Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $800x+600y\ge 900\iff 8x+6y\ge 9$; $200x+400y\ge 400\iff x+2y\ge 2$; $0\le x\le 1,6$; $0\le y\le 1,1$. Cần min $T=160x+110y$. Các đỉnh miền ràng buộc: giao của $8x+6y=9$ và $x+2y=2$: giải hệ được $x=0,6$, $y=0,7$, khi đó $T=160\cdot 0,6+110\cdot 0,7=96+77=173$. Kiểm tra các đỉnh khác: $(1,6;0,2)$ cho $T=278$; $(0,75;0,5)$ trên đường $8x+6y=9$ cho $T=175$. Vậy $T_{\min }=173$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by>c$ (hoặc $\ge ,<,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0.
a) $2x^2+3y>0$ có chứa $x^2$ (bậc hai) nên không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn → Sai.
b) $x^2+y^2<2$ chứa cả $x^2,y^2$ nên không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn → Sai.
c) $0x+0y<3$ có $a=b=0$ (đồng thời bằng 0), thực chất là $0<3$ không chứa ẩn theo cách hiểu của bất phương trình bậc nhất hai ẩn → Sai.
d) $3x+0y<-4$ có $a=3\ne 0$, $b=0$ (không đồng thời bằng 0), viết lại là $3x<-4$, vẫn là bất phương trình bậc nhất hai ẩn → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chứa $x^2$ (bậc hai) nên không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chứa $x^2+y^2$ nên không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của $x$ và $y$ đồng thời bằng 0 nên không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có dạng $ax+by<c$ với $a=3\ne 0$, $b=0$ (không đồng thời bằng 0) nên là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm trắc nghiệm là $0,2x$, điểm tự luận là $y$, với $0\le x\le 35$, $0\le y\le 3$ (nguyên). Điều kiện đạt ít nhất 9 điểm: $0,2x+y\ge 9$.
a) Đúng: làm đúng $x$ câu trắc nghiệm được $0,2x$ điểm, đúng $y$ câu tự luận được $y$ điểm, với $0\le x\le 35$, $0\le y\le 3$.
b) Đúng: tổng điểm ít nhất 9 nên $0,2x+y\ge 9$, đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
c) Sai: thay $(8;2)$: $0,2\cdot 8+2=1,6+2=3,6<9$, không thỏa bất phương trình.
d) Đúng: từ $0,2x+y\ge 9$ và $y\le 3$ suy ra $0,2x\ge 6\Rightarrow x\ge 30\ge 25$; từ $x\le 35$ suy ra $y\ge 9-0,2\cdot 35=2$. Vậy bạn An luôn trả lời đúng ít nhất 25 câu trắc nghiệm và 2 câu tự luận.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm trắc nghiệm $0,2x$, điểm tự luận $y$, với $0\le x\le 35$, $0\le y\le 3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng điểm ít nhất 9: $0,2x+y\ge 9$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
c) (AI giải đề cho tôi)
$0,2\cdot 8+2=3,6<9$ nên $(8;2)$ không thỏa bất phương trình.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $0,2x+y\ge 9$ và $y\le 3$ suy ra $0,2x\ge 6\Rightarrow x\ge 30\ge 25$. Từ $x\le 35$ suy ra $y\ge 9-0,2\cdot 35=2$. Vậy bạn An luôn trả lời được ít nhất 25 câu trắc nghiệm và 2 câu tự luận.

(AI giải đề cho tôi)
a) $x+y\le 3$ có ẩn $x,y$ bậc nhất, nên là bất phương trình bậc nhất hai ẩn → Đúng. b) Cả ba bất phương trình $(1),(2),(3)$ đều bậc nhất hai ẩn nên hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn → Đúng. c) Thay $O(0;0)$: $x=0\ge 0$; $-2\cdot 0+3\cdot 0=0\ge -6$; $0+0=0\le 3$. Điểm $O$ thỏa cả ba bất phương trình nên thuộc miền nghiệm → Đúng. d) Thay $M(3;1)$: $x=3\ge 0$; $-2\cdot 3+3\cdot 1=-3\ge -6$; nhưng $3+1=4>3$ vi phạm $(3)$, nên $M$ không thuộc miền nghiệm → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$x+y\le 3$ có các ẩn $x,y$ đều bậc nhất nên là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cả ba bất phương trình $(1),(2),(3)$ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, do đó hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$: $0\ge 0$; $0\ge -6$; $0\le 3$, thỏa cả ba bất phương trình nên $O$ thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(3;1)$: $3+1=4>3$ vi phạm bất phương trình $(3)$, nên $M$ không thuộc miền nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: tổng đầu tư không quá 240 triệu nên $x+y\le 240$; dự án $II$ đầu tư ít nhất 40 triệu nên $y\ge 40$; dự án $I$ ít nhất gấp 3 lần dự án $II$ nên $x\ge 3y$ (kèm $x,y\ge 0$). b) Với $x=200,y=40$: $200+40=240\le 240$; $y=40\ge 40$; $200\ge 3\cdot 40=120$. Thỏa tất cả điều kiện → đúng. c) Miền nghiệm (với $x,y\ge 0$) có 3 đỉnh: giao của $x=3y$ và $y=40$ là $(120;40)$; giao của $x=3y$ và $x+y=240$ là $(180;60)$; giao của $y=40$ và $x+y=240$ là $(200;40)$. Miền là một tam giác, không phải tứ giác → sai. d) Từ $x\ge 3y$ và $y\ge 40$ ta có $x+y\ge 4y\ge 160$. Tổng nhỏ nhất là 160 triệu (khi $x=120,y=40$), không phải 220 triệu → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình mô tả đúng các điều kiện: $x+y\le 240$, $y\ge 40$, $x\ge 3y$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(200;40)$ thỏa cả ba bất phương trình: $240\le 240$, $40\ge 40$, $200\ge 120$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm có 3 đỉnh $(120;40)$, $(180;60)$, $(200;40)$ nên là tam giác, không phải tứ giác.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x+y\ge 4y\ge 160$, tổng nhỏ nhất bằng 160 triệu đồng tại $(120;40)$, không phải 220 triệu.

(AI giải đề cho tôi)
Vẽ đường thẳng $3x+2y=6$: đi qua hai điểm $(2;0)$ và $(0;3)$. Vẽ đường thẳng này trên mặt phẳng tọa độ (đường vẽ nét liền vì bất phương trình có dấu $\le$, tức miền nghiệm kể cả biên). Thay tọa độ gốc $O(0;0)$ vào bất phương trình: $3\cdot 0+2\cdot 0=0\le 6$ (đúng), nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $3x+2y=6$ chứa gốc tọa độ $O(0;0)$, kể cả bờ. Vậy miền nghiệm của $3x+2y\le 6$ là nửa mặt phẳng kín (kể cả đường thẳng $3x+2y=6$) phía về phía gốc tọa độ, tức tập hợp các điểm $(x;y)$ thỏa mãn $y\le 3-\frac{3}{2}x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét các đường thẳng: $d_1:\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\iff 4x+3y=12$ (đi qua $(3,0),(0,4)$); $d_2:x-y+1=0$; $d_3:x+2y+3=0$; $d_4:y=-2$.

Tọa độ giao điểm và kiểm tra tính thỏa mãn cả bốn bất phương trình:
- $d_1\cap d_2$: giải $4x+3y=12$, $y=x+1$ $\Rightarrow 7x+3=12\Rightarrow x=\frac{9}{7},y=\frac{16}{7}$. Điểm $\left(\frac{9}{7};\frac{16}{7}\right)$ thỏa mọi BPT.
- $d_1\cap d_3$: $\left(\frac{33}{5};-\frac{24}{5}\right)$, nhưng $y=-\frac{24}{5}<-2$ nên bị loại.
- $d_1\cap d_4$: $y=-2\Rightarrow 4x-6=12\Rightarrow x=\frac{9}{2}$. Điểm $\left(\frac{9}{2};-2\right)$ thỏa mọi BPT.
- $d_2\cap d_3$: $y=x+1\Rightarrow x+2x+2+3=0\Rightarrow x=-\frac{5}{3},y=-\frac{2}{3}$. Điểm $\left(-\frac{5}{3};-\frac{2}{3}\right)$ thỏa mọi BPT.
- $d_2\cap d_4$: $(-3;-2)$, nhưng $-3-4+3=-4<0$ vi phạm $x+2y+3\ge 0$, loại.
- $d_3\cap d_4$: $y=-2\Rightarrow x-4+3=0\Rightarrow x=1$. Điểm $(1;-2)$ thỏa mọi BPT.

Vậy miền nghiệm là tứ giác (kể cả biên) với các đỉnh $\left(\frac{9}{7};\frac{16}{7}\right)$, $\left(\frac{9}{2};-2\right)$, $(1;-2)$, $\left(-\frac{5}{3};-\frac{2}{3}\right)$: phần nằm dưới hoặc trên đường thẳng $4x+3y=12$ (phía chứa gốc tọa độ vì $0\le 1$), phía dưới đường $x-y+1=0$ (phía chứa $(0,0)$ vì $1\ge 0$), phía trên đường $x+2y+3=0$ (phía chứa $(0,0)$ vì $3\ge 0$), và phía trên đường $y=-2$. Miền nghiệm là tập $\{(x,y):\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\le 1,x-y+1\ge 0,x+2y+3\ge 0,y\ge -2\}$, gồm cả biên.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng nha đam, $y$ (ha) là diện tích trồng măng tây, với $x\ge 0,y\ge 0$. Điều kiện: $x+y\le 10$ (diện tích) và $10x+30y\le 150\iff x+3y\le 15$ (số công). Số tiền thu được: $F=4x+6y$ (triệu đồng). Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $(0;0)$, $(10;0)$, $(0;5)$ và giao điểm của $x+y=10$ với $x+3y=15$: trừ hai phương trình ta được $2y=5\Rightarrow y=2,5$, $x=7,5$, tức đỉnh $(7,5;2,5)$. Tính $F$ tại các đỉnh: $F(0;0)=0$; $F(10;0)=40$; $F(0;5)=30$; $F(7,5;2,5)=4\cdot 7,5+6\cdot 2,5=30+15=45$. Vậy $F_{\max }=45$ triệu đồng, đạt khi trồng 7,5 ha nha đam và 2,5 ha măng tây (dùng đủ 10 ha và đúng 150 công).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$, $ax+by+c\ge 0$, ... với $a,b$ không đồng thời bằng 0, và ẩn chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét các phương án: A: $2x+3y>1$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. B: $x-4\le 0$ tương đương $x+0\cdot y-4\le 0$, là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. C: $-5y+2\ge 0$ tương đương $0\cdot x-5y+2\ge 0$, là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. D: $x+2y^2-3<0$ có ẩn $y$ xuất hiện với bậc 2, nên không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn yêu cầu mọi bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (không có đẳng thức, không có ẩn bậc hai hay tích hai ẩn). Xét từng phương án: A có $x^2+y>0$ chứa $x^2$ nên không phải. B có $2x+y=3$ là phương trình (đẳng thức) nên không phải. C có $2x-3y\le 6$ và $x+y>-1$, cả hai đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, thỏa mãn. D có $xy\ge 2$ chứa tích $xy$ nên không phải. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào bất phương trình $3x-y>2$: Với $(0;0)$: $3\cdot 0-0=0$, không thỏa $>2$. Với $(1;2)$: $3\cdot 1-2=1$, không thỏa. Với $(2;1)$: $3\cdot 2-1=5>2$, thỏa mãn. Với $(-1;1)$: $3\cdot (-1)-1=-4$, không thỏa. Vậy cặp số $(2;1)$ là nghiệm của bất phương trình.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào bất phương trình $2x+y<1$: A $(-2;1)$: $2(-2)+1=-3<1$ thỏa. B $(3;-7)$: $2(3)+(-7)=-1<1$ thỏa. C $(0;1)$: $2(0)+1=1$, không nhỏ hơn 1 nên không thỏa. D $(0;0)$: $0<1$ thỏa. Vậy cặp số không là nghiệm là $(0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ $\{\begin{array}{l}x+y\ge 2\\ 2x-y<4\end{array}$: A(0;0): $0+0=0<2$ loại. B(3;1): $3+1=4\ge 2$ thỏa, nhưng $2\cdot 3-1=5<4$ sai, loại. C(1;2): $1+2=3\ge 2$ thỏa và $2\cdot 1-2=0<4$ thỏa, thuộc miền nghiệm. D(-1;2): $-1+2=1<2$ loại. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ $x\ge 0,y\ge 0,x+2y\le 6$: $(0;0)$: $0\le 6$ ✓; $(2;1)$: $2+2=4\le 6$ ✓; $(0;3)$: $0+6=6\le 6$ ✓; $(3;2)$: $3+2\cdot 2=7>6$ ✗. Vậy điểm $(3;2)$ không thuộc miền nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua $(2;0)$ và $(0;1)$ nên có phương trình $x+2y=2$. Miền không gạch chéo (không kể bờ $d$) là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ $O(0;0)$, vì $0+2\cdot 0=0<2$ nên miền nghiệm là $x+2y<2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ đi qua hai điểm (4;0) và (0;−2) nên có phương trình x/4 + y/(−2) = 1, tức x − 2y = 4. Trong hình, phần gạch chéo nằm phía dưới-phải của Δ, nên phần không bị gạch chéo là phía trên-trái, chứa gốc tọa độ O(0;0). Thay O vào: 0 − 2·0 = 0 ≤ 4, nên miền nghiệm là x − 2y ≤ 4 (kể cả bờ vì Δ vẽ nét liền). Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích kê bàn ghế: $0,5x+1,2y$. Diện tích lưu thông tối thiểu $12{\text{m}}^2$ nên diện tích kê bàn ghế tối đa $60-12=48{\text{m}}^2$, tức $0,5x+1,2y\le 48$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, các đỉnh của miền tứ giác ABCD là A(1;2), B(1;4), C(4;3), D(4;1). Vì T(x;y)=2x−3y là hàm bậc nhất nên giá trị nhỏ nhất trên miền đa giác đạt tại một đỉnh. Tính: T(A)=2·1−3·2=−4; T(B)=2·1−3·4=−10; T(C)=2·4−3·3=−1; T(D)=2·4−3·1=5. So sánh: min T = −10 tại B(1;4). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ $(I)$ gồm ba bất phương trình bậc nhất hai ẩn nên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn → a đúng. Xét $(1;2)$: $y=2$ không thỏa $y>5$ (và $-2+12=4$ không $>4$) nên không là nghiệm → mệnh đề b đúng. Xét $(4;3)$: $y=3$ không thỏa $y>5$ (và $-8+18=10>4$, $4+6=10\le 30$ nhưng $y>5$ sai) → không là nghiệm → c sai. Xét $(-2;-1)$: $y=-1$ không thỏa $y>5$ → không là nghiệm → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi bất phương trình trong hệ đều bậc nhất đối với hai ẩn $x$, $y$ nên hệ $(I)$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(1;2)$: $y=2$ không thỏa $y>5$ (và $-2(1)+6(2)=10>4$, $1+4=5\le 30$ nhưng bất phương trình $y>5$ đã sai), nên $(1;2)$ không là nghiệm của hệ → mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(4;3)$: $y=3$ không thỏa $y>5$, nên $(4;3)$ không là nghiệm của hệ → mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(-2;-1)$: $y=-1$ không thỏa $y>5$, nên $(-2;-1)$ không là nghiệm của hệ → mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình: $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 4$. Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh $O(0;0)$, $A(4;0)$, $B(0;4)$ (giao của $x+y=4$ với hai trục tọa độ).
a) Thay $I(1;2)$: $1\ge 0$, $2\ge 0$, $1+2=3\le 4$ đều thỏa nên $I$ thuộc miền nghiệm → đúng.
b) Miền nghiệm đúng là tam giác $OAB$ với $O(0;0)$, $A(4;0)$, $B(0;4)$ → đúng.
c) Diện tích tam giác vuông cân tại $O$ với hai cạnh góc vuông bằng 4 là $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8\ne 16$ → sai.
d) $F(x;y)=3x+2y$ là hàm tuyến tính nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của miền: $F(O)=0$, $F(A)=3\cdot 4+0=12$, $F(B)=0+2\cdot 4=8$. Vậy $\max F=12$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $I(1;2)$: $1\ge 0$, $2\ge 0$, $1+2=3\le 4$ đều thỏa nên $I$ thuộc miền nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác $OAB$ với $O(0;0)$, $A(4;0)$, $B(0;4)$, gồm cả biên.
c) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác vuông cân tại $O$ cạnh góc vuông 4 là $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8\ne 16$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm tuyến tính đạt max tại đỉnh: $F(O)=0$, $F(A)=12$, $F(B)=8$, nên $\max F=12$.