Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vật ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$ và $F_3=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$.
Ta có $\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=F_1{F}_2\cos 120^{\circ }=100\cdot 100\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-5000$.
Do đó:
$$F_3^2=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=F_1^2+F_2^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=10000+10000-10000=10000.$$
Vậy $F_3=100N$. (Nhận xét: vì hai lực bằng nhau và góc giữa chúng $120^{\circ }$, tổng $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ có độ lớn đúng bằng $100N$, hướng đối diện với $\overrightarrow{F_3}$ như trong hình.)

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình lưới ô vuông, vecto $\overrightarrow{AB}$ đi từ $A$ sang $B$ với độ dài 2 đơn vị theo chiều ngang sang phải, tức $\overrightarrow{AB}=2\vec{i}$. Vecto $\overrightarrow{CD}$ đi từ $C$ sang $D$ với độ dài 6 đơn vị theo chiều ngang sang trái, tức $\overrightarrow{CD}=-6\vec{i}$. Suy ra $\overrightarrow{CD}=-3(2\vec{i})=-3\overrightarrow{AB}$. Vậy khẳng định đúng là $\overrightarrow{CD}=-3\overrightarrow{AB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP}$ suy ra $\overrightarrow{MP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$. Vậy $\overrightarrow{MP}$ ngược hướng với $\overrightarrow{MN}$ và $MP=\frac{1}{3}MN$, tức điểm $P$ nằm giữa $M$ và $N$, gần $M$ hơn (thứ tự điểm là $M$, $P$, $N$ với $MP=\frac{1}{3}MN$). Hình vẽ đúng là phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ suy ra $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}$, tức $MA=2MB$ và $M,B,A$ thẳng hàng với $B$ nằm giữa $M$ và $A$ (vì hai vecto cùng hướng). Đặt $MB=x$, khi đó $MA=x+AB$. Điều kiện $x+AB=2x$ cho $x=AB$, suy ra $AM=AB+BM=2AB$. Vậy $M$ nằm ngoài đoạn thẳng $AB$ (về phía $B$) sao cho $AM=2AB$. Kiểm tra: $MA=2AB=2MB$ đúng vì $MB=AB$. Các phương án A, B, C đều sai vì $M$ không nằm giữa $A$ và $B$ và $A$ không phải trung điểm $BM$ (vì $BA=AB\ne AM=2AB$). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ có đường cao $AH$ nên $H$ là trung điểm của $BC$, do đó $\left|\overrightarrow{HC}\right|=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AC}\right|$, tức $\left|\overrightarrow{AC}\right|=2\left|\overrightarrow{HC}\right|$. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ có phương khác nhau; B sai vì $AH=\frac{\sqrt{3}}{2}BC=\sqrt{3}HC\ne \frac{\sqrt{3}}{2}HC$; C sai vì $\overrightarrow{HB}$ và $\overrightarrow{HC}$ ngược hướng. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,a)$ (hình vuông cạnh $a$). Khi đó $\overrightarrow{AB}=(a,0)$, $\overrightarrow{AC}=(a,a)$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(2a,a)$. Suy ra $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{4a^2+a^2}=a\sqrt{5}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên cạnh $BC$ với $MB=4MC$ nên $\overrightarrow{MB}=-4\overrightarrow{MC}$, suy ra $\overrightarrow{BM}=\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$. Do đó: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $N$ là trung điểm $BC$, $M$ là trung điểm $AB$. Ta có $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ và $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC})$. Giả sử $\overrightarrow{AB}=\alpha \overrightarrow{AN}+\beta \overrightarrow{CM}$, so sánh hệ số: $\frac{\alpha +\beta }{2}=1$ và $\frac{\alpha -2\beta }{2}=0$, suy ra $\alpha =2\beta$ và $\frac{3\beta }{2}=1\Rightarrow \beta =\frac{2}{3},\alpha =\frac{4}{3}$. Vậy $\overrightarrow{AB}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AN}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CM}$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, giao điểm $O$ của hai đường chéo là trung điểm của cả $AC$ lẫn $BD$.
- Xét A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$. Vì $\overrightarrow{AO}$ cùng phương với $AC$ còn $\overrightarrow{BO}$ cùng phương với $BD$ (hai đường chéo khác phương), nên $\overrightarrow{AC}\ne 2\overrightarrow{BO}$. Mệnh đề A sai.
- Xét B: $O$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$, đúng.
- Xét C: Theo quy tắc hình bình hành tại $C$: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CO}$ (vì $O$ là trung điểm $BD$), đúng.
- Xét D: $O$ là trung điểm $DB$ nên $\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{OB}$, đúng.
Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$. Gọi $I$ là trung điểm $BC$ thì $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$, do đó $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MI}$, tức $I$ cũng là trung điểm của $MA$. Vậy hai đường chéo $MA$ và $BC$ của tứ giác $ABMC$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $ABMC$ là hình bình hành. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$, với $|\overrightarrow{AB}|=a$, $|\overrightarrow{AD}|=BC=2a$. Khi đó ${\left|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}\right|}^2=a^2+4\cdot (2a{)}^2=a^2+16a^2=17a^2$, suy ra $\left|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}\right|=a\sqrt{17}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $N$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MN}$: đúng.
b) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MD})=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})+(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD})=\vec{0}+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$: đúng.
c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD})=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$: đúng.
d) $G$ là trung điểm $MN$ nên $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})$. Lại có $M$ trung điểm $AB$: $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$; $N$ trung điểm $CD$: $\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$. Suy ra $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MN}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MD})=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})+(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD})=\vec{0}+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD})=\vec{0}+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})\right]=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$.

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay A bay hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h nên $|\vec{a}|=600$; máy bay B bay hướng tây nam với tốc độ 800 km/h nên $|\vec{b}|=800$. Hai hướng đông bắc và tây nam đối nhau nên $\vec{a},\vec{b}$ ngược hướng.
a) Đúng: đông bắc và tây nam là hai hướng ngược nhau, nên $\vec{b}$ ngược hướng $\vec{a}$.
b) Sai: $|\vec{a}|=600$ (km/h), $|\vec{b}|=800$ (km/h), đề đảo ngược hai giá trị.
c) Đúng: vì $\vec{b}$ ngược hướng $\vec{a}$ nên $\vec{b}=k\vec{a}$ với $k<0$ và $|k|=\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}=\frac{800}{600}=\frac{4}{3}$, suy ra $\vec{b}=-\frac{4}{3}\vec{a}$.
d) Sai: vì $\vec{a}$ ngược hướng $\vec{b}$ và $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}=\frac{600}{800}=\frac{3}{4}$ nên $\vec{a}=-\frac{3}{4}\vec{b}$, không phải $\vec{a}=\frac{4}{3}\vec{b}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đông bắc và tây nam là hai hướng đối nhau, nên $\vec{b}$ ngược hướng với $\vec{a}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thực tế $|\vec{a}|=600$ (km/h) và $|\vec{b}|=800$ (km/h), khẳng định đã hoán đổi hai giá trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{b}$ ngược hướng $\vec{a}$ và $\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}=\frac{800}{600}=\frac{4}{3}$ nên $\vec{b}=-\frac{4}{3}\vec{a}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}$ ngược hướng $\vec{b}$ và $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}=\frac{3}{4}$ nên $\vec{a}=-\frac{3}{4}\vec{b}$, không phải $\vec{a}=\frac{4}{3}\vec{b}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19. Đặt $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AC}$.

a) Dựng điểm:
- $M$ trên đoạn $AB$ sao cho $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, tức $M$ nằm giữa $A$ và $B$ với $AM=\frac{1}{3}AB$.
- $N$ sao cho $\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{BC}$: vì $\overrightarrow{BC}=\vec{b}-\vec{a}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ và cùng hướng, nên $N$ nằm trên tia $BC$ với $CN=2BC$, tức $B$ là trung điểm $CN$.

b) Phân tích:
- $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=-\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}$.
- $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\vec{b}+2\overrightarrow{BC}=\vec{b}+2(\vec{b}-\vec{a})=-2\vec{a}+3\vec{b}$.
- $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=(-2\vec{a}+3\vec{b})-\frac{1}{3}\vec{a}=-\frac{7}{3}\vec{a}+3\vec{b}$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=-\left(\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}\right)+2(\vec{b}-\vec{a})=-\frac{7}{3}\vec{a}+3\vec{b}$, khớp kết quả trên.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vecto vận tốc ngược hướng nhau nên $k<0$. Độ lớn: $|k|=\frac{|\overrightarrow{v_2}|}{|\overrightarrow{v_1}|}=\frac{80}{20}=4$. Vậy $k=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vecto cùng phương khi định thức $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$. A: $2\cdot 9-6\cdot 3=0$ cùng phương. B: $0\cdot (-1)-0\cdot 5=0$ cùng phương. C: $(-2)\cdot 2-1\cdot 1=-5\ne 0$ không cùng phương. D: $3\cdot (-8)-(-6)\cdot 4=0$ cùng phương. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $N(x;y)$. Ta có $\overrightarrow{AN}=(x-1;y+2)$, $\overrightarrow{BN}=(x;y-4)$, $\overrightarrow{CN}=(x-3;y-2)$.

Điều kiện $\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{BN}=4\overrightarrow{CN}$ cho ta:
$$\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{BN}=(x-1+2x;y+2+2(y-4))=(3x-1;3y-6)$$
$$4\overrightarrow{CN}=(4x-12;4y-8)$$

Suy ra hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}3x-1=4x-12\\ 3y-6=4y-8\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=11\\ y=2\end{array}$$

Vậy $N(11;2)$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{AN}=(10;4)$, $\overrightarrow{BN}=(11;-2)$, $\overrightarrow{CN}=(8;0)$. Khi đó $\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{BN}=(10+22;4-4)=(32;0)=4(8;0)=4\overrightarrow{CN}$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}^2={\vec{a}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2|\vec{a}||\vec{b}|\cos 30^{\circ }=4+3+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=7+6=13$. Vậy $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\sqrt{13}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên góc giữa hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là $90^{\circ }$, do đó $\sin \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\sin 90^{\circ }=1$. Góc giữa hai vecto $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BA}$ bằng góc tại đỉnh $B$ của tam giác, tức $\hat{B}=30^{\circ }$, nên $\cos \left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy tổng bằng $1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}^2={\vec{a}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2|\vec{a}||\vec{b}|\cos 30^{\circ }=4+3+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=7+6=13$. Vậy $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\sqrt{13}$, chọn đáp án B.