Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì tam giác vuông tại $A$ nên $AM=\frac{BC}{2}=6$. Theo tính chất trọng tâm, $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ và $GM=\frac{1}{3}AM=2$. Vậy $\left|\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=2\cdot GM=4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Ta có $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên trung tuyến $AM=\frac{BC}{2}=6$. Trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ với $GM=\frac{1}{3}AM=\frac{1}{3}\cdot 6=2$. Vậy $\left|\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|2\overrightarrow{GM}\right|=2\cdot GM=2\cdot 2=4$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình bình hành $ABCD$ (thứ tự đỉnh). Kiểm tra từng đẳng thức:
- A: $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}$ (quy tắc ba điểm), chứ không phải $\overrightarrow{BD}$. Vậy đẳng thức $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$ là SAI.
- B: $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}$, đúng.
- C: Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$, do đó $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}$, đúng.
- D: Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, đúng.
Vậy đẳng thức sai là phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{OB}$, nên $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì theo quy tắc trung điểm $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$. Vì $O$ là tâm hình vuông nên $OM\perp AB$ và $OM=\frac{a}{2}$, do đó $\left|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{BO}\right|=2\cdot \frac{a}{2}=a$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức bằng cách biểu diễn vectơ qua hiệu của các vectơ chỉ điểm (hoặc tọa độ).

Phương án A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}=(\vec{B}-\vec{A})+(\vec{D}-\vec{C})+(\vec{F}-\vec{E})$, còn $\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{BC}=(\vec{F}-\vec{A})+(\vec{D}-\vec{E})+(\vec{C}-\vec{B})$. Hiệu hai vế bằng $2(\vec{B}-\vec{C})\ne \vec{0}$ (vì $B\ne C$), nên đẳng thức sai.

Phương án B: $\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CB}=(\vec{F}-\vec{A})+(\vec{D}-\vec{E})+(\vec{B}-\vec{C})$, trùng đúng với vế trái $\vec{B}+\vec{D}+\vec{F}-\vec{A}-\vec{C}-\vec{E}$, nên đúng.

Phương án C: hai vế đều bằng $\vec{E}+\vec{F}+\vec{C}-\vec{A}-\vec{B}-\vec{D}$, nên đúng.

Phương án D: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{EF}=(\vec{C}-\vec{A})+(\vec{D}-\vec{B})+(\vec{F}-\vec{E})$ và $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{EC}=(\vec{D}-\vec{A})+(\vec{F}-\vec{B})+(\vec{C}-\vec{E})$; hiệu hai vế bằng $(\vec{E}-\vec{A})+(\vec{A}-\vec{B})+(\vec{B}-\vec{E})=\vec{0}$, nên đúng.

Vậy đẳng thức sai là phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 32: Hình bình hành ABCD, I là giao hai đường chéo nên I là trung điểm AC và BD.
a) I là trung điểm AC nên IA + IC = 0 → Đúng.
b) Quy tắc hình bình hành: AB + AD = AC → Đúng.
c) AB song song, cùng hướng với DC (vì ABCD là hình bình hành) nên AB = DC → Đúng.
d) AC và BD là hai đường chéo khác hướng, không thể bằng nhau (chỉ bằng nhau khi hình bình hành suy biến) → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
I là giao hai đường chéo nên là trung điểm AC, do đó IA + IC = 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành, AB + AD = AC.
c) (AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành nên AB cùng hướng, bằng độ dài với DC, tức AB = DC.
d) (AI giải đề cho tôi)
AC và BD là hai đường chéo khác hướng của hình bình hành nên AC ≠ BD.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ (O là trung điểm hai đường chéo).
a) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$ (do $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$). Vậy $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DA}$: ĐÚNG.
b) Vì $O$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$, do đó $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AO}\ne \overrightarrow{BO}$: SAI.
c) $\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$. Mặt khác trong hình bình hành $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AB}$: SAI.
d) Vì $O$ là trung điểm $BD$ nên $\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD}$, do đó $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{BD}$: SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$ vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ trong hình bình hành.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}+2\overrightarrow{AO}=3\overrightarrow{AO}\ne \overrightarrow{BO}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AB}$, còn $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AB}$, nên hai véc tơ khác nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{BD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng quy tắc ba điểm và tính chất hình bình hành.

a) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{RJ}$. Đúng.

b) $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{BQ}$, trong khi $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{IQ}$. Vậy $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{QB}\ne \overrightarrow{IQ}$. Sai.

c) $\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{CS}$, trong khi $\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}=\overrightarrow{PS}$. Vậy $\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{SC}\ne \overrightarrow{PS}$. Sai.

d) Chọn $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Vì $ABIJ$, $BCPQ$, $CARS$ là các hình bình hành nên tồn tại các vectơ $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ sao cho $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{BI}=\vec{v}$, $\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{CP}=\vec{w}$, $\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{CS}=\vec{u}$. Khi đó:
- $\overrightarrow{RJ}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{CS}+\overrightarrow{BI}=\vec{u}+\vec{v}$... tính trực tiếp: $\overrightarrow{RJ}=\vec{v}-\vec{u}$ (vì $\overrightarrow{AR}=\vec{u}$ nên $\overrightarrow{RA}=-\vec{u}$, cộng $\overrightarrow{AJ}=\vec{v}$).
- $\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}=-\vec{v}+\vec{w}=\vec{w}-\vec{v}$.
- $\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}=-\vec{w}+\vec{u}=\vec{u}-\vec{w}$.

Cộng lại: $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=(\vec{v}-\vec{u})+(\vec{w}-\vec{v})+(\vec{u}-\vec{w})=\vec{0}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{RJ}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{BQ}\ne \overrightarrow{IQ}$; đúng phải là $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{IQ}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{CS}\ne \overrightarrow{PS}$; đúng phải là $\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}=\overrightarrow{PS}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $ABIJ,BCPQ,CARS$ là hình bình hành, đặt $\overrightarrow{AJ}=\vec{v},\overrightarrow{AR}=\vec{u},\overrightarrow{BQ}=\vec{w}$ thì $\overrightarrow{RJ}=\vec{v}-\vec{u}$, $\overrightarrow{IQ}=\vec{w}-\vec{v}$, $\overrightarrow{PS}=\vec{u}-\vec{w}$, nên tổng bằng $\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chuẩn tọa độ: A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a).
a) Theo quy tắc hình bình hành: AD + AB = AC. Đúng.
b) E đối xứng với B qua C nên C là trung điểm BE, E = 2C − B = (a, 2a). Khi đó AD = (0,a), EC = C − E = (0,−a), tức AD ∥ EC. Còn AE = (a,2a) không song song với DC = (a,0), nên ADEC chỉ có một cặp cạnh đối song song, do đó ADEC là hình thang. Đúng.
c) |AD + AB| = |AC| = a√2 (đường chéo hình vuông cạnh a). Đúng.
d) AD + AC = (a, 2a), độ dài = √(a² + 4a²) = a√5 ≠ a√3. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành: AD + AB = AC.
b) (AI giải đề cho tôi)
E đối xứng với B qua C nên E = (a, 2a). AD = (0,a) ∥ EC = (0,−a); còn AE = (a,2a) không song song với DC = (a,0), nên ADEC chỉ có một cặp cạnh đối song song, tức là hình thang.
c) (AI giải đề cho tôi)
AD + AB = AC nên |AD + AB| = |AC| = a√2.
d) (AI giải đề cho tôi)
AD + AC = (a, 2a), độ dài = a√5 ≠ a√3.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 37: a) Theo quy tắc ba điểm, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$, nên khẳng định a) SAI. b) $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$, đúng. c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}⟺\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}⟺\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}$, luôn đúng. d) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$, còn $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$; hiệu hai vế bằng $(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CB}\ne \vec{0}$ nói chung, nên d) SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đẳng thức tương đương $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}$, luôn đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu hai vế bằng $2\overrightarrow{CB}\ne \vec{0}$ nói chung.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ (O là trung điểm hai đường chéo AC, BD).
a) Hai vecto đối nhau: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}$. Đúng.
b) Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}$. Đúng.
c) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ (tính chất hình bình hành), nên vế trái $=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}\ne \overrightarrow{CB}$. Sai.
d) Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A=\vec{0}$, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, thì $C=\vec{b}+\vec{d}$, $O=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$. Khi đó $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}=\frac{\vec{b}-\vec{d}}{2}-\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}=-\vec{d}$; $\overrightarrow{CA}=-(\vec{b}+\vec{d})$. Vế trái $=-\vec{d}+\vec{b}+\vec{d}=\vec{b}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Đúng.
Vậy các khẳng định đúng là a), b), d); khẳng định c) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{AB}$ là hai vecto đối nhau nên tổng bằng $\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm với A nằm giữa O và C: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, nên vế trái $=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}\ne \overrightarrow{CB}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A=\vec{0},\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d}$: $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}=-\vec{d}$, $\overrightarrow{CA}=-(\vec{b}+\vec{d})$, nên vế trái $=\vec{b}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn gốc $A$, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$.

a) Theo quy tắc ba điểm, với mọi bộ ba điểm $R,A,J$ ta luôn có $\overrightarrow{RJ}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}$. Đúng.

b) Quy tắc ba điểm cho $\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}$, còn $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{BQ}\ne \overrightarrow{IQ}$ nói chung. Sai.

c) Quy tắc ba điểm cho $\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}$, còn $\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{CS}\ne \overrightarrow{PS}$ nói chung. Sai.

d) Vì $ABIJ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{BI}=\vec{u}$, suy ra $\vec{J}=\vec{u}$, $\vec{I}=\vec{b}+\vec{u}$. Vì $BCPQ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{CP}=\vec{v}$, suy ra $\vec{Q}=\vec{b}+\vec{v}$, $\vec{P}=\vec{c}+\vec{v}$. Vì $CARS$ là hình bình hành (theo thứ tự $C,A,R,S$) nên $\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{CS}$; đặt $\overrightarrow{AS}=\vec{w}$ thì $\vec{S}=\vec{w}$ và $\vec{R}=\vec{w}-\vec{c}$. Khi đó:
$\overrightarrow{RJ}=\vec{J}-\vec{R}=\vec{u}-\vec{w}+\vec{c}$; $\overrightarrow{IQ}=\vec{Q}-\vec{I}=\vec{v}-\vec{u}$; $\overrightarrow{PS}=\vec{S}-\vec{P}=\vec{w}-\vec{c}-\vec{v}$.
Cộng lại: $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=(\vec{u}-\vec{w}+\vec{c})+(\vec{v}-\vec{u})+(\vec{w}-\vec{c}-\vec{v})=\vec{0}$. Đúng.

Kết luận: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
a) Đúng. Theo quy tắc ba điểm (điểm $A$ nằm giữa $R$ và $J$ trên đường đi), với mọi bộ ba điểm ta luôn có $\overrightarrow{RJ}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}$.
b) Sai. Quy tắc ba điểm cho $\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}$. Mặt khác $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{BQ}\ne \overrightarrow{IQ}$ nói chung.
c) Sai. Quy tắc ba điểm cho $\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}$. Mặt khác $\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{CS}\ne \overrightarrow{PS}$ nói chung.
d) Đúng. Chọn gốc $A$, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Vì $ABIJ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{BI}=\vec{u}$, suy ra $\vec{J}=\vec{u}$, $\vec{I}=\vec{b}+\vec{u}$. Vì $BCPQ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{CP}=\vec{v}$, suy ra $\vec{Q}=\vec{b}+\vec{v}$, $\vec{P}=\vec{c}+\vec{v}$. Vì $CARS$ là hình bình hành (tứ giác $C,A,R,S$ theo thứ tự) nên $\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{CS}$; đặt $\overrightarrow{AS}=\vec{w}$ thì $\vec{S}=\vec{w}$ và $\vec{R}=\vec{S}-\vec{c}=\vec{w}-\vec{c}$. Khi đó:
- $\overrightarrow{RJ}=\vec{J}-\vec{R}=\vec{u}-\vec{w}+\vec{c}$;
- $\overrightarrow{IQ}=\vec{Q}-\vec{I}=\vec{v}-\vec{u}$;
- $\overrightarrow{PS}=\vec{S}-\vec{P}=\vec{w}-\vec{c}-\vec{v}$.
Cộng lại: $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=(\vec{u}-\vec{w}+\vec{c})+(\vec{v}-\vec{u})+(\vec{w}-\vec{c}-\vec{v})=\vec{0}$.

Đáp số: 173.

Đáp số: 36,4.

Đáp số: 4,47.

Đáp số: 11,3.

Đáp số: 2,24.

Đáp số: 6,18.

Đáp số: 139.

Đáp số: 7,07.