Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Trung vị mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 11)

Trả lời: 3,03. Cỡ mẫu là $n=45+34+23+18+5=125$. $$Q_2=2+\left[\frac{\frac{125}{2}-45}{34}\right].2\approx 3,03.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=25$, trung vị là giá trị thứ $12,5$. Tần số tích lũy: nhóm $[0;10)$ có 4, $[10;20)$ có 10, $[20;30)$ có 17. Vậy nhóm chứa trung vị là $[20;30)$. Ta có $$M_e=20+\frac{12,5-10}{7}\cdot 10=20+\frac{25}{7}=\frac{165}{7}.$$ Suy ra $a=165$, $b=7$ (phân số tối giản), nên $a+5b=165+35=200$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=25$, trung vị là giá trị thứ 12,5. Tần số tích lũy: 4, 10, 17, ... nên nhóm chứa trung vị là $[20;30)$ với $n_3=7$, $C=10$. Khi đó $M_e=20+\frac{12,5-10}{7}\cdot 10=20+\frac{25}{7}=\frac{165}{7}$. Vậy $a=165$, $b=7$, $a+5b=165+35=200$.

(AI giải đề cho tôi)
n=25, trung vị là quan sát thứ 12,5. Tần số tích lũy: 4, 10, 17 nên trung vị thuộc lớp [20;30). $M_e=20+\frac{12,5-10}{7}\cdot 10=20+\frac{25}{7}=\frac{165}{7}$. Vậy $a=165,b=7$, $a+5b=165+35=200$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=2+3+12+15+24=56$. Vì $n$ chẵn, trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ $28$ và $29$. Xét tần số tích lũy: nhóm $[6,5;9,5)$ có $2$; nhóm $[9,5;12,5)$ có $5$; nhóm $[12,5;15,5)$ có $17$; nhóm $[15,5;18,5)$ có $32$. Vì $17<28,29\le 32$, cả hai giá trị thứ $28$ và $29$ đều thuộc nhóm $[15,5;18,5)$. Vậy nhóm chứa trung vị là $[15,5;18,5)$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: 8; 26; 50; 60. Vì n/2 = 30 và 26 < 30 ≤ 50 nên trung vị thuộc lớp [30;40). Áp dụng công thức trung vị của mẫu số liệu ghép lớp: Me = 30 + (30 - 26)/24 · 10 = 30 + 40/24 ≈ 31,666... ≈ 31,7 (cm). Kết quả trùng với đáp án nguồn 31,7.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=31$, trung vị là giá trị thứ $\frac{31+1}{2}=16$. Tần số tích lũy: nhóm $[2;3,5)$ có 1, nhóm $[3,5;5)$ có 2, nhóm $[5;6,5)$ có 12, nhóm $[6,5;8)$ có 27. Vì $12<16\le 27$ nên giá trị thứ 16 nằm trong nhóm $[6,5;8)$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=12+24+30+20+12+2=100$, nên trung vị là giá trị thứ $\frac{n}{2}=50$.

Tần số tích lũy: $[0;30)$: 12; $[30;60)$: 36; $[60;90)$: 66.

Vì $36<50\le 66$, trung vị thuộc nhóm $[60;90)$ với $n_1=12$, $c=36$, $n_{Me}=30$, $h=30$.

$$Me=60+\frac{50-36}{30}\cdot 30=60+14=74.$$

Kết quả trùng với đáp án 74 trong hướng dẫn chấm (mã đề 101, Phần III Câu 2).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=28$, trung vị là giá trị thứ $14$. Tần số tích lũy: $4;9;16;23;28$. Vì $9<14\le 16$ nên trung vị thuộc nhóm $[53;57)$ có $n_3=7$, $x_3=53$, $h=4$. Khi đó $Me=53+\frac{14-9}{7}\cdot 4=53+\frac{20}{7}\approx 55,86\approx 56$ (kg), khớp với đáp án nguồn 56.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: 7; 21; 31; 41; 50. Vì n=50 nên trung vị nằm tại vị trí thứ 25, thuộc nhóm [155;160) (vì 21 < 25 ≤ 31). Áp dụng công thức trung vị mẫu số liệu ghép nhóm: Me = 155 + (25 - 21)/10 · 5 = 155 + 2 = 157 (cm). Kết quả trùng với đáp án nguồn 157.

(AI giải đề cho tôi)
a) Cỡ mẫu $n=4+6+12+8+6=36$ → Đúng.
b) Vị trí trung vị là phần tử thứ $18$ và $19$; tích lũy: nhóm 1 có 4, nhóm 2 có 10, nhóm 3 có 22, nên phần tử thứ 18, 19 thuộc nhóm $[28;36)$ → Đúng.
c) Giá trị đại diện: $x_1=16,x_2=24,x_3=32,x_4=40,x_5=48$. Số trung bình $\overline{x}=\frac{4\cdot 16+6\cdot 24+12\cdot 32+8\cdot 40+6\cdot 48}{36}=\frac{64+144+384+320+288}{36}=\frac{1200}{36}\approx 33,33\in [28;36)$, không thuộc $[36;44)$ → Sai.
d) Giá trị đại diện nhóm thứ 3 là $x_3=\frac{28+36}{2}=32\ne 28$ → Sai.
Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 0101 (1a Đ, 1b Đ, 1c S, 1d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$n=4+6+12+8+6=36$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung vị là phần tử thứ 18, 19; tích lũy đến nhóm $[28;36)$ là $4+6+12=22\ge 19$, nên trung vị thuộc nhóm này.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{x}=\frac{1200}{36}\approx 33,33$ thuộc nhóm $[28;36)$, không thuộc $[36;44)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x_3=\frac{28+36}{2}=32\ne 28$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=4+8+12+10+6=40$, nên trung vị là giá trị thứ $20$ và $21$. Tần số tích lũy: nhóm $[0;20)$ có $4$; nhóm $[20;40)$ có $4+8=12$; nhóm $[40;60)$ có $12+12=24\ge 20$. Vậy trung vị thuộc nhóm $[40;60)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $n=4+8+10+6+2=30$, nên trung vị là giá trị thứ 15 (và 16). Tần số tích lũy: nhóm $[12;14)$ là 4, nhóm $[14;16)$ là 12, nhóm $[16;18)$ là 22. Vì $12<15\le 22$ nên trung vị thuộc nhóm $[16;18)$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tứ phân vị thứ hai chính là trung vị. Với $N=40$, ta xét vị trí $N/2=20$. Tần số tích lũy: $2;7;22;30;39;40$. Vì $7<20\le 22$ nên trung vị thuộc nhóm $[20;25)$ với nhóm trước có tần số tích lũy $7$, tần số nhóm là $15$, độ dài nhóm $5$. Do đó: $Me=20+(20-7)\cdot \frac{5}{15}=20+\frac{65}{15}=20+\frac{13}{3}=\frac{73}{3}$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

a) Sai. Cỡ mẫu là $n=2+6+12+4+1=25$.
b) Đúng. Trung vị của mẫu số liệu $x_1;\dots ;x_{25}$ là $x_{13}\in [160;165)$.
c) Sai. Tần số của nhóm chứa trung vị là $n_m=12$.
d) Đúng. $M_e=160+\frac{\frac{25}{2}-8}{12}.(165-160)=161,875$.
a) Sai. Cỡ mẫu là $n=2+6+12+4+1=25$.
b) Đúng. Gọi $x_1;x_2;x_3;\dots ;x_{25}$ là cân nặng của 25 quả táo xếp theo thứ tự không giảm. Do $x_1,x_2\in [150;155)$; $x_3,\dots ,x_8\in [155;160)$; $x_9,\dots ,x_{20}\in [160;165)$ nên trung vị của mẫu số liệu $x_1;x_2;x_3;\dots ;x_{25}$ là $x_{13}\in [160;165)$.
c) Sai. Ta có: $n=25$. Tần số của nhóm chứa trung vị là $n_m=12$.
d) Đúng. $C=2+6=8$, $u_m=160$, $u_{m+1}=165$. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $$M_e=u_m+\frac{\frac{n}{2}-C}{n_m}.(u_{m+1}-u_m)=160+\frac{\frac{25}{2}-8}{12}.(165-160)=161,875.$$

Trung vị là $M_e=\frac{x_{60}+x_{61}}{2}$ nên nhóm chứa trung vị là nhóm $[40;60)$, chọn ngẫu nhiên một học sinh từ 120 học sinh trên, xác suất chọn được học sinh có điểm thuộc nhóm chứa trung vị là $\frac{15}{120}=\frac{1}{8}$. (Nguồn in "nhọn ngẫu nhiên" - lỗi đánh máy của đề gốc, giữ nguyên theo nguồn.)

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: $[0;20)$: 25; $[20;40)$: $25+34=59$; $[40;60)$: $59+15=74$. Vì $n=120$, trung vị là giá trị thứ 60 (và 61), thuộc nhóm $[40;60)$ vì $59<60\le 74$. Xác suất chọn được học sinh thuộc nhóm này là $\frac{15}{120}=\frac{1}{8}$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 1201, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+3+12+15+24+2+2=60$, nên trung vị là giá trị thứ 30. Cộng dồn tần số: 2, 5, 17, 32 → giá trị thứ 30 thuộc nhóm $[15,5;18,5)$ (nhóm có tần số 15, biên độ 3). Áp dụng công thức trung vị mẫu ghép nhóm: $Me=15,5+\frac{30-17}{15}\cdot 3=15,5+2,6=18,1$ (phút). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$, trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 10 và thứ 11. Tần số tích lũy: nhóm $[5;7)$ có 2, nhóm $[7;9)$ có $2+7=9$, nhóm $[9;11)$ có $9+7=16$. Vì $9<10,11\le 16$ nên cả giá trị thứ 10 và thứ 11 đều thuộc nhóm $[9;11)$, do đó trung vị thuộc nhóm $[9;11)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: 6; 15; 30; 34; 35 với $n=35$. Trung vị là giá trị thứ $\frac{35+1}{2}=18$, thuộc nhóm $[7,5;8)$ vì $15<18\le 30$. Áp dụng công thức trung vị mẫu số liệu ghép nhóm: $$Me=7,5+\frac{\frac{35}{2}-15}{15}\cdot (8-7,5)=7,5+\frac{2,5}{15}\cdot 0,5=7,5+\frac{1}{12}\approx 7,5833\approx 7,58.$$ Kết quả khớp đáp án nguồn 7,58.