Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^3+\frac{9}{4}{x}^2+\frac{15}{16}x+\frac{71}{64}$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+\frac{9}{2}x+\frac{15}{16}=0\iff 16x^2+24x+5=0\iff x=-\frac{5}{4}$ hoặc $x=-\frac{1}{4}$. Điểm cực đại $D\left(-\frac{5}{4};\frac{3}{2}\right)$, điểm cực tiểu $C\left(-\frac{1}{4};1\right)$ (vì $f\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{-1+9-15+71}{64}=1$, $f\left(-\frac{5}{4}\right)=\frac{-125+225-75+71}{64}=\frac{96}{64}=\frac{3}{2}$).

Giao điểm $A$ với trục $Ox$ là nghiệm của $64x^3+144x^2+60x+71=0$, suy ra $x_A\approx -2,0564$; giao điểm $B$ với trục $Oy$ là $B\left(0;\frac{71}{64}\right)\approx (0;1,1094)$.

a) Diện tích mặt hồ: $S={\int }_{x_A}^{0}f(x)dx=-F(x_A)$ với $F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{3x^3}{4}+\frac{15x^2}{32}+\frac{71x}{64}$, $F(0)=0$, tính $F(x_A)\approx -2,3507$ nên $S\approx 2,3507$ km². Đảo tròn đường kính $200$ m $=0,2$ km có diện tích $\pi (0,1{)}^2\approx 0,0314$ km². Diện tích mặt nước $\approx 2,3507-0,0314\approx 2,32$ km² $\ne 2,22$ km² → Sai.

b) $AOB=OA+OB\approx 2,0564+1,1094\approx 3,17\approx 3,2$ km $\ne 3,3$ km → Sai.

c) $C$ có tung độ $1$, đường lớn $y=2$, đường $CE$ theo phương trục tung nên $CE=2-1=1$ km → Đúng.

d) Khoảng cách theo phương trục $Oy$ từ điểm $(x;0)$ trên bờ $Ox$ đến bờ đối diện (cung cong) là $f(x)$, lớn nhất trên $[x_A;0]$ tại điểm cực đại $x=-\frac{5}{4}=-1,25$, tức điểm cách $O$ đúng $1,25$ km → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng $\approx 2,3507$ km², trừ diện tích đảo $\pi (0,1{)}^2\approx 0,0314$ km², mặt nước $\approx 2,32$ km², không phải 2,22 km².
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$OA\approx 2,0564$ km, $OB=\frac{71}{64}\approx 1,1094$ km, tổng $\approx 3,2$ km, không phải 3,3 km.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$C\left(-\frac{1}{4};1\right)$ là điểm cực tiểu nên $CE=2-1=1$ km.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách thẳng đứng đến bờ đối diện là $f(x)$, đạt max tại $x=-\frac{5}{4}=-1,25$ km (điểm cực đại $D$ có tung độ $1,5$).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: ${\int }_0^m(1-2x)dx=m-m^2$, hàm $m-m^2$ đạt GTLN tại $m=\frac{1}{2}$ (không phải $\frac{1}{4}$). b) Đúng: vì $f(x)>0$ trên $[a;b]$ nên $S={\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. c) Đúng: ${\int }_0^{1}g+{\int }_7^{12}g={\int }_0^{12}g-{\int }_1^{7}g=792-186=606$. d) Đúng: theo tính tuyến tính của tích phân bất định, $\int [f(x)+g(x)]dx=F(x)+G(x)+C$.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^m(1-2x)dx=m-m^2$ đạt max tại $m=\frac{1}{2}$, không phải $\frac{1}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)>0$ trên $[a;b]$, $S={\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$792-186=606$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của nguyên hàm.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ với tâm hình vuông là gốc $O$, cạnh $MN$ là đường thẳng $y=10$ (hình vuông cạnh 20). Cung parabol $\widehat{AB}$ là tập điểm cách $O$ đúng bằng khoảng cách tới $MN$: $\sqrt{x^2+y^2}=10-y\Rightarrow x^2=100-20y$, tức $y=\frac{100-x^2}{20}$ (parabol hướng xuống, đỉnh $(0;5)$).

Điểm $A$ nằm trên đường chéo $y=x$ và trên parabol: $x^2=100-20x\Rightarrow x^2+20x-100=0\Rightarrow x=10(\sqrt{2}-1)\approx 4,1421$. Gọi $a=10(\sqrt{2}-1)$.

Hình phẳng tô đậm là phần giao của bốn miền bên trong bốn parabol (đối xứng qua hai trục và hai đường chéo). Trong góc phần tư thứ nhất, miền bị chặn bởi $0\le x\le a$, $0\le y\le \frac{100-x^2}{20}$ (ràng buộc này nhỏ hơn ràng buộc từ parabol bên phải trên đoạn $[0;a]$, hai đường gặp nhau tại $(a;a)$).

Diện tích:
$$S=4{\int }_0^a\frac{100-x^2}{20}dx=4\left(5a-\frac{a^3}{60}\right)=20a-\frac{a^3}{15}.$$
Với $a=10(\sqrt{2}-1)$: $20a\approx 82,842$; $a^3=1000(5\sqrt{2}-7)\approx 71,068$, nên $\frac{a^3}{15}\approx 4,738$.
$$S\approx 82,842-4,738\approx 78,1(c{m}^2).$$
Vậy diện tích phần tô đậm khoảng $78,1c{m}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_{-2}^5{f}^{\prime }(x)dx=f(5)-f(-2)=3-6=-3$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton–Leibniz, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a;b]$ thì ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$. Do đó đáp án là A. Phương án C sai dấu, còn B, D tích phân của $F(x)$ chứ không phải $f(x)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II): a) Sai. $G$ là nguyên hàm của $g$ nên $G^{\prime }=g$; công thức Newton–Leibniz cho ${\int }_a^{b}g(x)dx=G(b)-G(a)$, còn ${\int }_a^{b}G(x)dx$ là tích phân của chính $G$ và không bằng $G(a)-G(b)$. b) Sai. Tính chất đổi cận: ${\int }_b^{a}g(x)dx=-{\int }_a^{b}g(x)dx$; hai vế chỉ bằng nhau khi tích phân bằng 0. c) Đúng. Tính chất cộng đoạn: ${\int }_c^{b}g(x)dx={\int }_c^{a}g(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx=n+m=m+n$. d) Đúng. Tính tuyến tính: ${\int }_a^b[2025g(x)+2026]dx=2025{\int }_a^{b}g(x)dx+2026{\int }_a^{b}dx=2025{\int }_a^{b}g(x)dx+2026(b-a)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$G$ là nguyên hàm của $g$ nên $G^{\prime }=g$; Newton–Leibniz cho ${\int }_a^{b}g(x)dx=G(b)-G(a)$. Khẳng định ${\int }_a^{b}G(x)dx=G(a)-G(b)$ sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất đổi cận: ${\int }_b^{a}g(x)dx=-{\int }_a^{b}g(x)dx$, hai vế chỉ bằng nhau khi tích phân bằng 0. Khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất cộng đoạn: ${\int }_c^{b}g(x)dx={\int }_c^{a}g(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx=n+m=m+n$. Khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính: ${\int }_a^b[2025g(x)+2026]dx=2025{\int }_a^{b}g(x)dx+2026(b-a)$. Khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol có đỉnh $(0;4)$ và cắt trục hoành tại $x=\pm 2$ nên $y=f(x)=-x^2+4$.

a) Sai: phát biểu $y=-x^2-4$ có đỉnh $(0;-4)$, không khớp hình vẽ; đúng là $y=-x^2+4$.

b) Sai: với $CD=3$, giao điểm parabol với $y=3$: $3=-x^2+4\Rightarrow x=\pm 1$, nên $CF=2$ m, không phải $2\sqrt{2}$ m.

c) Đúng: diện tích dưới parabol ${\int }_{-2}^2(-x^2+4)dx={\left[-\frac{x^3}{3}+4x\right]}_{-2}^2=\frac{32}{3}$. Diện tích hình chữ nhật $CDEF=2\cdot 3=6$. Diện tích tô đậm $=\frac{32}{3}-6=\frac{14}{3}{m}^2$, chi phí $=\frac{14}{3}$ triệu đồng.

d) Sai: với chiều cao cửa $h\in (0;4)$, chiều rộng $2\sqrt{4-h}$, diện tích tô đậm $S(h)=\frac{32}{3}-2h\sqrt{4-h}$. Đặt $g(h)=h\sqrt{4-h}$, $g^{\prime }(h)=\sqrt{4-h}-\frac{h}{2\sqrt{4-h}}=0\Rightarrow h=\frac{8}{3}$, $g_{max}=\frac{8}{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{16}{3\sqrt{3}}$. Suy ra $S_{min}=\frac{32}{3}-\frac{32}{3\sqrt{3}}=\frac{32}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 4,508$ triệu đồng $\approx 4,508.000$ đồng $\ne 4,608.000$ đồng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Parabol có đỉnh $(0;4)$, đi qua $(\pm 2;0)$ nên $y=-x^2+4$, không phải $y=-x^2-4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=3$: $3=-x^2+4\Rightarrow x=\pm 1$, chiều rộng cửa $CF=2$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tô đậm $=\frac{32}{3}-6=\frac{14}{3}{m}^2$, chi phí $\frac{14}{3}$ triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S(h)=\frac{32}{3}-2h\sqrt{4-h}$ đạt min tại $h=\frac{8}{3}$, $S_{min}=\frac{32}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 4,508$ triệu đồng, không phải 4.608.000 đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}(3-x)dx=\left(3x-\frac{x^2}{2}\right){|}_0^2=6-2=4$. Vậy $I=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=\sin x$, $y=0$, $x=0$, $x=2\pi$ được tính bằng tích phân của trị tuyệt đối: $S={\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx$. Trên $[0,\pi ]$ thì $\sin x\ge 0$, trên $[\pi ,2\pi ]$ thì $\sin x\le 0$, nên nếu lấy ${\int }_0^{2\pi }\sin xdx=0$ (sai), còn ${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$ chỉ là một nửa diện tích. Do đó đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $I={\int }_0^1{5}^x\mathrm{d}x={\frac{5^x}{\ln 5}|}_0^1=\frac{5^1-5^0}{\ln 5}=\frac{4}{\ln 5}$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân ${\int }_{-1}^3{x}^{2}dx={\frac{x^3}{3}|}_{-1}^3=\frac{27}{3}-\frac{-1}{3}=9+\frac{1}{3}=\frac{28}{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton - Leibniz, vì $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$. Do đó đáp án đúng là D, trùng với đáp án của đề (mã đề 121, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^3[f(x)-g(x)]dx={\int }_1^{3}f(x)dx-{\int }_1^{3}g(x)dx$. Thay số: $-3=2-{\int }_1^{3}g(x)dx$, suy ra ${\int }_1^{3}g(x)dx=2+3=5$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 121, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ (có thể nằm dưới trục hoành), trục hoành và hai đường thẳng $x=1,x=3$ là $S={\int }_1^3\left|f(x)\right|dx$. Công thức này luôn cho giá trị dương bất kể dấu của $f(x)$, trong khi ${\int }_1^{3}f(x)dx$ chỉ đúng khi $f(x)\ge 0$ trên $[1;3]$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 121: B).

(AI giải đề cho tôi)
Cho ${\int }_0^{2}f(x)dx=5$, ${\int }_0^{2}g(x)dx=-3$.
a) ${\int }_0^{2}3g(x)dx=3\cdot (-3)=-9\ne 6$ → Sai.
b) ${\int }_0^2[f(x)-g(x)+1]dx=5-(-3)+2=10\ne 8$ → Sai.
c) ${\int }_0^{2}f(x)dx=F(2)-F(0)=5$, với $F(2)=3$ suy ra $F(0)=3-5=-2$ → Đúng.
d) ${\int }_0^{1}g(x)dx={\int }_0^{2}g(x)dx-{\int }_1^{2}g(x)dx=-3-1=-4\ne 4$ → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{2}3g(x)dx=3\cdot (-3)=-9\ne 6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^2[f(x)-g(x)+1]dx=5-(-3)+2=10\ne 8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(2)-F(0)={\int }_0^{2}f(x)dx=5$ nên $F(0)=3-5=-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{1}g(x)dx=-3-1=-4\ne 4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: phần A nằm trên trục hoành trên đoạn [0;1] có diện tích S_A=4, phần B nằm dưới trục hoành trên đoạn [1;3] có diện tích S_B=10.
a) Trên [1;3] thì f'(x)≤0 nên ∫₁³|f'(x)|dx = -∫₁³f'(x)dx = S_B = 10. Đúng.
b) Trên [0;1] thì f'(x)≥0 nên ∫₀¹f'(x)dx = S_A = 4. Đúng.
c) S = S_A + S_B = 14, còn ∫₀³f'(x)dx = S_A - S_B = 4 - 10 = -6 ≠ 14. Sai.
d) ∫₀³f'(x)dx = 4 - 10 = -6. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [1;3], f'(x)≤0 nên ∫₁³|f'(x)|dx = -∫₁³f'(x)dx = S_B = 10.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1], f'(x)≥0 nên ∫₀¹f'(x)dx = S_A = 4.
c) (AI giải đề cho tôi)
S = S_A + S_B = 14, trong khi ∫₀³f'(x)dx = S_A - S_B = -6 ≠ 14.
d) (AI giải đề cho tôi)
∫₀³f'(x)dx = S_A - S_B = 4 - 10 = -6.

(AI giải đề cho tôi)
Vườn hoa là hình tròn bán kính $R=6m$, hình vuông $ABCD$ cạnh $AB=4m$ nằm bên trong đường tròn (tâm đường tròn là tâm hình vuông, khoảng cách từ tâm đến mỗi cạnh là $2m<6m$).

Diện tích trồng hoa (bên trong hình vuông): $S_{vu\hat{o}ng}=4^2=16m^2$.

Phần trồng cỏ: gồm 4 phần bằng nhau, mỗi phần giới hạn bởi một cạnh của hình vuông (độ dài 4), đường tròn và hai đường thẳng vuông góc với cạnh tại hai đầu mút. Với cạnh song song trục hoành tại $y=2$, $x\in [-2;2]$, diện tích một phần là
$$S_1={\int }_{-2}^2\left(\sqrt{36-x^2}-2\right)dx=2{\int }_0^2\sqrt{36-x^2}dx-8.$$
Tính ${\int }_0^2\sqrt{36-x^2}dx={\left[\frac{x}{2}\sqrt{36-x^2}+18\arcsin \frac{x}{6}\right]}_0^2=\sqrt{32}+18\arcsin \frac{1}{3}\approx 5,6569+6,1171=11,7740$.
Suy ra $S_1\approx 2\cdot 11,7740-8=15,548m^2$, tổng diện tích trồng cỏ $S_{cỏ}\approx 4\cdot 15,548=62,192m^2$.

Chi phí:
- Trồng hoa: $16\cdot 0,2=3,2$ triệu đồng.
- Trồng cỏ: $62,192\cdot 0,1\approx 6,219$ triệu đồng.
- 4 cây cau voi: $4\cdot 0,5=2$ triệu đồng.

Tổng: $3,2+6,219+2\approx 11,419\approx 11,4$ triệu đồng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn $11,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính của tích phân: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}[2f(x)+3g(x)]dx=2\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx+3\underset{1}{\overset{3}{\int }}g(x)dx=2\cdot 1+3\cdot (-2)=2-6=-4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-4).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[a;0]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm dưới trục hoành nên ${\int }_a^{0}f(x)dx\le 0$, diện tích phần hình phẳng đó là $-{\int }_a^{0}f(x)dx$. Trên đoạn $[0;b]$ đồ thị nằm trên trục hoành nên diện tích phần đó là ${\int }_0^{b}f(x)dx$. Vậy $S_D=-{\int }_a^{0}f(x)dx+{\int }_0^{b}f(x)dx$, trùng với đáp án C (khớp bảng đáp án mã đề 121, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên ${\int }_0^{4}f(x)dx=F(4)-F(0)=16-0=16$. Do đó ${\int }_0^4[3+f(x)]dx={\int }_0^{4}3dx+{\int }_0^{4}f(x)dx=3\cdot 4+16=12+16=28$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 121: C).