Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$, nên khẳng định ở phương án C đúng. Các phương án khác sai vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BC}$, và $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$ không rút gọn được thành $\overrightarrow{AC}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C, mã đề 101).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc ba điểm). Vậy đáp án A đúng. Kiểm tra các phương án khác: B sai vì $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$; C sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$; D sai vì $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 9: A).

Ta có: $\vec{v}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$. (0,25 điểm)
Suy ra: $\left|\vec{v}\right|=\left|\overrightarrow{B^{\prime }C}\right|=\sqrt{a^2+a^2}$ (0,25 điểm)
$=a\sqrt{2}$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề với quy tắc ba điểm trong tứ diện $ABCD$:
- A: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}\ne \overrightarrow{BD}$, sai.
- B: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$... tính lại: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$. Theo quy tắc ba điểm, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$ không đơn giản thành $\overrightarrow{AB}$; thực chất $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$, không bằng $\overrightarrow{AB}$ (đúng phải là $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$... kiểm tra: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$, còn $-\overrightarrow{CB}=+\overrightarrow{BC}$, do đó B sai).
- C: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, đúng theo quy tắc ba điểm.
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{DA}$, sai.
Vậy mệnh đề đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 209, Câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }=D{D}^{\prime }$ (cùng hướng), do đó tứ giác $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}$. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ (không bằng $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ vì $AC\ne BD$ trong hình bình hành $ABCD$); $\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=-\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$; $\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}$. Vậy đáp án đúng là A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 209, Câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }=D{D}^{\prime }$, do đó tứ giác $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành. Suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}$ (vì $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}$ do $\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\vec{0}$). Vậy véc-to cần tìm là $\overrightarrow{BD}$, khớp với đáp án nguồn là C.

Lời giải
$$\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}\right)={\overrightarrow{AB}}^2-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DA}=A{B}^2-AB.DA.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA}\right)=2^2-\mathrm{2.2.}\cos 120^0=6$$
Đáp án: 6

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề bằng quy tắc ba điểm:
- A: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (đúng).
- B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{DA}$ (sai).
- C: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}\ne \overrightarrow{BD}$ (sai).
- D: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{AB}$ (sai, vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$).
Vậy chỉ mệnh đề A đúng, phù hợp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$.
a) $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}$, mà góc giữa $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AC}$ (đường chéo hình vuông $ABCD$) bằng $45^0$, không phải $90^0$ → Sai.
b) $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-|\overrightarrow{AB}{|}^2=0-a^2=-a^2$ → Đúng.
c) Trọng tâm $G$ tam giác $ABD$: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$, suy ra $3\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}$, tức $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})$ → Đúng.
d) $M$ trung điểm $C{C}^{\prime }$: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, không có hệ số $\frac{1}{2}$ → Sai.
Kết quả khớp bảng HD chấm đề 102: S Đ Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}$ và góc giữa $\overrightarrow{AD}$ với $\overrightarrow{AC}$ bằng $45^0$ (đường chéo hình vuông), không phải $90^0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=0-a^2=-a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, không có hệ số $\frac{1}{2}$.

Đáp án theo bảng HD chấm (đề 101, Phần II, Câu 1): a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) Theo bảng HD chấm (đề 101, Phần II, Câu 1): ý a) là Đ. Về mặt toán học cũng đúng: $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ nên góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ bằng góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$, tức $45^0$.
b) Theo bảng HD chấm (đề 101, Phần II, Câu 1): ý b) là S. Thật vậy $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=0-a^2=-a^2\ne a^2$.
c) Theo bảng HD chấm (đề 101, Phần II, Câu 1): ý c) là Đ. Tính chất trọng tâm tam giác cho $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})$.
d) Theo bảng HD chấm (đề 101, Phần II, Câu 1): ý d) là Đ. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP}$, với điểm $O$ bất kì ta có $\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=-3(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM})=-3\overrightarrow{OP}+3\overrightarrow{OM}$. Suy ra $\overrightarrow{ON}+3\overrightarrow{OP}=4\overrightarrow{OM}$, tức $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{ON}+3\overrightarrow{OP}\right)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn D (bảng đáp án mã đề 102, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: vì O là giao hai đường chéo nên O là trung điểm AC và BD, suy ra OA+OC=0 và OB+OD=0, do đó OA+OB+OC+OD=0. b) Đúng: trong hình bình hành ABCD, quy tắc hình bình hành tại B cho BA+BC=BD. c) Sai: đặt O làm gốc, ta có A=-C, B=-D. Trọng tâm tam giác ABD là G=(A+B+D)/3=(A+B-B)/3=A/3=-C/3. Khi đó GB+GC+GD=(B-G)+(C-G)+(D-G)=B+C+D-3G=-A+C+3(C/3)=-A+2C=3C=3OC, khác 4/3 OC nên khẳng định sai. d) Đúng: từ CM=3MD suy ra CM=(3/4)CD, do đó BM=BC+CM=BC+(3/4)CD. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: Đ-Đ-S-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
O là trung điểm AC và BD nên OA+OC=0, OB+OD=0, tổng bằng 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành: BA+BC=BD.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với gốc O: A=-C, B=-D, G=(A+B+D)/3=-C/3. Suy ra GB+GC+GD=B+C+D-3G=-A+2C=3OC ≠ 4/3 OC.
d) (AI giải đề cho tôi)
CM=3MD nên CM=(3/4)CD, do đó BM=BC+CM=BC+(3/4)CD.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tại A: $\overrightarrow{F_1}=(0;-40)$ (hướng xuống, độ lớn 40 N), $\overrightarrow{F_2}=(b;0)$ (ngang, vuông góc với $\overrightarrow{F_1}$), $\overrightarrow{F_3}$ hướng lên-trái tạo với $\overrightarrow{F_2}$ góc $120^{\circ }$. Cân bằng: $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})=(-b;40)$. Gọi $F_3=|\overrightarrow{F_3}|$. Vì góc giữa $\overrightarrow{F_3}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là $120^{\circ }$: $\cos 120^{\circ }=\frac{\overrightarrow{F_3}\cdot \overrightarrow{F_2}}{F_3\cdot b}=\frac{-b^2}{F_{3}b}=\frac{-b}{F_3}=-\frac{1}{2}$, suy ra $F_3=2b$. Mặt khác $F_3^2=b^2+1600$, nên $4b^2=b^2+1600\Rightarrow b^2=\frac{1600}{3}\Rightarrow b=\frac{40}{\sqrt{3}}$. Vậy $F_3=\frac{80}{\sqrt{3}}\approx 46,2$ N, khớp với đáp án nguồn 46,2.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$. Do đó $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}$. Vậy $\left|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{DA}\right|=OC=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 5: C).

Theo bảng đáp án chính thức của đề (trang đáp án, mã đề 102, Phần I, Câu 9), đáp án là A (tức $3$). Nhận xét: các vectơ có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của hình bình hành $ABCD$ và cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ thường được liệt kê là $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DA}$ (4 vectơ), nên cách đếm cho kết quả $3$ trong đáp án gốc (có thể do đề gốc chỉ đếm $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AD}$ hoặc coi $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$ trùng nhau) không hoàn toàn nhất quán về mặt lý thuyết. Đáp án được giữ nguyên theo nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: O là giao hai đường chéo nên OA+OC = 0 và OB+OD = 0, tổng bằng 0. b) Sai: G là trọng tâm tam giác ABC nên GA+GB+GC = 0, suy ra GA+GC = -GB. Do đó GA+GC+GD = GD-GB = BD. Vì O là trung điểm BD nên BD = 2·OD. Vậy tổng bằng 2·OD, không phải (5/3)·OD. c) Đúng: quy tắc hình bình hành AB+AD = AC. d) Sai: CM = 2·MB nghĩa là M chia CB theo tỉ lệ, MB = (1/3)·CB, tức BM = (1/3)·BC. Suy ra AM = AB+BM = AB+(1/3)·BC, khác AB+(1/2)·BC. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: Đ S Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
O là trung điểm AC và BD nên OA+OC = 0, OB+OD = 0, tổng bằng 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
GA+GC = -GB (G trọng tâm ABC), nên GA+GC+GD = BD = 2·OD ≠ (5/3)·OD.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành: AB+AD = AC.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ CM = 2·MB ta có BM = (1/3)·BC, nên AM = AB+(1/3)·BC ≠ AB+(1/2)·BC.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ (trang 3): $\overrightarrow{F_1}$ hướng thẳng xuống dưới, $|\overrightarrow{F_1}|=30$ N; $\overrightarrow{F_2}$ nằm ngang hướng phải; $\overrightarrow{F_3}$ hợp với $\overrightarrow{F_2}$ góc $120^{\circ }$ và vuông góc với $\overrightarrow{F_1}$. Chọn hệ trục $Oxy$ với $Ox$ theo hướng $\overrightarrow{F_2}$, $Oy$ hướng lên. Khi đó $\overrightarrow{F_1}=(0;-30)$, $\overrightarrow{F_2}=(F_2;0)$, $\overrightarrow{F_3}=(F_3\cos 120^{\circ };F_3\sin 120^{\circ })$. Điều kiện cân bằng $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$ cho thành phần theo $Oy$: $F_3\sin 120^{\circ }-30=0$, suy ra $F_3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=30\Rightarrow F_3=\frac{60}{\sqrt{3}}=20\sqrt{3}\approx 34,6$ N. Thành phần theo $Ox$ cho $F_2=-F_3\cos 120^{\circ }=10\sqrt{3}>0$, hợp lệ. Kết quả khớp đáp án nguồn 34,6.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{MP}$, với điểm $O$ bất kì ta có $\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=-2\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}\right)=-2\overrightarrow{OP}+2\overrightarrow{OM}$. Suy ra $\overrightarrow{ON}+2\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{OM}$, tức $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{ON}+2\overrightarrow{OP}\right)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}$. Vì $O$ là giao hai đường chéo hình vuông cạnh $a$ nên $OD=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Vậy $\left|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, trùng với đáp án nguồn B.

Lời giải AI (không có lời giải trong nguồn; đáp án A được đối chiếu với bảng mã đề 101, trang 7): Các vecto khác $\vec{0}$, cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ và có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của hình bình hành $ABCD$ là $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{CD}$. Vậy có 4 vecto. Lưu ý: $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CB}$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ (trong hình bình hành $AD\parallel BC$ nhưng $AD$ không song song $AB$). Đáp án A ghi 3, khớp đáp án chính thức của đề (mã đề 101, Câu 6 = A).