Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$. Vì $D(0;3;0)$, $D^{\prime }(0;3;-3)$ nên $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(0;0;-3)$. Do đó $A^{\prime }=A+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(0;0;-3)$, tức $a=0,b=0,c=-3$. Vậy $a+b-c=0+0-(-3)=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$. Do đó $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{AB}$. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ (vì tất cả các cạnh đều bằng $a$), nên góc giữa $\overrightarrow{AS}$ và $\overrightarrow{AB}$ bằng $60^{\circ }$: $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{AB}=a\cdot a\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$. Vậy $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{CD}=-\frac{a^2}{2}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tính tích vô hướng: $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=(-2)(0)+(-1)(1)+(2)(-1)=-3$. Độ dài: $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{4+1+4}=3$, $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{0+1+1}=\sqrt{2}$. Vậy $\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{-3}{3\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra góc giữa hai vecto là $135^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực đôi một vuông góc nên chọn hệ trục sao cho $\overrightarrow{F_1}=(3;0;0)$, $\overrightarrow{F_2}=(0;6;0)$, $\overrightarrow{F_3}=(0;0;2)$. Hợp lực $\vec{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(3;6;2)$, do đó $|\vec{F}|=\sqrt{3^2+6^2+2^2}=\sqrt{49}=7$ (N).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\cdot 2+(-3)\cdot 1+2\cdot 1=1$. Độ dài $|\vec{u}|=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}$, $|\vec{v}|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$. Vậy $\cos (\vec{u},\vec{v})=\frac{1}{\sqrt{14}\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{84}}=\frac{1}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{42}$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AC}=(3-(-1);1-0;-3-3)=(4;1;-6)$ nên $AC=\sqrt{16+1+36}=\sqrt{53}\ne \sqrt{38}$ → Sai. b) $G\left(\frac{-1+4+3}{3};\frac{0+2+1}{3};\frac{3+0-3}{3}\right)=G(2;1;0)\ne (2;1;-1)$ → Sai. c) $M\in (Oxy)$ nên $z=0$; $A{M}^2=(x+1{)}^2+y^2+9$ nhỏ nhất khi $x=-1,y=0$, tức $M(-1;0;0)$, khi đó $x+y+z=-1$ → Đúng. d) $\overrightarrow{AB}=(4-(-1);2-0;0-3)=(5;2;-3)$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(4;1;-6)$ nên $AC=\sqrt{53}\ne \sqrt{38}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G(2;1;0)$, không phải $(2;1;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M(-1;0;0)$ cho $AM$ nhỏ nhất, $x+y+z=-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(5;2;-3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;0;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(3;3;-3)$.
a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-6+0+6=0$ nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$, tam giác $ABC$ vuông tại $A$ → Đúng.
b) Trọng tâm $G=\left(\frac{0-2+3}{3};\frac{-2-2+1}{3};\frac{1-1-2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3};-1;-\frac{2}{3}\right)\ne (1;-3;-2)$ → Sai.
c) Hình chiếu của $A(0;-2;1)$ lên $(Oxy)$ giữ nguyên $x,y$, cho $z=0$: $A^{\prime }(0;-2;0)$ → Đúng.
d) $ABCD$ hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, suy ra $D=C-\overrightarrow{AB}=(3;1;-2)-(-2;0;-2)=(5;1;0)\ne (5;0;1)$ → Sai. (Lưu ý: nếu $D=(5;0;1)$ thì $\overrightarrow{AD}=(5;2;0)$, $\overrightarrow{BC}=(5;3;-1)$, không song song.) Khớp đáp án nguồn ĐSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;0;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(3;3;-3)$, tích vô hướng $=-6+0+6=0$ nên vuông tại $A$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{1}{3};-1;-\frac{2}{3}\right)\ne (1;-3;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu lên $(Oxy)$: $A^{\prime }(0;-2;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$ABCD$ hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, khi đó $D=(5;1;0)\ne (5;0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực có phương đôi một vuông góc nên chọn hệ trục Oxyz với $\overrightarrow{F_1}=(0;0;3)$, $\overrightarrow{F_2}=(4;0;0)$, $\overrightarrow{F_3}=(0;12;0)$. Hợp lực $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(4;12;3)$. Độ lớn $|\overrightarrow{F}|=\sqrt{4^2+12^2+3^2}=\sqrt{16+144+9}=\sqrt{169}=13$ (N). Kết quả khớp với đáp án nguồn 13.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{I}-\overrightarrow{A^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B^{\prime }})-\overrightarrow{A^{\prime }}=\frac{1}{2}[(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{A^{\prime }})+(\overrightarrow{B^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }})]=\frac{1}{2}[-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}]$.

Mặt khác $\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{J}=\overrightarrow{C}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D^{\prime }})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{D^{\prime }})=\frac{1}{2}[(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{D})-(\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{D})]=\frac{1}{2}[\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}]$.

Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, do đó $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{JC}$. Vậy khẳng định C đúng.

Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{B^{\prime }}-\overrightarrow{A})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }})$ còn $\overrightarrow{CJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{C})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }})$, thực ra $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CJ}$ cũng đúng... xét lại: $\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{J}-\overrightarrow{C}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{C})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{D^{\prime }C})$ với $\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }B}+...$; chi tiết: $\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{C}=(\overrightarrow{D}-\overrightarrow{C})+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, khác $\overrightarrow{B^{\prime }}-\overrightarrow{A}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, nên A sai. Tương tự B, D sai (ví dụ $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$ còn $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B^{\prime }})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB})...$ tính: $\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B^{\prime }}=(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A})+(\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{B^{\prime }})=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$, nên $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$, B sai). Đáp án khớp với mã đề 104: C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;0;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(3;3;-3)$. a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-6+0+6=0$ nên tam giác vuông tại A → Đúng. b) Trọng tâm $G=\left(\frac{0-2+3}{3};\frac{-2-2+1}{3};\frac{1-1-2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3};-1;-\frac{2}{3}\right)\ne (1;-3;-2)$ → Sai. c) Hình chiếu của $A(0;-2;1)$ lên $(Oxy)$ là $A^{\prime }(0;-2;0)$ → Đúng. d) $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $D=A+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$... tính trực tiếp: $D=A+C-B=(0+3-(-2);-2+1-(-2);1-2-(-1))=(5;1;0)\ne (5;0;1)$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn SĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;0;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(3;3;-3)$, tích vô hướng $=-6+0+6=0$ nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$, tam giác vuông tại A.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{1}{3};-1;-\frac{2}{3}\right)$, khác $(1;-3;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu lên $(Oxy)$ giữ nguyên hoành và tung, tung độ bằng 0: $A^{\prime }(0;-2;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$ABCD$ hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $D=B+C-A=(5;1;0)$, khác $(5;0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực đôi một vuông góc nên chọn hệ trục $O$ sao cho $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{OC}$ theo ba trục toạ độ. Hợp lực $\vec{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}$. Vì ba vectơ đôi một vuông góc nên $|\vec{F}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+|\overrightarrow{F_3}{|}^2=3^2+4^2+12^2=9+16+144=169$, suy ra $|\vec{F}|=13$ N. Kết quả khớp với đáp án nguồn (13).

Theo bảng đáp án mã đề 102, Phần II Câu 3: ĐĐSS (a đúng, b đúng, c sai, d sai).
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;0;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(3;3;-3)$, tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-6+0+6=0$ nên $AB\perp AC$, tam giác vuông tại $A$. Đúng.
b) Hình chiếu của điểm $A(0;-2;1)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ giữ nguyên hoành độ và tung độ, hoành độ $z=0$, nên $A^{\prime }(0;-2;0)$. Đúng.
c) $G=\left(\frac{0-2+3}{3};\frac{-2-2+1}{3};\frac{1-1-2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3};-1;-\frac{2}{3}\right)\ne (1;-3;-2)$. Sai.
d) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, suy ra $D=C+\overrightarrow{AB}=(3-2;1+0;-2-2)=(1;1;-4)$. Điểm $(5;0;1)$ không thỏa mãn. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực có phương đôi một vuông góc nên chọn hệ trục $Oxyz$ sao cho $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{OC}$ đôi một vuông góc với độ lớn lần lượt $|\overrightarrow{F_1}|=3$ N, $|\overrightarrow{F_2}|=4$ N, $|\overrightarrow{F_3}|=12$ N. Hợp lực $\vec{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}$. Vì ba vectơ đôi một vuông góc nên $|\vec{F}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+|\overrightarrow{F_3}{|}^2=3^2+4^2+12^2=9+16+144=169$. Suy ra $|\vec{F}|=\sqrt{169}=13$ N. Kết quả trùng với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ: $A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),D(0;1;0)$ và $A^{\prime }(0;0;1),B^{\prime }(1;0;1),C^{\prime }(1;1;1),D^{\prime }(0;1;1)$. Khi đó $I$ là trung điểm $A{B}^{\prime }$: $I(0,5;0;0,5)$; $J$ là trung điểm $C{D}^{\prime }$: $J(0,5;1;0,5)$. Kiểm tra từng đáp án: $\overrightarrow{AI}=(0,5;0;0,5)$ còn $\overrightarrow{CJ}=(-0,5;0;0,5)$, khác nhau nên A sai. $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=(0;-1;0)$ còn $\overrightarrow{IJ}=(0;1;0)$, khác nhau nên B sai. $\overrightarrow{BI}=(-0,5;0;0,5)$ còn $\overrightarrow{D^{\prime }J}=(-0,5;0;-0,5)$, khác nhau nên C sai. $\overrightarrow{A^{\prime }I}=I-A^{\prime }=(0,5;0;-0,5)$ và $\overrightarrow{JC}=C-J=(0,5;0;-0,5)$, bằng nhau nên D đúng. Về mặt hình học: $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }})$ và $\overrightarrow{JC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{D^{\prime }C}$, do $\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{B^{\prime }B}$... thực chất $A^{\prime }IJC$ là hình bình hành (tứ giác với $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{JC}$), khẳng định D đúng, khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $D=B+C-A=(-2+3-0;-2+1+2;-1-2-1)=(1;1;-4)\ne (5;0;1)$ → Sai. b) $\overrightarrow{AB}=(-2;0;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(3;3;-3)$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-6+0+6=0$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$ → Đúng. c) Hình chiếu của $A(0;-2;1)$ lên $(Oxy)$ là $A^{\prime }(0;-2;0)$ → Đúng. d) $G=\left(\frac{0-2+3}{3};\frac{-2-2+1}{3};\frac{1-1-2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3};-1;-\frac{2}{3}\right)\ne (1;-3;-2)$ → Sai. Kết quả SĐĐS khớp với đáp án mã đề 101.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ yêu cầu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $D=B+C-A=(1;1;-4)$, khác $(5;0;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-2)(3)+0(3)+(-2)(-3)=0$ nên vuông tại $A$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu lên $(Oxy)$ giữ $x$, $y$ và cho $z=0$: $A^{\prime }(0;-2;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G=\left(\frac{1}{3};-1;-\frac{2}{3}\right)$, khác $(1;-3;-2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực đôi một vuông góc nên chọn hệ trục toạ độ với $\overrightarrow{F_1}=(3;0;0)$, $\overrightarrow{F_2}=(0;4;0)$, $\overrightarrow{F_3}=(0;0;12)$. Hợp lực $\vec{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(3;4;12)$, do đó $|\vec{F}|=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$ (N). Kết quả khớp với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=C-B=(4;0;-2)$ nên $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{BC}=(8;0;-4)$, suy ra $M=B+(8;0;-4)=(7;2;-1)$. Vì $BMDA$ là hình bình hành theo thứ tự đỉnh nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BM}=(8;0;-4)$, do đó $D=A+(8;0;-4)=(9;1;-3)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{MD}=D-M=(2;-1;-2)=\overrightarrow{BA}=A-B=(2;-1;-2)$, đúng. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục Oxyz với A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). a) Tính chất trọng tâm tam giác: OA+OB+OC = 3OG, đúng. b) AB·OC = (OB−OA)·OC = OB·OC − OA·OC = 0−0 = 0, đúng. c) OG = (OA+OB+OC)/3 nên |OG|² = (1+4+9)/9 = 14/9, |OG| = √14/3, đúng. d) AC·OB = (OC−OA)·OB = 0−0 = 0 nên góc bằng 90°, không phải 60°, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác ABC nên OA+OB+OC = 3OG (tính chất vectơ trọng tâm).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB·OC = (OB−OA)·OC = OB·OC − OA·OC = 0 vì OC vuông góc với cả OA và OB.
c) (AI giải đề cho tôi)
OG = (OA+OB+OC)/3, với hệ trục Oxyz: OG = (1/3; 2/3; 1), |OG|² = 1/9+4/9+1 = 14/9, nên |OG| = √14/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
AC·OB = (OC−OA)·OB = OC·OB − OA·OB = 0, nên hai vectơ vuông góc, góc bằng 90° chứ không phải 60°.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos 120^{\circ }=2\cdot 5\cdot (-\frac{1}{2})=-5$. Do đó $|\vec{u}+\vec{v}{|}^2=|\vec{u}{|}^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+|\vec{v}{|}^2=4-10+25=19$, suy ra $|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{19}\approx 4,36$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\overrightarrow{AB}=(0-(-2);-2-1;5-0)=(2;-3;5)$ và $\overrightarrow{BC}=(6-0;-2-(-2);1-5)=(6;0;-4)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=2\cdot 6+(-3)\cdot 0+5\cdot (-4)=12+0-20=-8$. Vậy đáp án D.