Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Trung bình/trung vị/tứ phân vị/mốt (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Dãy gồm 5 số lẻ liên tiếp tăng dần: $2a+1;2a+3;2a+5;2a+7;2a+9$.

a) Số trung bình $\bar{x}=\frac{(2a+1)+(2a+3)+(2a+5)+(2a+7)+(2a+9)}{5}=\frac{10a+25}{5}=2a+5$. Đúng.

b) Dãy có 5 phần tử nên trung vị là phần tử thứ 3: $2a+5$. Đúng.

c) Mỗi giá trị trong dãy chỉ xuất hiện đúng 1 lần, nên dãy không có mốt (không có giá trị nào xuất hiện nhiều nhất một cách duy nhất là $2a+1$). Sai.

d) $Q_3$: vị trí $\frac{3(n+1)}{4}=\frac{3\cdot 6}{4}=4,5$, tức $Q_3$ nằm giữa phần tử thứ 4 và thứ 5: $Q_3=\frac{(2a+7)+(2a+9)}{2}=2a+8\ne 2a+7$. (Cách tính khác: $Q_3$ là trung vị nửa trên $\{2a+7;2a+9\}$ cũng cho $2a+8$.) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng 5 số là $10a+25$, chia cho 5 được $2a+5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Dãy có 5 phần tử, trung vị là phần tử thứ 3 bằng $2a+5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi giá trị xuất hiện đúng một lần nên dãy không có mốt duy nhất.
d) (AI giải đề cho tôi)
$Q_3=\frac{(2a+7)+(2a+9)}{2}=2a+8\ne 2a+7$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu đã sắp: 15; 20; 20; 30; 30; 30; 45; 60; 90 (n = 9). a) Giá trị 30 xuất hiện 3 lần nhiều nhất nên mốt là 30 phút — đúng. b) Trung vị là giá trị thứ 5 là 30, không phải 35 — sai. c) Nửa dưới gồm 15; 20; 20 nên Q1 = 20 phút — đúng. d) Nửa trên gồm 45; 60; 90 nên Q3 = 60 phút, không phải 52,5 — sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
30 xuất hiện 3 lần (nhiều nhất) nên mốt là 30 phút.
b) (AI giải đề cho tôi)
n = 9, trung vị là số thứ 5 = 30 phút, không phải 35.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nửa dưới của mẫu là 15; 20; 20, trung vị của nửa này là 20 nên Q1 = 20 phút.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nửa trên của mẫu là 45; 60; 90, trung vị là 60 nên Q3 = 60 phút, không phải 52,5.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm A: 5;6;7;8;9 có số trung bình ${\bar{x}}_A=\frac{5+6+7+8+9}{5}=7$; trung vị là 7. Nhóm B: 1;3;7;11;13 có ${\bar{x}}_B=\frac{1+3+7+11+13}{5}=7$; trung vị là 7. a) Đúng. b) Đúng. c) Phương sai nhóm A: $s_A^2=\frac{(4+1+0+1+4)}{5}=2$; nhóm B: $s_B^2=\frac{(36+16+0+16+36)}{5}=20,8$. Nhóm B phân tán cao hơn nên c) Sai. d) Cả hai mẫu đều không có giá trị lặp lại nên không có mốt (hoặc mốt không xác định), do đó khẳng định 'mốt của nhóm B lớn hơn mốt của nhóm A' Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A=\frac{5+6+7+8+9}{5}=7$ và ${\bar{x}}_B=\frac{1+3+7+11+13}{5}=7$, bằng nhau và bằng 7.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai dãy đã sắp xếp đều có giá trị thứ ba là 7 nên trung vị của hai nhóm đều bằng 7.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s_A^2=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$ còn $s_B^2=\frac{36+16+0+16+36}{5}=20,8$, nhóm B phân tán cao hơn nhóm A.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi giá trị trong cả hai nhóm đều xuất hiện đúng một lần nên không có mốt cho cả hai nhóm; không thể nói mốt của nhóm B lớn hơn mốt của nhóm A.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình của dãy 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28 là $\overline{x}=\frac{4+8+12+16+20+24+28}{7}=\frac{112}{7}=16$. Kết quả trùng với đáp số 16 trong tài liệu.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu gồm 8 giá trị theo thứ tự tăng dần: 9; 11; 14; 15; 18; 22; 25; 30. Vì cỡ mẫu $n=8$ chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa (giá trị thứ 4 và thứ 5): $M_e=\frac{15+18}{2}=16,5$. Kết quả trùng với đáp số đã cho trong tài liệu (16,5).

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu đã sắp xếp: 3;5;7;8;12;14;15;18;21 với $n=9$. Trung vị của mẫu là giá trị thứ 5 là 12. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là trung vị của nửa dưới mẫu (4 giá trị đầu: 3;5;7;8), nên $Q_1=\frac{5+7}{2}=6$. Kết quả trùng với đáp số nguồn: 6.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu gồm 10 giá trị đã sắp xếp: 2; 4; 5; 7; 9; 10; 12; 15; 18; 20. Vì $n=10$ chẵn, ta chia mẫu thành hai nửa: nửa dưới là 2; 4; 5; 7; 9 và nửa trên là 10; 12; 15; 18; 20. Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là trung vị của nửa trên gồm 5 giá trị, tức là giá trị đứng giữa: $Q_3=15$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: 15.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng điểm của 8 học sinh là $8\cdot 7,25=58$. Cộng thêm điểm của học sinh thứ 9 là $9,5$ thì tổng điểm của 9 học sinh là $58+9,5=67,5$. Điểm trung bình mới của cả tổ là $\bar{x}=\frac{67,5}{9}=7,5$ (điểm). Kết quả trùng với đáp số nguồn 7,5.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng 5 giá trị ban đầu: $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5\cdot 10=50$. Thay $x_1=4$ bằng $x_1^{\prime }=14$ thì tổng mới là $50-4+14=60$. Số trung bình mới: ${\overline{x}}^{\prime }=\frac{60}{5}=12$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (12).

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 6 giá trị đã sắp xếp: 2; 4; m; m+2; 10; 12. Trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 3 và thứ 4: $M_e=\frac{m+(m+2)}{2}=m+1$. Theo đề $M_e=7$ nên $m+1=7\Rightarrow m=6$. Kiểm tra: với $m=6$ mẫu là 2; 4; 6; 8; 10; 12 đã sắp xếp đúng, trung vị $=\frac{6+8}{2}=7$. Vậy $m=6$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu có 10 giá trị: 8;9;10;9;8;10;10;9;x;10. Không tính x, các giá trị đã có: 8 xuất hiện 2 lần, 9 xuất hiện 3 lần, 10 xuất hiện 4 lần; tổng bằng 83. Để 10 là mốt duy nhất, số lần xuất hiện của 10 (4 lần) phải lớn hơn số lần xuất hiện của mọi giá trị khác, tức x không được làm giá trị nào khác đạt 4 lần trở lên và x không được xuất hiện cùng lúc tạo mốt khác. Với x = 8 thì 8 xuất hiện 3 lần, 9 xuất hiện 3 lần, 10 vẫn xuất hiện 4 lần nên 10 vẫn là mốt duy nhất; do đó điều kiện chỉ yêu cầu x khác các giá trị khiến mốt không duy nhất — thực tế mọi x với tần số của nó nhỏ hơn 4 đều thỏa. Điểm số bắn súng nhỏ nhất có thể là 0, khi đó mốt vẫn là 10 (xuất hiện 4 lần, nhiều nhất). Số trung bình nhỏ nhất: $\bar{x}=\frac{83+0}{10}=8,30$. Khớp với đáp số nguồn 8,30.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy gồm 11 số tự nhiên liên tiếp tăng dần bắt đầu từ 5: 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15. Vì $n=11$ lẻ, trung vị là số thứ 6 (giá trị 10). Nửa dưới gồm 5 số 5; 6; 7; 8; 9 nên $Q_1=7$. Nửa trên gồm 5 số 11; 12; 13; 14; 15 nên $Q_3=13$. Vậy $Q_3-Q_1=13-7=6$, trùng với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: 120; 130; 140; 150; 160; 180; 200. Mẫu có $n=7$ giá trị. Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ chính là trung vị của mẫu số liệu. Vì $n=7$ lẻ, trung vị là giá trị thứ $(7+1)/2=4$ trong dãy đã sắp xếp, tức là $150$. Vậy $Q_2=150$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=6$ giá trị đã sắp xếp: $4,6,7,8,9,10$. Trung vị $Q_2=\frac{7+8}{2}=7,5$, nên nửa dưới là $4,6,7$ và nửa trên là $8,9,10$. Tứ phân vị thứ nhất là trung vị nửa dưới: $Q_1=6$. Tứ phân vị thứ ba là trung vị nửa trên: $Q_3=9$. Vậy $Q_1=6$ và $Q_3=9$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu đã sắp xếp: $5,7,8,10,15$ với $n=5$. Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ chính là trung vị của mẫu. Vì $n$ lẻ, trung vị là giá trị đứng thứ $(n+1)/2=3$ trong dãy đã sắp xếp, tức là $8$. Vậy $Q_2=8$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu đã sắp xếp: 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10 (n = 8).
a) Khoảng biến thiên R = 10 − 6 = 4 → đúng.
b) Nửa dưới gồm 6, 7, 7, 8 nên Q1 = (7+7)/2 = 7 ≠ 6,5 → sai.
c) Nửa trên gồm 8, 9, 9, 10 nên Q3 = (9+9)/2 = 9 → đúng.
d) ΔQ = Q3 − Q1 = 9 − 7 = 2 ≠ 3 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = x_max − x_min = 10 − 6 = 4.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 là trung vị của nửa dưới 6, 7, 7, 8: Q1 = (7+7)/2 = 7 ≠ 6,5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q3 là trung vị của nửa trên 8, 9, 9, 10: Q3 = (9+9)/2 = 9.
d) (AI giải đề cho tôi)
ΔQ = Q3 − Q1 = 9 − 7 = 2 ≠ 3.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình của mẫu số liệu $x_1,x_2,\dots ,x_n$ là trung bình cộng của $n$ giá trị, được tính bằng tổng các giá trị chia cho số giá trị: $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}$. Các phương án còn lại sai: B là tổng (không chia), C chỉ lấy trung bình của hai giá trị đầu và cuối, D là trung bình nhân. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $n=2k+1$ lẻ, trung vị là giá trị đứng chính giữa mẫu sau khi sắp thứ tự, tức giá trị thứ $k+1$: $M_e=x_{k+1}$. Ví dụ $n=5$ ($k=2$) thì $M_e=x_3=x_{k+1}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mốt của mẫu số liệu là giá trị có tần số xuất hiện lớn nhất trong mẫu số liệu. Do đó đáp án là C. (A sai vì là xuất hiện ít nhất; B là số trung bình; D là trung vị.)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, giá trị $x$ là ngoại lệ nếu $x<Q_1-1,5{\Delta }_Q$ hoặc $x>Q_3+1,5{\Delta }_Q$ với ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$ là khoảng tứ phân vị. Vậy đáp án A.