Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay bằng tích phân (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay D quanh Ox: $V=\pi {\int }_{-2}^2(9-x^2{)}^{2}dx$. Vì hàm chẵn: $V=2\pi {\int }_0^2(81-18x^2+x^4)dx=2\pi {\left[81x-6x^3+\frac{x^5}{5}\right]}_0^2=2\pi \left(162-48+\frac{32}{5}\right)=2\pi \cdot \frac{602}{5}=\frac{1204\pi }{5}\approx 756,57\approx 757$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong $y=2x-x^2$ cắt trục hoành tại $x=0$ và $x=2$, với $y\ge 0$ trên $[0;2]$. Thể tích tròn xoay quanh $Ox$: $$V=\pi {\int }_0^2(2x-x^2{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^2(4x^2-4x^3+x^4)dx=\pi \left(\frac{32}{3}-16+\frac{32}{5}\right)=\pi \cdot \frac{160-240+96}{15}=\frac{16\pi }{15}.$$ Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm của $(d)$ và $(C)$: $mx=\sqrt{5-x}\Rightarrow m^2{x}^2=5-x$, gọi hoành độ giao điểm là $x_0>0$.

$V=\pi {\int }_0^5(5-x)dx=\pi \left(5x-\frac{x^2}{2}\right){|}_0^5=\frac{25\pi }{2}$.

$V^{\prime }=\pi {\int }_0^{x_0}\left[(5-x)-m^2{x}^2\right]dx=\pi \left(5x_0-\frac{x_0^2}{2}-\frac{m^2{x}_0^3}{3}\right)$.

a) Với $m=2$: $4x^2=5-x\Rightarrow x_0=1$ (nghiệm dương). Khi đó $V^{\prime }=\pi \left(5-\frac{1}{2}-\frac{4}{3}\right)=\frac{19\pi }{6}\approx 9.95$.

b) Dùng $m^2{x}_0^3=x_0(5-x_0)$, suy ra $V^{\prime }=\pi \left(5x_0-\frac{x_0^2}{2}-\frac{x_0(5-x_0)}{3}\right)=\pi \left(\frac{10x_0}{3}-\frac{x_0^2}{6}\right)$.

$V=3V^{\prime }\Rightarrow \frac{25}{2}=10x_0-\frac{x_0^2}{2}\Rightarrow x_0^2-20x_0+25=0\Rightarrow x_0=10\pm 5\sqrt{3}$. Vì $x_0\le 5$ nên $x_0=10-5\sqrt{3}$.

Từ $m^2=\frac{5-x_0}{x_0^2}=\frac{5}{x_0}-1=\frac{1}{2-\sqrt{3}}-1=(2+\sqrt{3})-1=1+\sqrt{3}$.

Vậy $m=\sqrt{1+\sqrt{3}}\approx 1.653$ (thỏa $m>0$).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình trang 35: $S_1$ là phần tư đường tròn $y=\sqrt{4-x^2}$ với $x\in [-2;0]$ phía trên trục hoành; $S_2$ giới hạn bởi $y=\sqrt{4-x}$, trục hoành, $x\in [0;4]$.

a) $S_1=\frac{1}{4}\pi R^2=\frac{1}{4}\pi \cdot 4=\pi \ne 2\pi$ → Sai.

b) $S_2={\int }_0^4\sqrt{4-x}dx={\int }_0^4\sqrt{u}du=\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}=\frac{16}{3}$ → Đúng.

c) $V_2=\pi {\int }_0^4(4-x)dx=\pi [4x-\frac{x^2}{2}{]}_0^4=\pi (16-8)=8\pi$ → Đúng.

d) Phần $S_1$ (tứ giác tròn phía trên trục hoành, $x\in [-2;0]$) quay quanh trục hoành tạo thành nửa khối cầu bán kính 2: $V_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 2^3=\frac{16\pi }{3}$. Tổng $V=\frac{16\pi }{3}+8\pi =\frac{40\pi }{3}\ne \frac{28\pi }{3}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
S₁ là 1/4 đường tròn bán kính 2: S₁ = (1/4)π·2² = π ≠ 2π.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
S₂ = ∫₀⁴√(4−x)dx = (2/3)·4^(3/2) = 16/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀⁴(4−x)dx = π·[4x − x²/2]₀⁴ = π(16−8) = 8π.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Theo hình trang 35, S₁ là phần tư đường tròn y=√(4−x²) với x∈[−2;0] phía trên trục hoành; khi quay quanh trục hoành tạo thành nửa khối cầu bán kính 2: V₁ = (1/2)·(4/3)π·2³ = 16π/3. Tổng V = 16π/3 + 8π = 40π/3 ≠ 28π/3 → d sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cốc là khối tròn xoay tạo bởi parabol đỉnh ở đáy, miệng rộng 8 cm (bán kính R = 4 cm), sâu 10 cm. Chọn hệ trục với đỉnh parabol tại gốc, trục Oz dọc cốc: đường parabol có dạng $r^2=kz$. Với $z=10$, $r=4$ nên $k=16/10=8/5$. Thể tích: $V={\int }_0^{10}\pi r^{2}dz=\pi \cdot \frac{8}{5}{\int }_0^{10}zdz=\pi \cdot \frac{8}{5}\cdot 50=80\pi \approx 251,33$. Làm tròn: $V\approx 251{\mathrm{cm}}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: thể tích tròn xoay quay quanh Ox là $V=\pi {\int }_{-3}^1{f}^2(x)dx$, không phải $\int |f(x)|dx$ (đó là công thức diện tích). b) Phương trình hoành độ giao điểm: $-3x-1=-3x^2-15x-1\iff 3x^2+12x=0\iff x=0,x=-4$. Trên $[-4;0]$ parabol nằm trên đường thẳng: $S={\int }_{-4}^0(-3x^2-12x)dx={\left[-x^3-6x^2\right]}_{-4}^0=32\ne 34$ → sai. c) $V=\pi {\int }_0^2{2}^{2}dx=8\pi$ → đúng. d) Giao tuyến và trục hoành: parabol $(x+4{)}^2$ cắt $y=0$ tại $x=-4$; đường thẳng $y=-\frac{x}{2}-\frac{1}{2}$ cắt $y=0$ tại $x=-1$; hai đồ thị cắt tại $2x^2+17x+33=0\iff x=-3,x=-\frac{11}{2}$, đỉnh trong vùng là $(-3;1)$. Diện tích $S={\int }_{-4}^{-3}(x+4{)}^{2}dx+{\int }_{-3}^{-1}\left(-\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\right)dx=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\ne \frac{10}{3}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng phải là $V=\pi {\int }_{-3}^1{f}^2(x)dx$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích thực tế bằng 32, không phải 34.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^{2}4dx=8\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác cong bằng $\frac{4}{3}$, không phải $\frac{10}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quay quanh Ox: $V=\pi {\int }_0^{\pi /3}{\tan }^{2}xdx=\pi {\int }_0^{\pi /3}({\sec }^{2}x-1)dx=\pi {\left[\tan x-x\right]}_0^{\pi /3}=\pi \left(\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{3}(3\sqrt{3}-\pi )$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quanh Ox: $V=\pi {\int }_0^{\pi /3}{\tan }^{2}xdx=\pi {\int }_0^{\pi /3}({\sec }^{2}x-1)dx=\pi {\left[\tan x-x\right]}_0^{\pi /3}=\pi \left(\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{3}(3\sqrt{3}-\pi )$. Khớp đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quay quanh Ox: $V=\pi {\int }_0^{\pi /3}{\tan }^{2}xdx=\pi {\int }_0^{\pi /3}({\sec }^{2}x-1)dx=\pi {\left[\tan x-x\right]}_0^{\pi /3}=\pi \left(\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{3}(3\sqrt{3}-\pi )$. Khớp đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình (H) giới hạn bởi $y=(x-2{)}^2$, trục tung $x=0$, trục hoành và $x=3$, nên thể tích khi quay quanh Ox là $V=\pi {\int }_0^3(x-2{)}^{4}dx=\pi {\left[\frac{(x-2{)}^5}{5}\right]}_0^3=\pi \left(\frac{1}{5}+\frac{32}{5}\right)=\frac{33\pi }{5}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quay quanh Ox: $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Với $f(x)=2x-x^2\ge 0$ trên $[0;2]$, ta có $V=\pi {\int }_0^2(2x-x^2{)}^{2}dx$. A thiếu bình phương, B thiếu $\pi$, C thừa ${\pi }^2$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang cong giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ quanh trục $Ox$: tiết diện tại $x$ là hình tròn bán kính $|f(x)|$, diện tích $\pi f^2(x)$, nên $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. A thiếu $\pi$, B và C sai dạng.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang cong giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$ (công thức chuẩn, mỗi tiết diện vuông góc trục $Ox$ là hình tròn bán kính $|f(x)|$, diện tích $\pi f^2(x)$). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang cong giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$ (mỗi lát cắt tại $x$ là đĩa bán kính $|f(x)|$, diện tích $\pi f^2(x)$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khối tròn xoay quay quanh Ox: $V=\pi {\int }_0^2(2x-x^2{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^2(4x^2-4x^3+x^4)dx=\pi \left(\frac{32}{3}-16+\frac{32}{5}\right)=\pi \cdot \frac{160-240+96}{15}=\frac{16\pi }{15}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khi quay quanh Ox: $V=\pi {\int }_0^1(e^{3x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1{e}^{6x}dx$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục hoành: $V=\pi {\int }_0^1(10x^2{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{1}100x^{4}dx=\pi \cdot \frac{100x^5}{5}{|}_0^1=20\pi$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích vật thể tròn xoay: $V=\pi {\int }_{-2}^{4,6}{f}^2(x)dx$.

Phần nửa đường tròn $(-2\le x\le 0,6)$:
$${\int }_{-2}^{0,6}(4-x^2)dx={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^{0,6}=\left(2,4-0,072\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=2,328+\frac{16}{3}=\frac{11492}{1500}\approx 7,66133.$$

Phần đường thẳng $f(x)=\frac{\sqrt{91}}{100}(23-5x)$ với $0,6<x\le 4,6$:
$${\int }_{0,6}^{4,6}{f}^2(x)dx=\frac{91}{10000}{\int }_{0,6}^{4,6}(23-5x{)}^{2}dx.$$
Đặt $u=23-5x$, $du=-5dx$: khi $x=0,6$ thì $u=20$, khi $x=4,6$ thì $u=0$, nên
$${\int }_{0,6}^{4,6}(23-5x{)}^{2}dx=\frac{1}{5}{\int }_0^{20}{u}^{2}du=\frac{1}{5}\cdot \frac{20^3}{3}=\frac{1600}{3}.$$
Vậy
$${\int }_{0,6}^{4,6}{f}^2(x)dx=\frac{91}{10000}\cdot \frac{1600}{3}=\frac{364}{75}\approx 4,85333.$$

Tổng:
$${\int }_{-2}^{4,6}{f}^2(x)dx=\frac{11492}{1500}+\frac{364}{75}=\frac{11492+7280}{1500}=\frac{18772}{1500}\approx 12,51467,$$
suy ra $V=\pi \cdot 12,51467\approx 39,317{\text{cm}}^3$.

Khối lượng giọt nước thủy tinh:
$$m=\rho V=2,6\cdot 39,317\approx 102,22\approx 102\text{gam}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Quay hình phẳng quanh trục $Ox$, thể tích là $V=\pi {\int }_0^1(e^x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1{e}^{2x}dx$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục hoành: $V=\pi {\int }_0^{\pi /2}{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^{\pi /2}(2+\cos x)dx$.
Tính: ${\int }_0^{\pi /2}2dx=\pi$; ${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0=1$.
Vậy $V=\pi (\pi +1)={\pi }^2+\pi \approx 13.01$ (đơn vị thể tích).