Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ trên cùng một đường thẳng, ta xét hướng từng cặp vectơ: $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng (một cái hướng về $A$, một cái hướng về $C$). $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CB}$ ngược hướng. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng vì đều hướng từ $A$ về phía $C$ (cùng chiều $A\to B\to C$). $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CB}$ ngược hướng. Vậy cặp vectơ cùng hướng là $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{MB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ (loại A), còn $\overrightarrow{MA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$ (đúng). Tương tự $N$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{AN}$ cùng hướng $\overrightarrow{AC}$ (loại D). Với $MN$ là đường trung bình của tam giác, $\overrightarrow{NM}$ cùng hướng với $\overrightarrow{CB}$ (loại C). Vậy cặp vec-tơ ngược hướng là $\overrightarrow{MA},\overrightarrow{AB}$, khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với ba điểm $M,N,P$ tùy ý:
- A: $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}$ không thể rút gọn thành $\overrightarrow{MP}$ (hai vectơ không cùng điểm cuối để áp dụng quy tắc ba điểm), nên sai.
- B: $\overrightarrow{PN}-\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{MN}$ (quy tắc ba điểm), đúng.
- C: $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{PN}$, không phải $\overrightarrow{NP}$, nên sai.
- D: $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}$ không cùng điểm chung để cộng theo quy tắc ba điểm, không bằng $\overrightarrow{MN}$, nên sai.
Vậy mệnh đề đúng là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Độ lớn véc tơ $\vec{u}=(x;y)$ là $|\vec{u}|=\sqrt{x^2+y^2}$, không phải $\sqrt{x^2-y^2}$, nên khẳng định A sai. Các khẳng định B, C, D đều đúng theo định nghĩa tích vô hướng trong mặt phẳng tọa độ. Đáp án khớp với bảng đáp án (Mã đề 1002, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$ (quy tắc ba điểm, vì $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$). Vậy mệnh đề B đúng. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BC}$; C sai vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{AB}$ (đúng phải là $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$); D sai vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ không bằng $\overrightarrow{AC}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $N$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{AN}$ và $\overrightarrow{CA}$ cùng nằm trên đường thẳng $AC$: $\overrightarrow{AN}$ hướng từ $A$ về phía $C$, còn $\overrightarrow{CA}$ hướng từ $C$ về $A$, do đó chúng ngược hướng. Các cặp khác: $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng (đường trung bình); $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{CN}$ không cùng phương; $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng vì $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1001: A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7: Xét từng khẳng định. A đúng: $|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$. B đúng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$. C đúng: $\vec{a}\perp \vec{b}\iff \vec{a}\cdot \vec{b}=0\iff x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$. D sai vì công thức đúng là $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$, còn đáp án D viết $x_1{x}_2-y_1{y}_2$. Vậy khẳng định sai là D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, suy ra $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}$, tức hai vectơ $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng. Các cặp khác: $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OC}$ cùng hướng ra hai phía nhưng không cùng nằm trên một đường thẳng (không ngược hướng theo định nghĩa); $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ cùng hướng; $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OS}$ không cùng phương. Đáp án khớp với mã đề 0101: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ có $AB$ song song và cùng chiều với $DC$ (vì $DC$ đi từ $D$ đến $C$, cùng hướng với $AB$). Do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Các phương án khác sai: $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi) Xét 7 vecto $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d},\vec{e},\vec{f},\vec{g}$ trong hình lưới ô vuông. Hai vecto cùng hướng khi chúng cùng phương và cùng chiều (không cần cùng độ dài). Quan sát hướng của từng vecto trên hình: hầu hết các vecto có phương khác nhau hoặc ngược chiều nhau. Chỉ có đúng 2 cặp vecto thỏa mãn điều kiện cùng phương và cùng chiều; các cặp còn lại hoặc không cùng phương, hoặc cùng phương nhưng ngược hướng. Vậy hình có 2 cặp vecto cùng hướng, khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ (vì $AD\parallel BC$, $AD=BC$, cùng hướng). Do đó theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Vậy phát biểu đúng là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, khớp đáp án C trong bảng đáp án.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M là trung điểm BC, khi đó $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ và $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}$ (vì $GA=\frac{2}{3}AM$). Suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GM}=\vec{0}$. Vậy phát biểu đúng là $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, khớp đáp án nguồn (câu 13: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto khác $\vec{0}$: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|\cos \left(\vec{a},\vec{b}\right)$. Do đó phát biểu đúng là A, khớp với đáp án nguồn (Câu 14: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=10\cdot 12\cdot \cos 120^{\circ }=120\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-60$. Kết quả trùng với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ có điểm đầu $M$, điểm cuối $N$ được kí hiệu là $\overline{MN}$ (mũi tên hướng từ $M$ đến $N$). Phương án A chỉ là đoạn thẳng $MN$, B là $\overline{NM}$ (điểm đầu $N$, điểm cuối $M$), C là độ dài vectơ $\overline{MN}$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 102: câu 5 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thoi $ABCD$, các cạnh đối song song và bằng nhau: $AB\parallel CD$, $AD\parallel BC$ với $AB=CD$, $AD=BC$. Xét từng khẳng định:
- A: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}$ sai vì hai vectơ này cùng gốc $B$ nhưng có hướng khác nhau (hình thoi không phải có góc $B$ bằng $0$).
- B: $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$ đúng vì $DA\parallel CB$, cùng hướng (cả hai cùng hướng theo cạnh song song $DA$ và $CB$) và $DA=CB$ (cạnh hình thoi bằng nhau).
- C: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ sai vì $AB\parallel CD$ nhưng hai vectơ ngược hướng ($\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ mới đúng).
- D: $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}$ sai vì hai vectơ cùng gốc $C$ nhưng hướng khác nhau.
Vậy khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định với quy tắc ba điểm: A) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ đúng. B) $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$ đúng. C) $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$ đúng. D) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{CB}$, nên khẳng định D sai. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{c}=2\vec{a}-5\vec{b}=(2\cdot 1-5\cdot 3;2\cdot 2-5\cdot 8)=(2-15;4-40)=(-13;-36)$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, vectơ có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$ (mũi tên hướng từ $A$ đến $B$). Phương án A chỉ là đoạn thẳng $AB$, C là độ dài vectơ, D là vectơ ngược chiều. Đáp án khớp với mã đề 101: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 3 đỉnh $A$, $B$, $C$, chọn điểm đầu và điểm cuối khác nhau: có $3\times 2=6$ vectơ: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{CA}$, tất cả đều khác vectơ-không vì hai đỉnh của tam giác phân biệt. Vậy có $6$ vectơ, khớp đáp án B.