Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đối xứng qua (Oxy) đổi dấu tung độ: A'(5;2;-1). Đúng.
b) AB=(4;-4;2), AC=(-3;-1;0). cos BAC = (-12+4)/(6·√10) = -8/(6√10) = -2√10/15 < 0, không phải 2√10/15. Sai.
c) [AB,AC] = (2;-6;-16), AD=(-4;-1;0), V = |(2)(-4)+(-6)(-1)+0|/6 = 2/6 = 1/3 ≠ 2. Sai.
d) Lấy B'(9;-2;-3) đối xứng B qua (Oxy). Đường thẳng AB': (5+4t; 2-4t; 1-4t), z=0 khi t=1/4, M(6;1;0) ≠ (3;4;0). Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đối xứng qua (Oxy) giữ x,y và đổi dấu z: A'(5;2;-1).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB·AC = -8, |AB|=6, |AC|=√10 nên cos BAC = -2√10/15, âm chứ không dương.
c) (AI giải đề cho tôi)
[AB,AC]=(2;-6;-16); V = |AD·[AB,AC]|/6 = 2/6 = 1/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
B'(9;-2;-3); giao AB' với (Oxy) là M(6;1;0), không phải (3;4;0).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1;2-0;4-0)=(2;2;4)$, không phải $(-2;-2;-4)$. b) Đúng: $\overrightarrow{AB}=(2;2;4)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;5;4)$ không tỉ lệ nên $A,B,C$ không thẳng hàng. c) Sai: $\overrightarrow{BA}=(-2;-2;-4)$, $\overrightarrow{BC}=(-3;3;0)$, tích vô hướng $=6-6+0=0$ nên $\cos \widehat{ABC}=0\ne \frac{1}{5}$. d) Đúng: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{M}-(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+2\overrightarrow{C})$ với $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+2\overrightarrow{C}=(4;12;12)$. Với $M(x;y;0)$, biểu thức $=(4x-4;4y-12;-12)$, độ dài nhỏ nhất khi $x=1,y=3$, tức $M(1;3;0)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2;2;4)$, không phải $(-2;-2;-4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2;2;4)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1;5;4)$ không tỉ lệ nên ba điểm không thẳng hàng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=6-6+0=0$ nên $\cos \widehat{ABC}=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{OM}-(4;12;12)$; với $M(x;y;0)$, độ dài nhỏ nhất khi $x=1,y=3$, tức $M(1;3;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(-3;-1;-1)\ne (3;-1;-1)$ → sai.
b) $G=\left(\frac{2-1+1}{3};\frac{3+2+1}{3};\frac{1+0-2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3};2;-\frac{1}{3}\right)$ → đúng.
c) $\overrightarrow{AC}=(-1;-2;-3)$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3+2+3=8$ → đúng.
d) Mặt phẳng (ABC): $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(1;-8;5)$, phương trình $x-8y+5z+17=0$. Tâm $I(a;b;c)$ thỏa: $6a+2b+2c=9$, $a+2b+3c=4$, $a-8b+5c=-17$. Giải hệ được $a=\frac{14}{15},b=\frac{61}{30},c=-\frac{1}{3}$. Khi đó $P=15\cdot \frac{14}{15}+30\cdot \frac{61}{30}+75\cdot (-\frac{1}{3})=14+61-25=50$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(-3;-1;-1)$, không phải $(3;-1;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{2}{3};2;-\frac{1}{3}\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-3)(-1)+(-1)(-2)+(-1)(-3)=8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ tâm đường tròn ngoại tiếp (thuộc mặt phẳng $x-8y+5z+17=0$) được $I\left(\frac{14}{15};\frac{61}{30};-\frac{1}{3}\right)$, nên $P=14+61-25=50$.

(AI giải đề cho tôi)
Với A(1;0;1), B'(2;1;2), D'(1;-1;1), C(4;5;-5):
a) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(1;1;1)$ nên $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}|=\sqrt{3}\ne 3$ → Sai.
b) Trọng tâm tam giác AB'D': $G=\left(\frac{1+2+1}{3};\frac{0+1-1}{3};\frac{1+2+1}{3}\right)=\left(\frac{4}{3};0;\frac{4}{3}\right)\ne (2;0;2)$ → Sai.
c) $\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{D}^{\prime }}=(3;6;-6)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }C}=3+6-6=3$; $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}|=\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{D^{\prime }C}|=\sqrt{9+36+36}=9$. Vậy $\cos =\frac{3}{9\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$ → Đúng.
d) Gọi $\vec{t}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ thì $B=B^{\prime }-\vec{t}$, $D=D^{\prime }-\vec{t}$. Vì ABCD là hình bình hành: $B+D=A+C$ nên $\vec{t}=\frac{B^{\prime }+D^{\prime }-A-C}{2}=(-1;-\frac{5}{2};\frac{7}{2})$. Suy ra $A^{\prime }=A+\vec{t}=(0;-\frac{5}{2};\frac{9}{2})$, hoành độ bằng 0 → Đúng. (Kiểm tra: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=(2;\frac{7}{2};-\frac{5}{2})=\overrightarrow{AB}$, thỏa mãn.)
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(1;1;1)$, độ dài $\sqrt{3}\ne 3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm là $G\left(\frac{4}{3};0;\frac{4}{3}\right)\ne (2;0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{D^{\prime }C}=(3;6;-6)$, tích vô hướng bằng 3, $|\overrightarrow{D^{\prime }C}|=9$, $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}|=\sqrt{3}$, cos $=\frac{\sqrt{3}}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $B+D=A+C$ suy ra $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(-1;-\frac{5}{2};\frac{7}{2})$, nên $A^{\prime }=(0;-\frac{5}{2};\frac{9}{2})$, hoành độ bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: trụ cao $10m$ nên $A(0;0;10)$. Điểm $B$ nằm trên mặt đất, cách $O$ một khoảng $15m$, và $OB$ hợp với trục $Oy$ một góc $30^{\circ }$. Do đó $B\left(15\sin 30^{\circ };15\cos 30^{\circ };0\right)=\left(7,5;\frac{15\sqrt{3}}{2};0\right)$. Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left(7,5;\frac{15\sqrt{3}}{2};-10\right)$, tức $a=7,5$, $c=-10$. Vậy $a+c=7,5-10=-2,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ theo hình vẽ: $A(0;0;0)$, $C(3\sqrt{2};0;0)$, $B(0;3\sqrt{2};0)$, $S(3\sqrt{2};0;3\sqrt{2})$ (vì $SC\perp (ABC)$, $SC=3\sqrt{2}$). Điểm $N$ thuộc $BC$ với $CN=2$, mà $BC=\sqrt{(3\sqrt{2}{)}^2+(3\sqrt{2}{)}^2}=6$, nên $N=C+\frac{2}{6}(B-C)=(2\sqrt{2};\sqrt{2};0)$. Suy ra $\overline{NB}=B-N=(-2\sqrt{2};2\sqrt{2};0)$, vậy tung độ của $\overline{NB}$ bằng $2\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba dây $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc nên ba vectơ lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ đôi một vuông góc và cùng độ lớn $20$ N. Đèn ở trạng thái cân bằng nên trọng lượng $P$ cân bằng với hợp lực của ba lực căng: $$P=\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}\right|.$$ Vì $\overrightarrow{F_i}\cdot \overrightarrow{F_j}=0$ với $i\ne j$: $$P^2=20^2+20^2+20^2=1200\Rightarrow P=\sqrt{1200}=20\sqrt{3}\approx 34,6\text{ (N)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M(a,b,c)\in (Oxy)$ nên $c=0$. Ta có $M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+\frac{A{B}^2}{2}$ với $I$ là trung điểm $AB$, do đó $M{A}^2+M{B}^2$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $(Oxy)$. Trung điểm $I=\left(\frac{2+4}{2};\frac{3+(-1)}{2};\frac{6+2}{2}\right)=(3;1;4)$, hình chiếu lên $(Oxy)$ là $M(3;1;0)$. Vậy $a+b+c=3+1+0=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $K_{0}M=K_{0}N=K_{0}P=K_{0}Q$ nên $K_0$ là tâm hình chữ nhật $MNPQ$, tức $K_0(45;60;25)$. Camera hạ thẳng đứng xuống cao độ 19 nên $K_1(45;60;19)$. Suy ra $\overrightarrow{K_0{K}_1}=(0;0;-6)$, do đó $P=a+b-c=0+0-(-6)=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $S\in (Oyz)$ nên $S=(0;b;c)$. Ta có:
$$S{A}^2=1+(b-1{)}^2+(c-1{)}^2,$$
$$S{B}^2=4+(b-1{)}^2+c^2,$$
$$S{C}^2=4+(b+3{)}^2+(c-1{)}^2.$$
Do đó $P=S{A}^2+S{B}^2+3S{C}^2=17+2(b-1{)}^2+3(b+3{)}^2+4(c-1{)}^2+c^2$.

Tách theo biến $b$: $f(b)=2(b-1{)}^2+3(b+3{)}^2$, đạt min khi $f^{\prime }(b)=4(b-1)+6(b+3)=0\Rightarrow 10b+14=0\Rightarrow b=-\frac{7}{5}$.

Tách theo biến $c$: $g(c)=4(c-1{)}^2+c^2$, đạt min khi $g^{\prime }(c)=8(c-1)+2c=0\Rightarrow 10c=8\Rightarrow c=\frac{4}{5}$.

Vậy $S\left(0;-\frac{7}{5};\frac{4}{5}\right)$ và $T=a+b+c=0-\frac{7}{5}+\frac{4}{5}=-\frac{3}{5}$.

Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $S\in (Oyz)$ nên $S=(0;b;c)$. Ta có $S{A}^2=1+(b-1{)}^2+(c-1{)}^2$, $S{B}^2=4+(b-1{)}^2+c^2$, $3S{C}^2=3\left[4+(b+3{)}^2+(c-1{)}^2\right]$. Do đó $P=17+\left[2(b-1{)}^2+3(b+3{)}^2\right]+\left[4(c-1{)}^2+c^2\right]=17+(5b^2+14b+29)+(5c^2-8c+4)$. Hàm theo $b$: $5b^2+14b+29$ đạt min tại $b=-\frac{14}{10}=-\frac{7}{5}$. Hàm theo $c$: $5c^2-8c+4$ đạt min tại $c=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$. Vậy $T=a+b+c=0-\frac{7}{5}+\frac{4}{5}=-\frac{3}{5}$, khớp đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) Từ $\overrightarrow{PC}=3\overrightarrow{PB}$ suy ra $C-P=3(B-P)\Rightarrow 2P=3B-C\Rightarrow P=\frac{3B-C}{2}$. Do đó $\overrightarrow{DP}=\frac{3B-C-2D}{2}=\frac{3}{2}\overrightarrow{DB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$, khác $\frac{3}{4}\overrightarrow{DB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}$ → sai. b) $\overrightarrow{AB}=(2;-2;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;-1;2)$ nên $\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(2;-5;0)\ne (4;-1;-3)$ → sai. c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$ → đúng. d) $\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}+3\overrightarrow{GC}=6\overrightarrow{GO}+(A+2B+3C)$ với $A+2B+3C=(4;-7;16)$. Vì $G$ trên mặt phẳng $Oxy$ ($z=0$), $M$ nhỏ nhất khi $G=\left(\frac{2}{3};-\frac{7}{6};0\right)$, $M_{\min }=\frac{8}{3}$. Khi đó $\overrightarrow{GA}=\left(\frac{1}{3};\frac{7}{6};2\right)$, $\overrightarrow{GB}=\left(\frac{7}{3};-\frac{5}{6};1\right)$, tích vô hướng $=\frac{7}{9}-\frac{35}{36}+2=\frac{65}{36}>0$ nên góc $AGB$ nhọn, không phải góc tù → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{PC}=3\overrightarrow{PB}$ được $P=\frac{3B-C}{2}$, nên $\overrightarrow{DP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{DB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$, không bằng $\frac{3}{4}\overrightarrow{DB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{x}=2(2;-2;-1)+(-2;-1;2)=(2;-5;0)$, khác $(4;-1;-3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu hai vế bằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$ nên đẳng thức đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M$ nhỏ nhất tại $G=\left(\frac{2}{3};-\frac{7}{6};0\right)$, $M_{\min }=\frac{8}{3}$. Tại đó $\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}=\frac{65}{36}>0$ nên góc $AGB$ nhọn, không phải góc tù.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách tới $(Oxz)$ là $|y|$, tới $(Oyz)$ là $|x|$, tới mặt nước là $|z|$. Chim ở $C(1;3;2)$ (cách $(Oyz)$ 1 m nên $x=1$; cách $(Oxz)$ 3 m nên $y=3$; cách mặt nước 2 m nên $z=2$). Cá ở $A(1,5;1;-0,5)$ (cách $(Oyz)$ 1,5 m nên $x=1,5$; cách $(Oxz)$ 1 m nên $y=1$; cách mặt nước 50 cm nên $z=-0,5$). Chim phóng theo đường thẳng $CA$: điểm trên đường là $C+t(A-C)=(1+0,5t;3-2t;2-2,5t)$. Tại $B$ vừa chạm mặt nước, $z=0\Rightarrow 2-2,5t=0\Rightarrow t=0,8$. Suy ra $a=1+0,5\cdot 0,8=1,4$; $b=3-2\cdot 0,8=1,4$; $c=0$. Vậy $a+b+c=1,4+1,4+0=2,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=(2;4;2)$. Điểm $H$ thuộc đường thẳng $BC$ nên $H=B+t\overrightarrow{BC}=(-1+2t;-1+4t;4+2t)$.

Điều kiện $AH\perp BC$: $\overrightarrow{AH}=(-2+2t;-1+4t;2+2t)$, nên
$$\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=2(-2+2t)+4(-1+4t)+2(2+2t)=-4+24t=0\Rightarrow t=\frac{1}{6}.$$

Suy ra $H\left(-\frac{2}{3};-\frac{1}{3};\frac{13}{3}\right)$, tức $b=-\frac{1}{3}$, $c=\frac{13}{3}$.

Vậy $b-c=-\frac{1}{3}-\frac{13}{3}=-\frac{14}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+2\overrightarrow{ID}=\vec{0}$ suy ra $5\vec{I}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+2\vec{D}=(-1;5;4)$, nên $I\left(-\frac{1}{5};1;\frac{4}{5}\right)$. a) Tung độ của $I$ là $y=1\ne -1$ nên sai. b) $M\in (Oxz)$ nên $b=0$. Đường thẳng $AB$ có VTCP $(4;-2;-1)$, phương trình tham số: $x=-2+4t$, $y=3-2t$, $z=1-t$. Với $y=0\Rightarrow t=\frac{3}{2}$, khi đó $x=4$, $z=-\frac{1}{2}$, tức $M\left(4;0;-\frac{1}{2}\right)$, $a+b+c=\frac{7}{2}\ne -\frac{11}{2}$ nên sai. c) Hình chiếu của $A(-2;3;1)$ trên $(Oxz)$ là $A^{\prime }(-2;0;1)\ne (0;3;0)$ nên sai. d) $\overrightarrow{IA}=\vec{A}-\vec{I}=(-2-x;3-y;1-z)$ đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$5\vec{I}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+2\vec{D}=(-1;5;4)$ nên $I\left(-\frac{1}{5};1;\frac{4}{5}\right)$, tung độ bằng $1\ne -1$. Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M\in (Oxz)\Rightarrow b=0$. Đường thẳng $AB$: $x=-2+4t,y=3-2t,z=1-t$. Với $y=0\Rightarrow t=\frac{3}{2}\Rightarrow M\left(4;0;-\frac{1}{2}\right)$, $a+b+c=\frac{7}{2}\ne -\frac{11}{2}$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $A(-2;3;1)$ trên $(Oxz)$ là $A^{\prime }(-2;0;1)$, không phải $(0;3;0)$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{IA}=\vec{A}-\vec{I}=(-2-x;3-y;1-z)$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: góc phòng tại O, trục Ox dọc chiều dài 8 m, Oy dọc chiều rộng 6 m, Oz dọc chiều cao 4 m. Quạt A ở chính giữa bức tường 8 m (mặt phẳng y = 0), cách trần 1 m nên cao 3 m: A(4; 0; 3). Quạt B ở chính giữa bức tường 6 m (mặt phẳng x = 0), cách trần 1,2 m nên cao 2,8 m: B(0; 3; 2,8). Khoảng cách AB = √((4−0)² + (0−3)² + (3−2,8)²) = √(16 + 9 + 0,04) = √25,04 ≈ 5,004 ≈ 5 m. Kết quả khớp với đáp án nguồn (5).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tại một góc phòng: trục $Ox$ dọc chiều dài 8 m, trục $Oy$ dọc chiều rộng 6 m, trục $Oz$ dọc chiều cao 4 m. Chiếc quạt thứ nhất ở chính giữa bức tường 8 m (tường $y=0$), cách trần 1 m nên có cao $4-1=3$ m: $A(4;0;3)$. Chiếc quạt thứ hai ở chính giữa bức tường 6 m (tường $x=8$), cách trần 1,2 m nên có cao $4-1,2=2,8$ m: $B(8;3;2,8)$. Khi đó $$AB=\sqrt{(8-4{)}^2+(3-0{)}^2+(2,8-3{)}^2}=\sqrt{16+9+0,04}=\sqrt{25,04}\approx 5,004\approx 5\text{ m}.$$ Kết quả khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án Phần III, Câu 3 = 5).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$. Khi đó $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\vec{b}+\vec{a}$, $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\vec{d}+\vec{a}$ (do $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$).

Vì $I$ là trung điểm $A{B}^{\prime }$: $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }})=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{b}+\vec{a})=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a}$.

Vì $J$ là trung điểm $C{D}^{\prime }$: $\overrightarrow{CJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{D}^{\prime }})=\frac{1}{2}(\vec{d}+\vec{d}+\vec{a})=\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{a}$.

Kiểm tra từng đáp án:
- A: $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}=\vec{b}-\vec{d}$. Mặt khác $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CJ}=-\overrightarrow{AI}+(\vec{b}+\vec{d})+\overrightarrow{CJ}=-(\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a})+(\vec{b}+\vec{d})+(\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{a})=2\vec{d}$. Vậy $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}\ne \overrightarrow{IJ}$, sai.
- B: $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}$. Ta có $\overrightarrow{D^{\prime }J}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }J}$ với $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{C^{\prime }J}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$... tính trực tiếp: $\overrightarrow{D^{\prime }J}=\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}$? Cách gọn: $\overrightarrow{D^{\prime }J}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }J}$, mà $\overrightarrow{C^{\prime }J}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=-\frac{1}{2}\vec{b}$ (vì $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}=-\vec{b}$), nên $\overrightarrow{D^{\prime }J}=\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{b}=\frac{1}{2}\vec{b}$. So sánh $\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})\ne \frac{1}{2}\vec{b}$, sai.
- C: $\overrightarrow{AI}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a}$ còn $\overrightarrow{CJ}=\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{a}$, sai.
- D: $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$. Ta có $\overrightarrow{JC}=-\overrightarrow{CJ}=-(\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{a})$... kiểm tra lại qua đường khác: $\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DC}$, với $\overrightarrow{JD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$... tính trực tiếp: $\overrightarrow{JC}=\vec{C}-\vec{J}$, mà $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CJ}=(\vec{b}+\vec{d})+(\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{a})=\vec{b}+2\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{a}$, nên $\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AJ}=(\vec{b}+\vec{d})-(\vec{b}+2\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{a})=-\vec{d}-\frac{1}{2}\vec{a}$. Hmm, cần kiểm tra lại: thực chất $\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DC}$ với $J$ trung điểm $C{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{JC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{D^{\prime }C}$... Đúng ra: $J$ trung điểm $C{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{JC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{D^{\prime }C}$. Mà $\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{D^{\prime }D}+\overrightarrow{DC}=-\vec{a}+\vec{b}$ (vì $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec{b}$). Vậy $\overrightarrow{JC}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})=\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$... chờ, $\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})=\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$, còn $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$. Hai biểu thức này khác nhau trừ khi có sai sót; kiểm tra lại $\overrightarrow{A^{\prime }I}$: $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }I}$ với $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{B^{\prime }I}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B^{\prime }A}=-\frac{1}{2}\vec{a}$ (vì $\overrightarrow{B^{\prime }A}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BA}=-\vec{a}$... thực ra $\overrightarrow{B^{\prime }A}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$? Ta có $\overrightarrow{B^{\prime }A}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BA}=-\vec{a}-\vec{b}$, sai ở đây). Tính lại cẩn thận: $\overrightarrow{B^{\prime }A}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$? Không: $\overrightarrow{B^{\prime }A}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=-\vec{b}-\vec{a}$. Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }I}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B^{\prime }A}=-\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{a})$, do đó $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\vec{b}-\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{a})=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})$. Đồng thời $\overrightarrow{JC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{D^{\prime }C}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})$. Vậy $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{JC}$, đúng.

(Lưu ý: ở dòng $\overrightarrow{AI}$ phía trên, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\vec{b}+\vec{a}$ nên $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }})=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a}$ là đúng; kết luận cuối: $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{JC}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})$.)

Kết quả khớp với đáp án của đề (mã đề 0103, cột 103): D.