Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$ (quy tắc hình bình hành tại đỉnh $B$). Suy ra $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ (quy tắc hình hộp với ba cạnh xuất phát từ $B$). Vậy khẳng định đúng là D. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }D}\ne \overrightarrow{D^{\prime }B}$; B sai vì $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{B{D}^{\prime }}$; C sai vì tổng ba vectơ này khác $\vec{0}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1212, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) Từ MA+MB−4MC=0 suy ra M=(A+B−4C)/(−2). A+B−4C=(1+2−4; 3+0+16; 0+0−20)=(−1;19;−20), nên M=(1/2; −19/2; 10), khi đó a+b+c=1/2−19/2+10=1. Đúng. b) AB−AC=CB=(2−1; 0+4; 0−5)=(1;4;−5), |CB|=√(1+16+25)=√42. Đúng. c) AC=(1−1; −4−3; 5−0)=(0;−7;5). Đúng. d) AB=(1;−3;0), AC=(0;−7;5) không tỉ lệ nên A, B, C không thẳng hàng. Sai. Khớp đáp án mã 1211: Đ Đ Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
MA+MB−4MC=0 ⇒ M=(A+B−4C)/(−2)=(1/2;−19/2;10), nên a+b+c=1.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB−AC=CB=(1;4;−5), độ dài √42.
c) (AI giải đề cho tôi)
AC=(0;−7;5).
d) (AI giải đề cho tôi)
AB=(1;−3;0) và AC=(0;−7;5) không cùng phương, ba điểm không thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải hệ: $\vec{d}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$ tương đương $$\{\begin{array}{l}-3x+2y+4z=2\\ 2x+3y-z=15\\ x+5y+4z=27\end{array}$$ Từ phương trình thứ hai: $z=2x+3y-15$. Thay vào phương trình thứ nhất: $-3x+2y+4(2x+3y-15)=2\iff 5x+14y=62$. Thay vào phương trình thứ ba: $x+5y+4(2x+3y-15)=27\iff 9x+17y=87$. Giải hệ $\{\begin{array}{l}5x+14y=62\\ 9x+17y=87\end{array}$: nhân phương trình thứ nhất với 9 và thứ hai với 5, trừ nhau: $41y=123\Rightarrow y=3$; suy ra $5x=62-42=20\Rightarrow x=4$; và $z=2\cdot 4+3\cdot 3-15=2$. Kiểm tra: $-3(4)+2(3)+4(2)=-12+6+8=2$ ✓; $2(4)+3(3)-2=15$ ✓; $4+15+8=27$ ✓. Vậy $x+y+z=4+3+2=9$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1211, Câu 1 = 9).

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, tức $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, hay $B+D=A+C$. Suy ra $D=A+C-B$: $a=3+6-1=8$; $b=5+1-(-1)=7$; $c=-1+1-3=-3$. Vậy $D(8;7;-3)$ và $T=a+b+c=8+7-3=12$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì máy bay bay với vận tốc và hướng không đổi, trong mỗi 10 phút nó đi được một đoạn bằng nhau. Vector dịch chuyển trong 10 phút đầu là $\overrightarrow{AB}=(400-300;300-100;20-10)=(100;200;10)$. Sau 10 phút tiếp theo, máy bay ở điểm $C$ sao cho $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$, tức $C=B+(100;200;10)=(500;500;30)$. Vậy $a+b+c=500+500+30=1030$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;-4;2)$ nên $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\ne 5$ → Sai. b) Trung điểm $I$ của $BC$: $I\left(\frac{2-1}{2};\frac{-2+3}{2};\frac{3-2}{2}\right)=(0,5;0,5;0,5)\ne (3;0;2)$ → Sai. c) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, tức $D=B+C-A=(2-1-4;-2+3-2;3-2-1)=(-3;-1;0)\ne (1;4;-4)$ → Sai. d) $\overrightarrow{OA}=(4;2;1)$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: S, S, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;-4;2)$, $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\ne 5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $BC$ là $(0,5;0,5;0,5)$, không phải $(3;0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$: $D=B+C-A=(-3;-1;0)\ne (1;4;-4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}=(4;2;1)$ đúng theo tọa độ điểm $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-5;0)$, $\overrightarrow{AC}=(2;-2;-3)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-6+10+0=4$. Độ dài $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}$. Do đó $\cos A=\frac{4}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{17}}=\frac{4}{17\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{17}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Đẳng thức đúng.
- B: Quy tắc hình hộp cho $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Đúng.
- C: $AB\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$, cùng chiều, cùng độ dài nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$. Đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ còn $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ (hai vecto không cùng phương), đẳng thức sai.
Vậy đẳng thức sai là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;-4;2)$ nên $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\ne 3$ → Sai. b) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, tức $D=A+\overrightarrow{BC}$ với $\overrightarrow{BC}=(-3;5;-5)$, suy ra $D=(4-3;2+5;1-5)=(1;7;-4)\ne (1;4;-4)$ → Sai. c) Trung điểm $I$ của $AB$: $I=\left(\frac{4+2}{2};\frac{2-2}{2};\frac{1+3}{2}\right)=(3;0;2)$ → Đúng. d) $\overrightarrow{OA}=\left(4;2;1\right)$ vì $O(0;0;0)$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: SSĐĐ (a Sai, b Sai, c Đúng, d Đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;-4;2)$, $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\ne 3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(-3;5;-5)$ nên $D=(1;7;-4)\ne (1;4;-4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$I=\left(\frac{4+2}{2};\frac{2-2}{2};\frac{1+3}{2}\right)=(3;0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}=\left(4;2;1\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=B-A=(-2;2;0)$, $\overrightarrow{AC}=C-A=(-1;3;-3)$. Suy ra $2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=(-4-3;4+9;0-9)=(-7;13;-9)$. Do đó $D=A+(-7;13;-9)=(-10;17;-7)$. Vậy $S=x_D+y_D+4z_D=-10+17+4(-7)=-21$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=B-A=(1-5;-2-0;-1+7)=(-4;-2;6)$, $\overrightarrow{BC}=C-B=(6-1;-5+2;-2+1)=(5;-3;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(1;-5;5)$.
a) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}=(1;-5;5)$ nên $|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1+25+25}=\sqrt{51}$ → Đúng.
b) Hình chiếu của $M(5;10;-7)$ trên mặt phẳng $Oxy$ là $(5;10;0)\ne A(5;0;-7)$ → Sai.
c) $\overrightarrow{AB}=(-4;-2;6)$ và $\overrightarrow{AC}=(1;-5;5)$ không cùng phương (không tỉ lệ) nên ba điểm không thẳng hàng → Sai.
d) $\overrightarrow{AB}=(-4;-2;6)\ne (6;-2;-8)$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}=(1;-5;5)$, độ dài $=\sqrt{1+25+25}=\sqrt{51}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $M(5;10;-7)$ trên $Oxy$ là $(5;10;0)$, khác $A(5;0;-7)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-4;-2;6)$, $\overrightarrow{AC}=(1;-5;5)$ không cùng phương nên $A,B,C$ không thẳng hàng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-4;-2;6)\ne (6;-2;-8)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(7;0;0)$, $D(0;7;0)$, $A^{\prime }(0;0;7)$, suy ra $C^{\prime }(7;7;7)$. Trung điểm $F$ của $A{C}^{\prime }$: $F\left(\frac{7}{2};\frac{7}{2};\frac{7}{2}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{FD}=D-F=\left(-\frac{7}{2};\frac{7}{2};-\frac{7}{2}\right)$. Tung độ (thành phần theo $Oy$) của $\overrightarrow{FD}$ bằng $\frac{7}{2}=3,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác: $G=\frac{A+B+C}{3}=\frac{A+2I}{3}$ vì $I$ là trung điểm $BC$. Tọa độ: $a=\frac{-2+2\cdot 1}{3}=0$, $b=\frac{3+2\cdot 3}{3}=3$, $c=\frac{-5+2\cdot 1}{3}=-1$. Vậy $G(0;3;-1)$ và $P=a+b+c=0+3-1=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) Trọng tâm G = ((2+3+1)/3; (-1+1-1)/3; (-2+2+1)/3) = (2; -1/3; 1/3), trùng với G đã cho nên đúng. b) $\overrightarrow{BA}$=(-1;-2;-4), $\overrightarrow{BC}$=(-2;-2;-3), cos ABC = (2+4+12)/(√21·√17) = 18/√357 ≈ 0,9527 nên góc ABC ≈ 17,7° ≠ 60°, sai. c) Với hình bình hành ABCD: $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$ nên D = A + C - B = (2+1-3; -1-1-1; -2+1-2) = (0; -3; -3) ≠ (0; 3; 3), sai. d) Đường thẳng AB: (x;y;z) = (2+t; -1+2t; -2+4t). M ∈ Oxy nên z = 0 ⇒ t = 1/2 ⇒ M = (5/2; 0; 0) ≠ (3; 1; 0), sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
G = ((2+3+1)/3; (-1+1-1)/3; (-2+2+1)/3) = (2; -1/3; 1/3), đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos ABC = 18/√357 ≈ 0,9527 nên ABC ≈ 17,7° ≠ 60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
D = A + C - B = (0; -3; -3) ≠ (0; 3; 3).
d) (AI giải đề cho tôi)
M trên AB với z = 0: t = 1/2, M = (5/2; 0; 0) ≠ (3; 1; 0).

(AI giải đề cho tôi)
Khi có dòng hải lưu, vận tốc tổng hợp là $\vec{v}+\vec{w}=(11+4;7+2;-4+0)=(15;9;-4)$. Tốc độ là độ lớn: $|\vec{v}+\vec{w}|=\sqrt{15^2+9^2+(-4{)}^2}=\sqrt{225+81+16}=\sqrt{322}\approx 17,94\approx 17,9$ km/h.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc không đổi: vector chuyển động trong 10 phút là $\overrightarrow{AB}=(940-800;550-500;8-7)=(140;50;1)$. Sau 5 phút tiếp theo, máy bay đi thêm nửa đoạn đó: $(70;25;0,5)$. Vậy tọa độ mới là $(940+70;550+25;8+0,5)=(1010;575;8,5)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;-5;2)$ nên ${\overrightarrow{AB}}^2=9+25+4=38$. $\overrightarrow{AC}=(-5;1;2)$, $\overrightarrow{CD}=(11;-5;7)$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}=-55-5+14=-46$. Vậy $P=38-(-46)=84$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 122, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;-5;2)$ nên ${\overrightarrow{AB}}^2=9+25+4=38$. $\overrightarrow{AC}=(-5;1;2)$, $\overrightarrow{CD}=(11;-5;7)$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}=-55-5+14=-46$. Vậy $P=38-(-46)=84$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 121, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;1;0)$, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=(-2;1;-2)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=2+1+0=3$. Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{4+1+4}=3$. Vậy $\cos (AB;CD)=\frac{3}{\sqrt{2}\cdot 3}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $a=2$ và $P=2a=4$.

Chọn D
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-4;-x-2;2)$; $\overrightarrow{AC}=(4;-3;y+1)$.
Để $A,B,C$ thẳng hàng thì $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\iff \{\begin{array}{l}-4=k.4\\ -x-2=k.(-3)\\ 2=k.(y+1)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}k=-1\\ x=-5\\ y=-3\end{array}$.
Vậy $x+2y=-5-6=-11$.