Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại hệ: $x-y\ge -4$, $x+y\le 0$, $x\le 0$, $y\ge -2$. Xét các đường thẳng biên: $x-y+4=0$, $x+y=0$, $x=0$, $y=-2$.

Tìm các đỉnh của miền nghiệm:
- Giao $x=0$ và $y=-2$: điểm $(0;-2)$. Thử: $x+y=-2\le 0$, $x-y+4=6\ge 0$ — thỏa.
- Giao $x=0$ và $x+y=0$: điểm $(0;0)$. Thử: $x-y+4=4\ge 0$, $y+2=2\ge 0$ — thỏa.
- Giao $x+y=0$ và $x-y+4=0$: giải $x=-y$ và $x-y=-4$ $\Rightarrow y=2,x=-2$: điểm $(-2;2)$. Thử: $x\le 0$, $y+2=4\ge 0$ — thỏa.
- Giao $x-y+4=0$ và $y=-2$: $x+2+4=0\Rightarrow x=-2$: điểm $(-2;-2)$. Thử: $x+y=-4\le 0$, $x\le 0$ — thỏa.
- Giao $x=0$ và $x-y+4=0$: $(0;4)$ nhưng $x+y=4>0$ — không thỏa.
- Giao $x+y=0$ và $y=-2$: $(2;-2)$ nhưng $x>0$ — không thỏa.

Vậy miền nghiệm là tứ giác với 4 đỉnh $(-2;-2),(0;-2),(0;0),(-2;2)$, có 4 cạnh. Suy ra $n=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng: $x-y-1=0$, $x+4y+9=0$, $x-2y+3=0$.

- Giao của $x-y-1=0$ và $x+4y+9=0$: thay $x=y+1$ vào phương trình thứ hai: $y+1+4y+9=0\Rightarrow y=-2$, $x=-1$. Kiểm tra $x-2y+3=-1+4+3=6\ge 0$: thỏa. Đỉnh $A(-1;-2)$.
- Giao của $x-y-1=0$ và $x-2y+3=0$: thay $x=y+1$: $y+1-2y+3=0\Rightarrow y=4$, $x=5$. Kiểm tra $x+4y+9=5+16+9=30\ge 0$: thỏa. Đỉnh $B(5;4)$.
- Giao của $x+4y+9=0$ và $x-2y+3=0$: từ $x=-9-4y$, thay vào: $-9-4y-2y+3=0\Rightarrow y=-1$, $x=-5$. Kiểm tra $x-y-1=-5+1-1=-3\le 0$: thỏa. Đỉnh $C(-5;-1)$.

Vì $T=3x-2y-4$ là hàm tuyến tính nên giá trị nhỏ nhất đạt tại một đỉnh của miền nghiệm:
- $T(A)=3(-1)-2(-2)-4=-3+4-4=-3$
- $T(B)=3(5)-2(4)-4=15-8-4=3$
- $T(C)=3(-5)-2(-1)-4=-15+2-4=-17$

Vậy $T$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_0=-5$, $y_0=-1$, do đó $x_0^2+y_0^2=25+1=26$.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $x+y\le 9$ (nước lọc), $30x+10y\le 210\iff 3x+y\le 21$ (đường), $x+4y\le 24$ (hương liệu), $x,y\ge 0$. Hàm mục tiêu $P=6x+8y$. Các đỉnh của miền nghiệm: $(0;0)$, $(7;0)$, giao $x+y=9$ với $3x+y=21$ là $(6;3)$ (thỏa $x+4y=18\le 24$), giao $x+y=9$ với $x+4y=24$ là $(4;5)$ (thỏa $3x+y=17\le 21$), và $(0;6)$. Điểm giao $3x+y=21$ với $x+4y=24$ là $\left(\frac{60}{11};\frac{51}{11}\right)$ nhưng $x+y=\frac{111}{11}>9$ nên không thuộc miền nghiệm. Tính $P$: tại $(7;0)$: $42$; tại $(6;3)$: $60$; tại $(4;5)$: $64$; tại $(0;6)$: $48$. Vậy $P$ lớn nhất bằng $64$ tại $x=4,y=5$, do đó $x+y=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ (1): x+4y>0 và 2x+y+3≤0.
a) Thay (-3;1): x+4y=-3+4=1>0 thỏa; 2x+y+3=-6+1+3=-2≤0 thỏa. Vậy (-3;1) thuộc miền nghiệm → đúng.
b) Tại O(0;0): x+4y=0 không thỏa 0>0 → O không thuộc miền nghiệm → sai.
c) Miền nghiệm là giao của hai nửa mặt phẳng bờ x+4y=0 (không kể bờ) và 2x+y+3=0 (kể bờ); hai bờ cắt nhau tại (-12/7; 3/7) nên miền nghiệm là một góc (miền vô hạn dạng góc nhọn giữa hai đường thẳng), không phải miền tam giác → sai.
d) Hai đường thẳng bờ là x+4y=0 (đi qua O) và 2x+y+3=0 (đi qua (-3/2;0) và (0;-3)). Miền nghiệm là phần nằm phía trên đường thẳng x+4y=0 và phía dưới (trái) đường thẳng 2x+y+3=0, tức góc giữa hai đường này về phía trái — đúng là phần không tô màu trong hình vẽ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(-3;1): x+4y=1>0 và 2x+y+3=-2≤0, thỏa cả hai bất phương trình nên thuộc miền nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại O(0;0): x+4y=0 không thỏa x+4y>0 nên O không thuộc miền nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là giao hai nửa mặt phẳng, có dạng một góc vô hạn (hai bờ cắt nhau tại (-12/7;3/7)), không phải tam giác.
d) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là góc giữa hai bờ x+4y=0 và 2x+y+3=0 phía trái, đúng bằng phần không tô màu trong hình.

(AI giải đề cho tôi)
Vẽ đường thẳng $2x+3y=0$ (đi qua gốc $O$ và ví dụ điểm $(-3;2)$), vẽ nét đứt vì bất phương trình là nghiêm ngặt. Thay điểm thử $M(1;0)$: $2\cdot 1+3\cdot 0=2>0$, không thỏa mãn, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa $M(1;0)$, tức nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $2x+3y=0$ chứa điểm $(-1;0)$ (vì $2\cdot (-1)+0=-2<0$). Vậy miền nghiệm của $2x+3y<0$ là nửa mặt phẳng nằm về phía có $2x+3y<0$, tức phía chứa điểm $(-1;0)$, không kể bờ $2x+3y=0$ (phần gạch chéo, đường biên nét đứt).

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng điểm vào $2x-4y>-3$: tại $(0;0)$ ta có $0>-3$ (đúng). Các điểm khác: $(-4;2)$: $-8-8=-16>-3$ sai; $(-2;2)$: $-4-8=-12>-3$ sai; $(-5;3)$: $-10-12=-22>-3$ sai. Vậy miền nghiệm chứa điểm $(0;0)$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào $3x+2y-6$: A$(-2;1)$: $-4+2-6=-8<0$ (thuộc miền nghiệm); B$(2;3)$: $6+6-6=6>0$ (không thuộc miền nghiệm); C$(2;-1)$: $6-2-6=-2<0$ (thuộc); D$(0;0)$: $-6<0$ (thuộc). Vậy miền nghiệm không chứa điểm $(2;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $3x-2y>-6$ có đường biên $3x-2y=-6$ đi qua $(-2;0)$ và $(0;3)$, hệ số góc dương $\frac{3}{2}$. Thử $O(0;0)$: $0>-6$ đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng không gạch chứa $O$, tức phía dưới/phải đường thẳng biên (miền $y<\frac{3}{2}x+3$).

- Hình A: đường biên cắt trục tại $(2;0)$ và $(0;3)$, hệ số góc âm — sai đường biên, loại.
- Hình B: đường biên đi qua $(-2;0)$ và $(0;3)$ (hệ số góc dương), phần bị gạch nằm phía trên/trái đường thẳng (miền $3x-2y<-6$), phần không gạch chứa $O$ — đúng miền nghiệm của $3x-2y>-6$.
- Hình C: cùng đường biên $(-2;0)$, $(0;3)$ nhưng phần bị gạch là phía phải/dưới chứa $O$, phần không gạch là miền $3x-2y<-6$ — loại.
- Hình D: đường biên có hệ số góc âm, đi qua $(-2;0)$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ $-3$ (nhãn 3 nằm dưới gốc $O$), tương ứng đường thẳng $3x+2y=-6$ — sai đường biên, loại. Dù phần không gạch của D có chứa $O$, đường biên không phải $3x-2y=-6$ nên D không thể là miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Thử lần lượt từng điểm vào hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}2x-5y-1>0\\ 2x+y+5>0\\ x+y+1<0\end{array}$$.
- $(0;0)$: $-1>0$ sai.
- $(1;0)$: $2-1=1>0$ đúng; $2+5=7>0$ đúng; $1+1=2<0$ sai.
- $(0;-2)$: $0-5(-2)-1=9>0$ đúng; $0-2+5=3>0$ đúng; $0-2+1=-1<0$ đúng. Điểm này thỏa cả ba bất phương trình.
- $(0;2)$: $-11>0$ sai.
Vậy điểm $(0;-2)$ thuộc miền nghiệm của hệ.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình $ax+by\le c$ được gọi là miền nghiệm của nó. Do đó C đúng. A sai vì phủ định của định nghĩa; B sai vì tập nghiệm của $2x-3y+1<0$ là nửa mặt phẳng (không kể bờ), không phải đường thẳng; D sai vì nghiệm của bất phương trình nói chung không phải tập rỗng.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào bất phương trình $2x-4y>-3$:
- $(0;0)$: $2\cdot 0-4\cdot 0=0>-3$ thỏa mãn.
- $(-4;2)$: $-8-8=-16>-3$ sai.
- $(-2;2)$: $-4-8=-12>-3$ sai.
- $(-5;3)$: $-10-12=-22>-3$ sai.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm $(0;0)$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào vế trái $3x+2y-6$: Điểm $(-2;1)$: $3(-2)+2(1)-6=-8<0$ (thỏa). Điểm $(2;3)$: $3(2)+2(3)-6=6>0$ (không thỏa, nên không thuộc miền nghiệm). Điểm $(2;-1)$: $3(2)+2(-1)-6=-2<0$ (thỏa). Điểm $(0;0)$: $-6<0$ (thỏa). Vậy miền nghiệm là phần mặt phẳng không chứa điểm $(2;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên $3x-2y=-6$ đi qua hai điểm $(-2;0)$ và $(0;3)$. Thử điểm $O(0;0)$: $3\cdot 0-2\cdot 0=0>-6$ đúng, nên miền nghiệm của $3x-2y>-6$ là nửa mặt phẳng không gạch chứa gốc tọa độ $O$ (phía dưới-phải đường thẳng). Hình C có đường biên qua $(-2;0)$ và $(0;3)$, phần không gạch nằm phía dưới-phải và chứa $O$, đúng là miền nghiệm. Hình B tuy có cùng đường biên nhưng phần không gạch không phải phía chứa $O$ (thử điểm $(-2;3)$: $3\cdot (-2)-2\cdot 3=-12>-6$ sai). Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng bờ $3x+2y=6$ đi qua hai điểm $(2;0)$ và $(0;3)$. Thử điểm $O(0;0)$: $3\cdot 0+2\cdot 0=0<6$, nên gốc tọa độ không thuộc miền nghiệm của $3x+2y>6$. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $3x+2y=6$ (không kể bờ, vì dấu bất đẳng thức chặt) không chứa $O$, tức phía trên-phải của đường thẳng. Theo quy ước của đề (như Câu 20, miền nghiệm là phần không gạch chéo), chỉ hình A có bờ đi qua $(2;0)$ và $(0;3)$ với phần không gạch chéo là nửa mặt phẳng không chứa $O$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng cặp số với hệ $\{\begin{array}{l}x+y-2\le 0\\ 2x-3y+2>0\end{array}$: Với $(0;0)$: $0-2\le 0$ đúng, $2>0$ đúng → là nghiệm. Với $(1;1)$: $1+1-2=0\le 0$ đúng, $2-3+2=1>0$ đúng → là nghiệm. Với $(-1;1)$: $-1+1-2=-2\le 0$ đúng, $2(-1)-3(1)+2=-3>0$ sai → không là nghiệm. Với $(-1;-1)$: $-1-1-2=-4\le 0$ đúng, $-2+3+2=3>0$ đúng → là nghiệm. Vậy cặp số không là nghiệm là $(-1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ $\{\begin{array}{l}2x-5y-1>0\\ 2x+y+5>0\\ x+y+1<0\end{array}$: A(0;0): $-1>0$ sai. B(1;0): $1>0$ đúng, $7>0$ đúng, $2<0$ sai. C(0;-2): $2(0)-5(-2)-1=9>0$ đúng; $2(0)+(-2)+5=3>0$ đúng; $0+(-2)+1=-1<0$ đúng. D(0;2): $-11>0$ sai. Vậy điểm $(0;-2)$ thuộc miền nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $(0;3)$ và $(2;0)$ có phương trình $3x+2y=6$. Phần không gạch chéo nằm phía trên trục $Ox$ (nên $y>0$) và phía dưới đường thẳng (thử điểm $O(0;0)$: $3\cdot 0+2\cdot 0=0<6$, nên $3x+2y<6$). Vậy miền không gạch chéo là miền nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}y>0\\ 3x+2y<6\end{array}$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc $x+2y-10\le 0$ cho ta $F=x+2y\le 10$. Điểm $(x;y)=(2;4)$ thỏa mọi ràng buộc: $0\le 4\le 4$, $x\ge 0$, $2-4-1=-3\le 0$, $2+8-10=0\le 0$, và tại đó $F=10$. Vậy $\max F=10$, đạt tại $(2;4)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Miền xác định là tam giác với 3 đỉnh: giao của $y=2x+2$ và $2y=x+4$ là $(0;2)$, $F=2$; giao của $y=2x+2$ và $x+y=5$ là $(1;4)$, $F=3$; giao của $2y=x+4$ và $x+y=5$ là $(2;3)$, $F=1$. Vậy $\min F=1$ tại $x=2,y=3$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (trăm m²) là diện tích đậu, $y$ (trăm m²) là diện tích cà. Ràng buộc: $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 8$, $2x+3y\le 18$ (công làm). Hàm lợi nhuận $F=3x+4y$ (trăm nghìn đồng). Xét các đỉnh miền ràng buộc: $(0,0)$: $F=0$; $(8,0)$: $F=24$; $(0,6)$: $F=24$; giao của $x+y=8$ và $2x+3y=18$: $x=6$, $y=2$, $F=3\cdot 6+4\cdot 2=26$ (lớn nhất). Vậy trồng 600 m² đậu và 200 m² cà, thu được nhiều tiền nhất (26 triệu đồng), tổng công làm $=2\cdot 6+3\cdot 2=18$ công $\le 180$ công. Đáp án A.