i|$ đôi một khác nhau nên trước hết ta có $n\le 2025$.
Giả sử $n=2025$. Khi đó các số $|S_i|$ phải nhận đủ các giá trị $1,2,\dots ,2025$.
Gọi $A,B,C$ là 3 tập $S_i$ bên trên thỏa mãn $|A|=1$, $|B|=2025$, $|C|=2$. Viết $A=\{a\}$.
Do $A\not\subset B$ nên $a\notin B$. Mà $|B|=2025$, suy ra $B=S\setminus \{a\}$.
Mặt khác, từ $A\not\subset C$ ta cũng có $a\notin C$. Vì thế $C\subset S\setminus \{a\}=B$, mâu thuẫn với điều kiện $C\not\subset B$.
Vậy $n\le 2024$. Giờ ta sẽ chứng minh giá trị $n=2024$ đạt được.
Ta chứng minh bằng quy nạp rằng với mọi số chẵn $m\ge 4$, tồn tại một họ ${\mathcal{F}}_m$ gồm $m-2$ tập con của $\{1,2,\dots ,m\}$ sao cho các tập đôi một không chứa nhau và có kích thước lần lượt là $1,2,\dots ,m-2$.
Với $m=4$, lấy ${\mathcal{F}}_4=\{\{1\},\{2,3\}\}$. Rõ ràng họ này thỏa mãn yêu cầu.
Giả sử đã xây dựng được ${\mathcal{F}}_m$. Xét họ
$${\mathcal{F}}_{m+2}=\{A\cup \{m+1\}:A\in {\mathcal{F}}_m\}\cup \{[m],\{m+2\}\},$$
trong đó $[m]=\{1,2,\dots ,m\}$.
Các tập $A\cup \{m+1\}$ có kích thước lần lượt là $2,3,\dots ,m-1$, còn $\{m+2\}$ có kích thước $1$ và $[m]$ có kích thước $m$. Vậy ${\mathcal{F}}_{m+2}$ có đúng một tập ở mỗi kích thước $1,2,\dots ,m$.
Hai tập dạng $A\cup \{m+1\}$ đôi một không chứa nhau vì các tập $A$ ban đầu đôi một không chứa nhau. Mỗi tập $A\cup \{m+1\}$ chứa phần tử $m+1$, trong khi $[m]$ không chứa $m+1$, nên $A\cup \{m+1\}\not\subset [m]$. Ngược lại, $|A\cup \{m+1\}|\le m-1<m=|[m]|$, nên $[m]\not\subset A\cup \{m+1\}$.
Cuối cùng, $\{m+2\}$ không chứa trong bất kì tập nào còn lại vì các tập đó không chứa $m+2$; đồng thời các tập còn lại đều có ít nhất hai phần tử nên không thể chứa trong $\{m+2\}$.
Vậy ${\mathcal{F}}_{m+2}$ cũng thỏa mãn yêu cầu.
Lấy $m=2026$, ta thu được 2024 tập con của $S$ thỏa mãn tất cả các điều kiện của bài toán.
Do đó $n_{\max }=2024$

(AI giải đề cho tôi)
$A=[-5;1)$, $B=(-3;3]$. Hợp $A\cup B$ gồm mọi $x$ thuộc ít nhất một trong hai tập, lấy biên nhỏ nhất $-5$ (thuộc $A$) và biên lớn nhất $3$ (thuộc $B$), nên $A\cup B=[-5;3]$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tập hợp $A=\{x\in \mathbb{N}|x\le 4\}$ gồm các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 4, tức $A=\{0;1;2;3;4\}$ (do $0\in \mathbb{N}$). Vậy khẳng định đúng là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $(2-x)(x^2-3x-4)=0$: $x=2$ hoặc $x^2-3x-4=0\iff (x-4)(x+1)=0\iff x=4$ hoặc $x=-1$. Vậy $A=\{-1;2;4\}$. Tập $B=\{x\in \mathbb{R}|x\ge -1\}$. Do đó $A\cap B=\{-1;2;4\}$. Các số tự nhiên trong $A\cap B$ là $2$ và $4$, nên có $2$ số tự nhiên.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là tập khán giả bình chọn cho thí sinh $A$, $B$ là tập khán giả bình chọn cho thí sinh $B$. Theo đề: $n(A)=85$, $n(B)=72$, $n(A\cap B)=65$.

Số khán giả đã tham gia bình chọn là số khán giả bình chọn cho ít nhất một thí sinh:
$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=85+72-65=92.$$
Vậy có $92$ khán giả đã tham gia bình chọn.

Số khán giả không tham gia bình chọn:
$$100-92=8.$$
Vậy có $8$ khán giả không tham gia bình chọn.

Kiểm tra: chỉ bình chọn $A$: $85-65=20$; chỉ bình chọn $B$: $72-65=7$; bình chọn cả hai: $65$; tổng $20+7+65=92$, cộng $8$ người không bình chọn được $100$ khán giả — thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Tập hợp $B=\{x\in \mathbb{R}\mid -\frac{1}{2}<x\le 3\}$ gồm các số thực lớn hơn $-\frac{1}{2}$ (không lấy $-\frac{1}{2}$) và nhỏ hơn hoặc bằng $3$ (lấy $3$). Vậy $B=\left(-\frac{1}{2};3\right]$. Do đó khẳng định đúng là A. Các phương án B, C chỉ liệt kê số nguyên nên sai; phương án D dùng ngoặc vuông ở $-\frac{1}{2}$ và ngoặc tròn ở $3$ nên sai.