Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp lại các vectơ: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 209, Câu 1: D).

a) Đúng. Vì $VT=VP=\overrightarrow{BD}$. b) Sai. c) Đúng. Vì $\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$. d) Đúng.
a) Lời giải: Đúng. Vì $VT=VP=\overrightarrow{BD}$.
b) Lời giải: Sai.
c) Lời giải: Đúng. Vì $\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
d) Lời giải: Đúng.

Đáp số: 6
Dựng $\overrightarrow{A{B}_1}=2\overrightarrow{AB}\Rightarrow 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A{B}_1}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C{B}_1}$.
Suy ra: $\left|2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{C{B}_1}\right|=C{B}_1=AB\sqrt{2}=6$.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{T_1}+\overrightarrow{T_2}=\overrightarrow{F}$.
Khi diễn viên xiếc đạt trạng thái cân bằng trên dây, ta có:
$$\overrightarrow{T_1}+\overrightarrow{T_2}+\overrightarrow{P}=\vec{0}\iff \overrightarrow{F}=-\overrightarrow{P}$$ và độ lớn $\left|\overrightarrow{F}\right|=\left|-\overrightarrow{P}\right|$ hay $F=P=700N$.
Ta có: góc hợp bởi $\overrightarrow{T_1}$ và $\overrightarrow{T_2}$ bằng $140^0\Rightarrow \widehat{CDA}=180^0-140^0=40^0$.
Dây không giãn nên $\left|\overrightarrow{T_1}\right|=\left|\overrightarrow{T_2}\right|$.
Xét tam giác $ACD$ có
$$F^2=T_1^2+T_2^2-2T_1{T}_2\cos \widehat{CAD}\iff F^2=2T_1^2\left(1-\cos 40^0\right)$$
$\Rightarrow T_1=\sqrt{\frac{F^2}{2\left(1-\cos 40^0\right)}}=\sqrt{\frac{700^2}{2\left(1-\cos 40^0\right)}}\approx 1023N.$

[Hình cần kiểm tra lại: p9_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp lại: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 132: C).

a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. Vì $VT=VP=\overrightarrow{BD}$. d) Đúng. Vì $\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
a) Lời giải: (a) Sai.
b) Lời giải: (b) Đúng.
c) Lời giải: (c) Đúng. Vì $VT=VP=\overrightarrow{BD}$.
d) Lời giải: (d) Đúng. Vì $\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Đáp số: 6
Dựng $\overrightarrow{A{B}_1}=2\overrightarrow{AB}\Rightarrow 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A{B}_1}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C{B}_1}$.
Suy ra: $\left|2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{C{B}_1}\right|=C{B}_1=AB\sqrt{2}=6$.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{T_1}+\overrightarrow{T_2}=\overrightarrow{F}$.
Khi diễn viên xiếc đạt trạng thái cân bằng trên dây, ta có:
$$\overrightarrow{T_1}+\overrightarrow{T_2}+\overrightarrow{P}=\vec{0}\iff \overrightarrow{F}=-\overrightarrow{P}$$ và độ lớn $\left|\overrightarrow{F}\right|=\left|-\overrightarrow{P}\right|$ hay $F=P=700N$.
Ta có: góc hợp bởi $\overrightarrow{T_1}$ và $\overrightarrow{T_2}$ bằng $140^0\Rightarrow \widehat{CDA}=180^0-140^0=40^0$.
Dây không giãn nên $\left|\overrightarrow{T_1}\right|=\left|\overrightarrow{T_2}\right|$.
Xét tam giác $ACD$ có
$$F^2=T_1^2+T_2^2-2T_1{T}_2\cos \widehat{CAD}\iff F^2=2T_1^2\left(1-\cos 40^0\right)$$
$\Rightarrow T_1=\sqrt{\frac{F^2}{2\left(1-\cos 40^0\right)}}=\sqrt{\frac{700^2}{2\left(1-\cos 40^0\right)}}\approx 1023N.$

[Hình cần kiểm tra lại: p9_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (theo hình vẽ: $A,D$ là đỉnh sau dưới, $B,C$ là đỉnh trước dưới, $B^{\prime },C^{\prime }$ là đỉnh trước trên), vecto $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ đi theo cạnh trên trước từ trái sang phải. Ta có $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC\parallel AD$ và cùng hướng (vì $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ cùng chiều nên $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}$; tương tự $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ cùng chiều nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$). Xét các đáp án: $\overrightarrow{AB}$ có phương vuông góc (theo chiều sâu) với $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ nên loại; $\overrightarrow{CB}$ ngược hướng với $\overrightarrow{BC}$ nên loại; $\overrightarrow{DA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AD}$ nên loại. Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}$, khớp đáp án B trong bảng đáp án nguồn (mã đề 2025, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, theo quy tắc hình hộp, một vectơ xuất phát từ một đỉnh bằng tổng ba vectơ cạnh đi từ đỉnh đó.

- A (sai): $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}$, ta có $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{C{A}^{\prime }}$. Mệnh đề này sai.
- B (đúng): $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ theo quy tắc hình hộp với đỉnh $A$.
- C (đúng): $\overrightarrow{D^{\prime }B}=\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }D}$ theo quy tắc hình hộp với đỉnh $D^{\prime }$ (vì $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }D}=\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }B}$... kiểm tra: $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }D}=\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }B}$ do $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }D}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }B}$... chính xác: $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }D}=\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }B}$ không trực tiếp, nhưng theo quy tắc hình hộp đỉnh $D^{\prime }$ với ba cạnh $D^{\prime }{A}^{\prime },D^{\prime }{C}^{\prime },D^{\prime }D$ thì tổng bằng $\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }D}=\overrightarrow{D^{\prime }B}$, đúng).
- D (đúng): $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ theo quy tắc hình hộp với đỉnh $B$.

Vậy mệnh đề sai là A, trùng với đáp án nguồn (đề 2025, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì lăng trụ đứng nên $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$ (do $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ và cùng chiều). Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BA\perp BC$, tức $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$. Vậy góc giữa $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $90^{\circ }$. Khớp với đáp án nguồn C (bảng đáp án mã đề 1025, câu 1).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$ (đầu $B$ → cuối $C$ qua $A$), nên A đúng. B sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$ không đơn giản thành $\overrightarrow{AC}$. C sai vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$ không cho $\overrightarrow{CB}$. D sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$. Khớp với đáp án nguồn (mã 102, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, nên đẳng thức ở phương án A đúng. Kiểm tra các phương án khác: B) $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}\ne \overrightarrow{AC}$; C) $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{CB}$; D) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BC}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(a;0)$ trên trục hoành. Điều kiện $\widehat{AMB}=90^0$ tức $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$. Ta có $\overrightarrow{MA}=(5-a;2)$, $\overrightarrow{MB}=(3-a;-4)$. Tích vô hướng: $(5-a)(3-a)+2(-4)=0\iff a^2-8a+15-8=0\iff a^2-8a+7=0\iff a=1$ hoặc $a=7$. Tổng hoành độ các điểm $M$ là $1+7=8$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2 = 8).

Gọi $D(x;y)$, ta có $\overrightarrow{AD}=(x-4;y-6)$, $\overrightarrow{BC}=(6;-4)$.
Để ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\iff \{\begin{array}{l}x-4=6\\ y-6=-4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=10\\ y=2\end{array}$.
Vậy $D(10;2)$.

Đặt $\overrightarrow{AD}=y\overrightarrow{AC}$. Ta có $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$, suy ra $\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\left(y-\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{AC}$.
Vì $GD\perp AC$ nên $\overrightarrow{GD}.\overrightarrow{AC}=0\iff -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\left(y-\frac{1}{3}\right){\overrightarrow{AC}}^2=0\iff -\frac{1}{3}AB.AC.\cos 60^0+\left(y-\frac{1}{3}\right)A{C}^2=0$ $\iff -16+64\left(y-\frac{1}{3}\right)=0\iff y=\frac{7}{12}$.
Khi đó $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$; $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{x}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\overrightarrow{AB}=\left(\frac{x}{3}-1\right)\overrightarrow{AB}+\frac{x}{3}\overrightarrow{AC}$.
Ta có ba điểm $B,E,D$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BE}$ cùng phương, do đó $\frac{\frac{x}{3}-1}{-1}=\frac{\frac{x}{3}}{\frac{7}{12}}\iff x=\frac{21}{19}$. Vậy $x=\frac{21}{19}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot (-2)+2\cdot (-3)=-2-6=-8$. Đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 102 (câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(a;0)$ trên trục hoành. Điều kiện $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ tức $(\overrightarrow{MA})\cdot (\overrightarrow{MB})=0$. Ta có $\overrightarrow{MA}=(9-a;4)$, $\overrightarrow{MB}=(7-a;-2)$. Tích vô hướng: $(9-a)(7-a)+4(-2)=0\iff a^2-16a+63-8=0\iff a^2-16a+55=0$. Giải: $a=\frac{16\pm \sqrt{256-220}}{2}=\frac{16\pm 6}{2}$, tức $a=5$ hoặc $a=11$. Cả hai điểm đều thỏa mãn (khác A, B). Tổng hoành độ $=5+11=16$, khớp đáp án nguồn 16.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot (-2)+2\cdot (-3)=-2-6=-8$. Đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 101 (Câu 2: A).

Đặt $\overrightarrow{AD}=y\overrightarrow{AC}$. Ta có $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$, suy ra $\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\left(y-\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{AC}$.
Vì $GD\perp AC$ nên $\overrightarrow{GD}.\overrightarrow{AC}=0\iff -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\left(y-\frac{1}{3}\right){\overrightarrow{AC}}^2=0\iff -\frac{1}{3}AB.AC.\cos 60^0+\left(y-\frac{1}{3}\right)A{C}^2=0$ $\iff -16+64\left(y-\frac{1}{3}\right)=0\iff y=\frac{7}{12}$.
Khi đó $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$; $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{x}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\overrightarrow{AB}=\left(\frac{x}{3}-1\right)\overrightarrow{AB}+\frac{x}{3}\overrightarrow{AC}$.
Ta có ba điểm $B,E,D$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BE}$ cùng phương, do đó $\frac{\frac{x}{3}-1}{-1}=\frac{\frac{x}{3}}{\frac{7}{12}}\iff x=\frac{21}{19}$. Vậy $x=\frac{21}{19}$.