Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Trung bình/trung vị/tứ phân vị/mốt (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$, số trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 10 và thứ 11 trong dãy đã sắp xếp. Tần số tích lũy: điểm 4 có 1 HS, điểm 5 có 3 HS, điểm 6 có 6 HS, điểm 7 có 10 HS, điểm 8 có 15 HS. Vậy giá trị thứ 10 là 7, giá trị thứ 11 là 8. Số trung vị $=\frac{7+8}{2}=7,5$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu: 2; 3; 5; 5; 7; 10; 13; 15 (n = 8). Tứ phân vị thứ hai là trung vị: Q2 = (5+7)/2 = 6. Nửa dưới gồm 2; 3; 5; 5 nên Q1 = (3+5)/2 = 4. Nửa trên gồm 7; 10; 13; 15 nên Q3 = (10+13)/2 = 11,5. Vậy Q1 = 4; Q2 = 6; Q3 = 11,5, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp số liệu: 300; 350; 350; 350; 350; 400; 400; 400; 450; 450 (n = 10). Số trung vị Q2 = (350 + 400)/2 = 375. Nửa dưới gồm 300; 350; 350; 350; 350 nên Q1 = 350. Nửa trên gồm 400; 400; 400; 450; 450 nên Q3 = 400. Vậy Q1 = 350; Q2 = 375; Q3 = 400, chọn A.

Có $n=45$. Giá trị trung bình $\overline{x}=\frac{5.4+6.14+7.6+8.8+9.8+10.5}{45}\approx 7,4$. Trung vị $M_e=x_{23}=7$. Có $Q_1=\frac{1}{2}\left(x_{11}+x_{12}\right)=6$; $Q_3=\frac{1}{2}\left(x_{34}+x_{35}\right)=9$. Khoảng tứ phân vị: $\Delta Q=Q_3-Q_1=3$. Phương sai: $S^2=\frac{4.{\left(5-\overline{x}\right)}^2+14.{\left(6-\overline{x}\right)}^2+6.{\left(7-\overline{x}\right)}^2+8.{\left(8-\overline{x}\right)}^2+8.{\left(9-\overline{x}\right)}^2+5.{\left(10-\overline{x}\right)}^2}{45}\approx 2,4$

(AI giải đề cho tôi)
Tổng 24 giá trị: 72+89+88+73+63+265+69+65+94+80+81+98+66+71+84+73+93+59+60+61+83+72+85+66 = 2010. a) Số trung bình = 2010/24 = 83,75 → đúng. Sắp xếp dãy: 59, 60, 61, 63, 65, 66, 66, 69, 71, 72, 72, 73, 73, 80, 81, 83, 84, 85, 88, 89, 93, 94, 98, 265. b) Trung vị = (73+73)/2 = 73 ≠ 72 → sai. c) Sai khác |83,75 − 73| = 10,75 → đúng. d) Q1 = trung vị của 12 giá trị đầu = (66+69)/2 = 67,5; Q2 = 73; khoảng cách Q2 − Q1 = 5,5 ≠ 8 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng 24 giá trị bằng 2010 nên số trung bình = 2010/24 = 83,75 bao.
b) (AI giải đề cho tôi)
Dãy đã sắp xếp có giá trị thứ 12 và 13 đều là 73 nên trung vị = 73, không phải 72.
c) (AI giải đề cho tôi)
|83,75 − 73| = 10,75.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = (66+69)/2 = 67,5; Q2 = 73; khoảng cách Q2 − Q1 = 5,5 ≠ 8.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng nhiệt độ 12 tháng: $19,6+19,6+23,2+22,3+29,9+32,1+31,6+29,3+29,2+24,8+23,9+18,6=304,1$.
- a) Nhiệt độ trung bình $\bar{x}=\frac{304,1}{12}\approx 25,34^{\circ }C$ → đúng.
- b) Nhiệt độ cao nhất là $32,1^{\circ }C$ thuộc tháng 6, không phải tháng 7 → sai.
- c) $\sum x_i^2=7970,17$, nên $s^2=\frac{7970,17}{12}-{\left(\frac{304,1}{12}\right)}^2\approx 664,18-642,20\approx 21,98$ → đúng.
- d) $s=\sqrt{21,98}\approx 4,69\ne 3,69$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng $304,1$, trung bình $\bar{x}=304,1/12\approx 25,34^{\circ }C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nhiệt độ cao nhất $32,1^{\circ }C$ ở tháng 6; tháng 7 chỉ $31,6^{\circ }C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s^2=\frac{1}{12}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2\approx 664,18-642,20\approx 21,98$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s=\sqrt{21,98}\approx 4,69$, không phải $3,69$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4: Mẫu số liệu gồm 11 giá trị (triệu người): 7,52; 1,09; 1,25; 1,27; 1,81; 2,01; 1,19; 1,79; 0,81; 1,85; 0,97.

a) Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{7,52+1,09+1,25+1,27+1,81+2,01+1,19+1,79+0,81+1,85+0,97}{11}=\frac{21,56}{11}\approx 1,96$$ (triệu người).

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: 0,81; 0,97; 1,09; 1,19; 1,25; 1,27; 1,79; 1,81; 1,85; 2,01; 7,52.
Mẫu có $n=11$ (lẻ) nên trung vị là giá trị thứ 6: $Me=1,27$ (triệu người).

b) Số trung bình ($\approx 1,96$) và trung vị ($1,27$) sai khác nhiều vì mẫu số liệu có giá trị ngoại lệ: dân số Hà Nội là 7,52 triệu người, lớn gấp nhiều lần dân số các tỉnh còn lại (từ 0,81 đến 2,01 triệu). Giá trị ngoại lệ này kéo số trung bình tăng lên đáng kể, trong khi trung vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ nên gần với mức dân số phổ biến của các tỉnh.

c) Nên sử dụng số trung vị ($Me=1,27$ triệu người) để đại diện cho dân số của các tỉnh Đồng bằng Bắc Bộ, vì mẫu số liệu chứa giá trị ngoại lệ (Hà Nội) làm số trung bình bị bóp méo, không phản ánh đúng mức dân số điển hình của đa số các tỉnh/thành phố.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=11$): 60, 64, 70, 74, 76, 76, 78, 80, 82, 86, 90. Vị trí tứ phân vị thứ ba: $\frac{3(n+1)}{4}=\frac{3\cdot 12}{4}=9$, nên $Q_3$ là giá trị thứ 9 $=82$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có n=17 giá trị, sắp xếp: 3; 5;5;5;5;5; 6;6;6;6; 7;7;7;7;7;7; 8.
a) Sai: Q1 là giá trị thứ 4,25 nên bằng 5; Q3 là giá trị thứ 12,75 nên bằng 7. Khoảng biến thiên tứ phân vị IQR = 7 − 5 = 2. Giới hạn dưới = 5 − 1,5·2 = 2, giới hạn trên = 7 + 1,5·2 = 10. Giá trị 3 nằm trong [2; 10] nên không phải giá trị bất thường.
b) Sai: IQR = 2, không phải 3.
c) Đúng: thời gian trung bình = (3·1 + 5·5 + 6·4 + 7·6 + 8·1)/17 = 102/17 = 6 (phút).
d) Đúng: giá trị 7 xuất hiện 6 lần, nhiều nhất, nên mốt là 7.
a) (AI giải đề cho tôi)
IQR = 2, giới hạn dưới 2 và trên 10; giá trị 3 nằm trong khoảng này nên không phải giá trị bất thường.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 5, Q3 = 7 nên khoảng tứ phân vị = 7 − 5 = 2 ≠ 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
(3·1 + 5·5 + 6·4 + 7·6 + 8·1)/17 = 102/17 = 6 (phút).
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị 7 xuất hiện 6 lần (nhiều nhất) nên mốt là 7.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+4+6+12+8+3=35$. Sắp xếp dữ liệu: hai giá trị 0, bốn giá trị 1, sáu giá trị 2, mười hai giá trị 3, tám giá trị 4, ba giá trị 5. Vị trí tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n+1}{4}=9$, giá trị thứ 9 là $2$ nên $Q_1=2$. Vị trí trung vị: $\frac{2(n+1)}{4}=18$, giá trị thứ 18 là $3$ nên $Q_2=3$. Vị trí tứ phân vị thứ ba: $\frac{3(n+1)}{4}=27$, giá trị thứ 27 là $4$ nên $Q_3=4$. Vậy các tứ phân vị lần lượt là $2,3,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (15 giá trị): 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10.
a) Đếm được 15 giá trị nên cỡ mẫu n=15, không phải 14 → Sai.
b) Khoảng biến thiên R = giá trị lớn nhất − giá trị nhỏ nhất = 10 − 2 = 8 ≠ 7 → Sai.
c) n=15 lẻ, trung vị là giá trị thứ 8 = 6, nên Q2 = Me = 6 → Đúng.
d) Giá trị 6 xuất hiện 3 lần (nhiều nhất), nên M_O = 6 ≠ 3 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 15 giá trị: 2, 6, 3, 8, 4, 5, 5, 6, 2, 4, 10, 6, 7, 8, 9 nên n = 15 ≠ 14.
b) (AI giải đề cho tôi)
R = 10 − 2 = 8 ≠ 7.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp: 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10. n = 15 lẻ nên Me là giá trị thứ 8 = 6, do đó Q2 = Me = 6.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị 6 xuất hiện 3 lần nhiều nhất nên M_O = 6 ≠ 3.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu: $2;3;5;5;7;10;13$ ($n=7$). Vị trí tứ phân vị thứ ba: $\frac{3(n+1)}{4}=\frac{3\cdot 8}{4}=6$, tức giá trị thứ 6 của dãy đã sắp xếp là 10. Vậy $Q_3=10$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (12 giá trị): 28; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 35; 37; 37; 45. Vì $n=12$ chẵn, tứ phân vị thứ nhất là trung bình cộng của giá trị thứ 3 và thứ 4: $Q_1=\frac{32+33}{2}=32,5$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=8$): 150, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 178. $Q_2$ là trung vị: $(164+168)/2=166$. $Q_1$ là trung vị nửa đầu: $(156+160)/2=158$. $Q_3$ là trung vị nửa sau: $(172+176)/2=174$. Vậy $Q_1=158$; $Q_2=166$; $Q_3=174$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=1+10+19+17+3=50$. Trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 25 và thứ 26 trong dãy đã sắp xếp. Tần số tích lũy: 8 → 1; 19 → 11; 20 → 30. Vì cả giá trị thứ 25 và thứ 26 đều bằng 20 nên trung vị $=\frac{20+20}{2}=20$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh: $2+3+7+18+3+2+4+1=40$. a) Mốt là giá trị có tần số lớn nhất: điểm 6 xuất hiện 18 lần (nhiều nhất), nên $M_o=6$ → chọn A. b) Mẫu có 40 giá trị (chẵn), trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 20 và thứ 21. Tần số tích lũy: điểm 3: 2; điểm 4: 5; điểm 5: 12; điểm 6: 30. Cả giá trị thứ 20 và thứ 21 đều bằng 6, nên trung vị $=6$ → chọn B. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) A; b) B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (n=9): 3; 4; 4; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
a) Tổng các giá trị = 3+4+4+4+5+6+7+8+9 = 50, nên $\overline{x}=\frac{50}{9}\approx 5,56\ne 5,5$ → sai.
b) Giá trị 4 xuất hiện 3 lần (nhiều nhất), nên $M_o=4\ne 3$ → sai.
c) Trung vị là giá trị thứ 5 = 5, nên $M_e=5\ne 4$ → sai.
d) $Q_3$ ở vị trí $\frac{3(n+1)}{4}=\frac{3\cdot 10}{4}=7,5$, tức giữa giá trị thứ 7 (bằng 7) và thứ 8 (bằng 8): $Q_3=\frac{7+8}{2}=7,5\ne 7$ → sai. (Cách lấy nửa trên không chứa trung vị: 6;7;8;9 cho $Q_3=7,5$, cũng khác 7.)
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{x}=\frac{50}{9}\approx 5,56\ne 5,5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số 4 xuất hiện 3 lần nên $M_o=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị thứ 5 trong dãy đã sắp xếp là 5, nên $M_e=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$Q_3$ tại vị trí 7,5 nên $Q_3=\frac{7+8}{2}=7,5\ne 7$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu có n=20: điểm 4 (1 hs), 5 (2), 6 (3), 7 (4), 8 (5), 9 (4), 10 (1).
a) Mốt là giá trị có tần số lớn nhất: điểm 8 xuất hiện 5 lần nên M_o = 8 ≠ 5 → sai.
b) Trung bình: x̄ = (4·1+5·2+6·3+7·4+8·5+9·4+10·1)/20 = (4+10+18+28+40+36+10)/20 = 146/20 = 7,3 ≠ 5 → sai.
c) Trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 10 và 11. Dãy: 4;5;5;6;6;6;7;7;7;7;8;8;8;8;8;9;9;9;9;10. Giá trị thứ 10 và 11 đều là 7 (thứ 10 = 7, thứ 11 = 8? kiểm tra: vị trí 1:4; 2-3:5; 4-6:6; 7-10:7; 11-15:8). Vậy giá trị thứ 10 là 7, thứ 11 là 8, trung vị = (7+8)/2 = 7,5 ≠ 7 → sai.
Chú ý: vị trí 7–10 là điểm 7 (4 học sinh), vị trí 11–15 là điểm 8. Do đó trung vị = (7+8)/2 = 7,5, không phải 7 → khẳng định c sai.
d) Nửa dưới gồm 10 giá trị đầu: 4;5;5;6;6;6;7;7;7;7. Q1 = (giá trị thứ 5 + thứ 6)/2 = (6+6)/2 = 6 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mốt là điểm có số học sinh nhiều nhất: điểm 8 xuất hiện 5 lần nên M_o = 8 ≠ 5.
b) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = (4·1+5·2+6·3+7·4+8·5+9·4+10·1)/20 = 146/20 = 7,3 ≠ 5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Dãy sắp xếp: 4;5;5;6;6;6;7;7;7;7;8;8;8;8;8;9;9;9;9;10. Giá trị thứ 10 là 7, thứ 11 là 8 nên trung vị = (7+8)/2 = 7,5 ≠ 7.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nửa dưới 10 giá trị: 4;5;5;6;6;6;7;7;7;7. Q1 = (6+6)/2 = 6.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (n=13): 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14,5, 15, 18, 20, 20, 21, 28.
a) Trung vị là giá trị thứ 7: $M_e=14,5\ne 13,5$ → sai.
b) Giá trị 10 xuất hiện 2 lần; hơn nữa mốt của mẫu không phải chỉ là 10 (các giá trị 10, 12, 20 đều xuất hiện 2 lần) → khẳng định sai.
c) Khoảng biến thiên $R=28-10=18$ → đúng.
d) $Q_1$ ở vị trí $\frac{n+1}{4}=3,5$ nên $Q_1=\frac{11+12}{2}=11,5$; $Q_3$ ở vị trí $\frac{3(n+1)}{4}=10,5$ nên $Q_3=\frac{20+20}{2}=20$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=20-11,5=8,5$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung vị là giá trị thứ 7 của 13 giá trị đã sắp xếp: $M_e=14,5$, không phải 13,5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị 10 xuất hiện 2 lần trong mẫu; đồng thời mốt của mẫu gồm cả 10, 12, 20 (mỗi giá trị xuất hiện 2 lần), nên khẳng định là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=x_{max}-x_{min}=28-10=18$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1=11,5$, $Q_3=20$ nên ${\Delta }_Q=20-11,5=8,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1:

a) Sắp xếp: 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12 (n = 12).
- Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5+6+6+9+8+7+12+7+7+8+8+10}{12}=\frac{93}{12}=7,75$ phút.
- Trung vị: $\frac{7+8}{2}=7,5$ phút.
- Mốt: cả 7 và 8 (mỗi giá trị xuất hiện 3 lần).
- Tứ phân vị: nửa dưới là 5, 6, 6, 7, 7, 7 nên $Q_1=\frac{6+7}{2}=6,5$; nửa trên là 8, 8, 8, 9, 10, 12 nên $Q_3=\frac{8+9}{2}=8,5$ phút.

b) Sắp xếp: 4; 4; 4,5; 5; 5; 5,5; 6 (n = 7).
- Số trung bình: $\bar{x}=\frac{4+4+4,5+5+5+5,5+6}{7}=\frac{34}{7}\approx 4,86$ tấn.
- Trung vị: giá trị thứ 4 là 5 tấn.
- Mốt: 4 (xuất hiện 2 lần).
- Tứ phân vị: $Q_1=4$ (trung vị của 4; 4; 4,5), $Q_3=5,5$ (trung vị của 5; 5,5; 6).

c) Bảng tần số, $n=7+8+10+9+7=41$.
- Số trung bình: $\bar{x}=\frac{10\cdot 7+11\cdot 8+12\cdot 10+13\cdot 9+14\cdot 7}{41}=\frac{493}{41}\approx 12,02$ giây.
- Trung vị: giá trị thứ 21 (tần số tích lũy: 7, 15, 25) là 12 giây.
- Mốt: 12 giây (tần số lớn nhất 10).
- Tứ phân vị: $Q_1$ là trung vị của 20 giá trị đầu (các giá trị 10 và 11): giá trị thứ 10, 11 đều là 11 nên $Q_1=11$; $Q_3$ là trung vị của 20 giá trị cuối (các giá trị 13 và 14): giá trị thứ 31, 32 đều là 13 nên $Q_3=13$ giây.