Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, gốc $O$ trùng $A$, trục $Ox$ hướng về $B$ ($AB=6m$ là chiều rộng), trục $Oy$ hướng về $D$ ($AD=8m$ là chiều dài), trục $Oz$ hướng lên với $A{A}^{\prime }=3m$. Vậy $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $D(0;8;0)$, $C(6;8;0)$, $A^{\prime }(0;0;3)$, $B^{\prime }(6;0;3)$, $C^{\prime }(6;8;3)$, $D^{\prime }(0;8;3)$.
a) Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ (hai vectơ cùng đi từ đỉnh này đến đỉnh đối diện của hai mặt song song bằng nhau). Tọa độ: $\overrightarrow{AC}=(6;8;0)=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$. → Đúng.
b) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=(6;8;0)+(6;0;0)=(12;8;0)\ne \overrightarrow{AD}=(0;8;0)$. → Sai.
c) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(6;0;0)+(0;0;3)=(6;0;3)\ne (8;0;3)$. → Sai.
d) $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=(6;0;0)$. → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình hộp chữ nhật nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$; tọa độ $(6;8;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=(12;8;0)\ne \overrightarrow{AD}=(0;8;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(6;0;3)$ vì $AB=6$ m (trục $Ox$), không phải $(8;0;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}=(6;0;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$; các cạnh song song cùng chiều: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$. Vậy các vecto bằng $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{DC},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$, tương ứng đáp án B (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $I$ đối xứng với $M(6;1;-3)$ qua $N(0;-3;-5)$ nên $N$ là trung điểm của $MI$: $\overrightarrow{NI}=-\overrightarrow{NM}$. Suy ra $I=2N-M$: $x_I=2\cdot 0-6=-6$, $y_I=2\cdot (-3)-1=-7$, $z_I=2\cdot (-5)-(-3)=-7$. Vậy $I(-6;-7;-7)$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{y}=-10\vec{a}+2\vec{b}=-2(5\vec{a}-\vec{b})=-2\vec{x}$, suy ra hai vectơ $\vec{x},\vec{y}$ cùng phương, do đó khẳng định A sai. Vì $\vec{x}$ và $\vec{y}$ cùng phương nên tập $\{\vec{x},\vec{y},\vec{z}\}$ luôn đồng phẳng (hệ gồm hai vectơ phụ thuộc tuyến tính thì ba vectơ phụ thuộc tuyến tính, tức tồn tại mặt phẳng chứa cả ba vectơ theo nghĩa hệ vectơ này phụ thuộc tuyến tính). Cụ thể: $\vec{x}+\frac{1}{2}\vec{y}+0\cdot \vec{z}=\vec{0}$ với hệ số không toàn 0, nên ba vectơ đồng phẳng. Đồng thời $\vec{x}=5\vec{a}-\vec{b}$ có thành phần theo $\vec{a}$, còn $\vec{z}=-6\vec{b}-7\vec{c}$ có thành phần theo $\vec{c}$; vì $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ không đồng phẳng nên $\vec{x},\vec{z}$ không cùng phương (C sai), tương tự $\vec{y},\vec{z}$ không cùng phương (D sai). Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường phân giác trong góc B cắt AC tại D thỏa AD:DC = AB:BC. Tính AB = √((2-1)²+(-1-2)²+(3+1)²) = √26; BC = √((-4-2)²+(7+1)²+(5-3)²) = √104 = 2√26. Vậy AD:DC = 1:2, tức D chia đoạn AC theo tỉ số AD/DC = 1/2, nên D = (2A + C)/3 = ((2·1 + (-4))/3; (2·2 + 7)/3; (2·(-1) + 5)/3) = (-2/3; 11/3; 1). Do đó a+b+c = -2/3 + 11/3 + 1 = 3 + 1 = 4. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ thuộc đoạn $BC$ và $MC=2MB$ nên $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CM}$, tức $M$ chia đoạn $BC$ theo tỉ số $\frac{MB}{MC}=\frac{1}{2}$, suy ra $M=\frac{2B+C}{3}$. Với $B(0;3;1)$, $C(-3;6;4)$: $M=\left(\frac{2\cdot 0-3}{3};\frac{2\cdot 3+6}{3};\frac{2\cdot 1+4}{3}\right)=(-1;4;2)$. Khi đó $AM=\sqrt{(-1-2{)}^2+(4-0{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{9+16+4}=\sqrt{29}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;-3;1)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;0;-2)$. Suy ra $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}=(-6;-9;3)+(4;0;4)=(-2;-9;7)$. Vậy $a+b-c=-2-9-7=-18$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCM$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MC}$, tức trung điểm của $AC$ trùng trung điểm của $BM$. Trung điểm $AC$: $\left(\frac{1+(-2)}{2};\frac{2+3}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=(-0,5;2,5;1)$. Suy ra $M=2\cdot (-0,5;2,5;1)-B(2;-1;3)=(-3;6;-1)$, tức $a=-3,b=6,c=-1$. Khi đó $P=a^2+b^2+c^2=9+36+1=46$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$. Do đó $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}=-\vec{c}+\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c})$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm AC có tọa độ $\left(\frac{-4+a}{2};\frac{-1+b}{2};\frac{2+c}{2}\right)$ thuộc trục tung $Oy$ nên hoành độ và cao độ bằng 0: $\frac{-4+a}{2}=0\Rightarrow a=4$; $\frac{2+c}{2}=0\Rightarrow c=-2$. Trung điểm $BC$ có tọa độ $\left(\frac{3+a}{2};\frac{5+b}{2};\frac{-6+c}{2}\right)$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ nên tung độ bằng 0: $\frac{5+b}{2}=0\Rightarrow b=-5$. Vậy $T=2a+b-c=8-5+2=5$, khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 3, MD0911 = 5).

Đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng (SDDS).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại góc phòng, hai mặt tường là hai mặt phẳng tọa độ và mặt đất là mặt phẳng $Oxy$. Chiếc đèn thứ nhất cách mỗi tường 1 m và cách mặt đất 3 m nên có tọa độ $A(1;1;3)$. Chiếc đèn thứ hai cách mỗi tường 2 m và cách mặt đất 1 m nên có tọa độ $B(2;2;1)$. Khoảng cách giữa hai đèn: $AB=\sqrt{(2-1{)}^2+(2-1{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}\approx 2,4495\approx 2,45$ mét. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2,45.

Tọa độ điểm A (0;0; 12). Tọa độ điểm B $\left(7,5;\frac{15\sqrt{3}}{2};0\right)$. (0,5 điểm)
Độ dài dây cáp AB= $3\sqrt{41}$ . (0,5 điểm)

Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng là: $d_1=AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(7-0{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{59}.$ (0,25 điểm)
$d_2=BC=\sqrt{(9-4{)}^2+(1-7{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{77}.$ (0,25 điểm)
$d_3=AC=\sqrt{(9-1{)}^2+(1-0{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{74}.$ (0,25 điểm)
Suy ra $d_1+d_2+d_3=\sqrt{59}+\sqrt{77}+\sqrt{74}\approx 25,058.$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;4;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$, suy ra $C(2;4;0)$, $C^{\prime }(2;4;2)$.
a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(2;4;0)=\overrightarrow{AC}\ne 2\overrightarrow{AC}$ → Sai.
b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(2;4;2)=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ → Đúng (quy tắc hình hộp).
c) $E$ là tâm hình chữ nhật $ABCD$: $E(1;2;0)$; $F$ trung điểm $A{C}^{\prime }$: $F(1;2;1)$; $\overrightarrow{EF}=(0;0;1)$ → Đúng.
d) $\overrightarrow{AC}=(2;4;0)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(2;0;2)$ nên $\vec{u}=2\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(4;8;0)-(6;0;6)=(-2;8;-6)$, $|\vec{u}|=\sqrt{4+64+36}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$ → Đúng.
Khớp với đáp án nguồn SDDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(2;4;0)=\overrightarrow{AC}$, không bằng $2\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng ba vectơ cạnh xuất phát từ $A$ bằng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2;4;2)$ theo quy tắc hình hộp.
c) (AI giải đề cho tôi)
$E(1;2;0)$, $F(1;2;1)$, $\overrightarrow{EF}=(0;0;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(-2;8;-6)$, độ dài $\sqrt{104}=2\sqrt{26}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại góc phòng, hai bức tường là hai mặt phẳng tọa độ và mặt đất là mặt phẳng Oxy. Đèn thứ nhất cách mỗi tường 1 m và cách mặt đất 2 m nên có tọa độ A(1;1;2). Đèn thứ hai cách mỗi tường 2 m và cách mặt đất 3 m nên có tọa độ B(2;2;3). Khoảng cách giữa hai đèn: AB = √((2−1)² + (2−1)² + (3−2)²) = √3 ≈ 1,73 m. Kết quả trùng với đáp án nguồn 1,73.

Tọa độ điểm A (0;0; 10). Tọa độ điểm B $\left(7,5;\frac{15\sqrt{3}}{2};0\right)$. (0,5 điểm)
Độ dài dây cáp AB= $5\sqrt{13}$ . (0,5 điểm)

Đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng (DSĐĐ).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SB=SC=a$ và $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}=\alpha$, ta có: $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}\cdot (\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})=\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SB}=a^2\cos \alpha -a^2\cos \alpha =0$. Vậy $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$, khớp với đáp án nguồn (Phần 3, Câu 2: 0).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc không đổi: trong 10 phút máy bay đi hết đoạn AB, nên trong 5 phút tiếp theo đi được nửa đoạn AB. Vậy C là trung điểm của AB: $C\left(\frac{800+940}{2};\frac{500+550}{2};\frac{7+9}{2}\right)=C(1010;575;10)$. Suy ra $x+y+z=1010+575+10=1595$, khớp với đáp án nguồn 1595.