Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Trung vị mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+24+2=56$, nên trung vị là giá trị thứ $28$. Tần số tích lũy: $3;15;30;54;56$. Vì $15<28\le 30$ nên trung vị thuộc lớp $[15,5;18,5)$ với $n_1=15$, $n_2=15$, $c=3$. Do đó $Me=15,5+\frac{28-15}{15}\cdot 3=15,5+2,6=18,1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số viên pin $n=10+20+35+15+5=85$. Trung vị là giá trị ở vị trí thứ $42,5$. Tần số tích lũy: $10$; $30$; $65$; nên trung vị thuộc nhóm $[1,0;1,05)$ với $n_1=10$, $n_2=30$, $n_3=35$, $c=0,05$. Khi đó $Me=1,0+\frac{42,5-30}{35}\cdot 0,05=1,0+\frac{12,5}{35}\cdot 0,05\approx 1,0179\approx 1,02$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=5+9+13+10+6=43$. Trung vị là giá trị thứ $\frac{43+1}{2}=22$, thuộc nhóm $[40;60)$ (vì $5+9=14<22\le 27$). Áp dụng công thức trung vị mẫu ghép nhóm: $Me=40+\frac{\frac{43}{2}-14}{13}\cdot 20=40+\frac{7,5}{13}\cdot 20\approx 51,54$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh: $2+3+3+14+23+3+2=50$, nên d) đúng. Số học sinh bị điểm dưới 5 là $2+3=5$ (không phải 8), nên a) sai. Trung vị: $n=50$, vị trí $25$; tích lũy đến nhóm $[6;7)$ là $22$, nhóm chứa trung vị là $[7;8)$: $Me=7+\frac{25-22}{23}\cdot 1=7+\frac{3}{23}\approx 7,13\ne 7,1$, nên b) sai. Nhóm $[7;8)$ có 23 học sinh, chiếm $\frac{23}{50}=46\%<50\%$, không quá nửa, nên c) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số học sinh bị điểm dưới 5 là $2+3=5$, không phải 8.
b) (AI giải đề cho tôi)
$Me=7+\frac{25-22}{23}\approx 7,13\ne 7,1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nhóm $[7;8)$ có 23 học sinh, chiếm $46\%$ số học sinh, không quá nửa.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng $2+3+3+14+23+3+2=50$ học sinh.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=3+12+15+24+2=56$, nên trung vị là giá trị thứ $28$ (và $29$). Tần số tích lũy: $3;15;30;54;56$. Vì $15<28\le 30$ nên trung vị thuộc nhóm $[15,5;18,5)$ với $N=15$, $C=15,5$, $h=3$. Khi đó $M_e=C+\frac{\frac{n}{2}-N}{f}\cdot h=15,5+\frac{28-15}{15}\cdot 3=15,5+2,6=18,1$ (phút). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=9+15+25+30+21=100$, nên trung vị là giá trị thứ 50. Tần số tích lũy: nhóm $[40;45)$ là 9, $[45;50)$ là 24, $[50;55)$ là 49, $[55;60)$ là 79. Vì $49<50\le 79$ nên trung vị thuộc nhóm $[55;60)$ với $x_0=55$, $n_1=49$, $n_{med}=30$, $h=5$. Do đó $$Me=55+\left(\frac{50-49}{30}\right)\cdot 5=55+\frac{1}{6}\approx 55,17.$$

Ta có bảng số liệu sau:



Ta có: $\frac{n}{2}=\frac{100}{2}=50$. Nhóm $[60;90)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 50. Trung vị của mẫu số liệu là: $$M_e=60+\frac{50-36}{36}.30=\frac{215}{3}.$$ Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng $\frac{215}{3}$.

Ta có bảng số liệu sau:



Ta có: $\frac{n}{2}=\frac{100}{2}=50$. Nhóm $[60;90)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 50. Trung vị của mẫu số liệu là: $$M_e=60+\frac{50-35}{28}\cdot 30=\frac{1065}{14}.$$ Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng $\frac{1065}{14}$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=41$, trung vị là giá trị thứ $\frac{41+1}{2}=21$. Tần số tích lũy: nhóm $[6,5;7)$ có 9, nhóm $[7;7,5)$ có 19, nhóm $[7,5;8)$ có 34. Vậy trung vị thuộc nhóm $[7,5;8)$ với $N=21$, $C=19$, $n_3=15$, $h=0,5$. Suy ra $Me=7,5+\frac{21-19}{15}\cdot 0,5=7,5+\frac{1}{15}\approx 7,5667\approx 7,6$ (m). Lưu ý: nếu dùng $N=20,5$ thì $Me=7,55$, nhưng theo công thức SGK với $N=\frac{n+1}{2}=21$ ta được $Me\approx 7,6$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=41$, trung vị là giá trị thứ $\frac{41+1}{2}=21$. Tần số tích lũy: $9;19;34;39;41$. Vì $19<21\le 34$ nên trung vị thuộc lớp $[7,5;8)$ với $x_0=7,5$, $n_0=19$, $n_{Me}=15$, $h=0,5$. Khi đó $$Me=7,5+\left(\frac{20,5-19}{15}\right)\cdot 0,5=7,5+0,05=7,55\approx 7,6.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+24+2=56$. Trung vị là trung bình của giá trị thứ 28 và 29. Tần số tích lũy: 3, 15, 30, 54, 56, nên cả hai giá trị thứ 28 và 29 nằm trong nhóm $[15,5;18,5)$ (nhóm có tần số 15, nhóm trước tích lũy 15). Công thức trung vị nhóm: $Me=15,5+\frac{\frac{56}{2}-15}{15}\cdot 3=15,5+\frac{13}{15}\cdot 3=15,5+2,6=18,1$ (phút).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+24+2=56$, nên trung vị là giá trị thứ $28$. Tần số tích lũy: $3;15;30;54;56$. Vì $15<28\le 30$ nên trung vị thuộc nhóm $[15,5;18,5)$ với $n_m=15$, $C=15$, $h=3$. Do đó $Me=15,5+\frac{28-15}{15}\cdot 3=15,5+\frac{13}{5}=18,1$ (phút).

(AI giải đề cho tôi)
Số trung vị là giá trị chia mẫu số liệu (kể cả mẫu ghép nhóm) thành hai phần bằng nhau, mỗi phần chứa $50\%$ số giá trị. Số trung bình không có tính chất này, tứ phân vị chia thành bốn phần $25\%$, 'Một' không phải số đặc trưng. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 101, câu 4 là B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$, nên trung vị là giá trị thứ $10$. Tần số tích lũy: $4;6;9;15;...$ nên nhóm chứa trung vị là $[100;110)$ với $n_4=6$, $C=9$, $h=10$. Trung vị: $Me=100+\frac{10-9}{6}\cdot 10=100+\frac{10}{6}\approx 101,67\approx 102$ (mmHg). Kết quả trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=5+9+12+10+6=42$. Vì $n$ chẵn, trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ $21$ và $22$. Tần số tích lũy: nhóm $[0;20)$ có $5$; nhóm $[20;40)$ có $5+9=14$; nhóm $[40;60)$ có $14+12=26\ge 22$. Vậy giá trị thứ $21$ và $22$ đều nằm trong nhóm $[40;60)$, tức nhóm chứa trung vị là $[40;60)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$, nên trung vị là trung bình của giá trị thứ 10 và 11. Tần số tích lũy: nhóm $[5;7)$ có 2; nhóm $[7;9)$ có $2+7=9$; nhóm $[9;11)$ có $9+7=16$. Vì giá trị thứ 10 và 11 nằm trong nhóm có tần số tích lũy vượt quá 10, tức nhóm $[9;11)$, nên nhóm chứa trung vị là $[9;11)$. Khớp với đáp án B của đề.

Lời giải: Gọi $x_1;x_2;x_3;...;x_{35}$ là cân nặng của 35 học sinh xếp theo thứ tự không giảm.

Suy ra trung vị của mẫu số liệu $x_1;x_2;x_3;...;x_{35}$ là $x_{18}$ và $x_{18}\in [50;55)$. (0,25 điểm)

Do đó: $p=3,a_3=50,a_4=55,m_3=11,m_1+m_2=12$.

Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
$$M_e=a_3+\frac{\frac{n}{2}-(m_1+m_2)}{m_3}\cdot (a_4-a_3)=50+\frac{\frac{35}{2}-12}{11}\cdot (55-50)=52,5$$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=5+9+12+10+6=42$. Vì $n$ chẵn, trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ $21$ và $22$. Xét tần số tích lũy: nhóm $[0;20)$ có $5$; nhóm $[20;40)$ có $5+9=14$; nhóm $[40;60)$ có $14+12=26\ge 22$. Vậy giá trị thứ $21$ và $22$ đều nằm trong nhóm $[40;60)$, tức nhóm chứa trung vị là $[40;60)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=5+9+12+10+6=42$, nên trung vị là giá trị thứ $21$ (và $22$). Tần số tích lũy: nhóm $[0;20)$ có 5, nhóm $[20;40)$ có $5+9=14$, nhóm $[40;60)$ có $14+12=26$. Vì $14<21\le 26$, giá trị thứ 21 nằm trong nhóm $[40;60)$. Vậy nhóm chứa trung vị là $[40;60)$, khớp với đáp án D của đề.

Lời giải: Gọi $x_1;x_2;x_3;...;x_{35}$ là cân nặng của 35 học sinh xếp theo thứ tự không giảm.

Suy ra trung vị của mẫu số liệu $x_1;x_2;x_3;...;x_{35}$ là $x_{18}$ và $x_{18}\in [50;55)$. (0,25 điểm)

Do đó: $p=3,a_3=50,a_4=55,m_3=11,m_1+m_2=12$.

Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
$$M_e=a_3+\frac{\frac{n}{2}-(m_1+m_2)}{m_3}\cdot (a_4-a_3)=50+\frac{\frac{35}{2}-12}{11}\cdot (55-50)=52,5$$ (0,25 điểm)