Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Điều kiện: $2x-2>0\iff x>1$. Bất phương trình ${\log }_2(2x-2)\le 3\iff 2x-2\le 2^3=8\iff x\le 5$. Kết hợp điều kiện: $1<x\le 5$, tập nghiệm $S=(1;5]$.

b) Điều kiện: $2x+1>0\iff x>-\frac{1}{2}$. Vì cơ số $\frac{1}{3}<1$, bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{3}}(2x+1)>-2\iff 2x+1<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=9\iff x<4$. Kết hợp điều kiện: $-\frac{1}{2}<x<4$, tập nghiệm $S=\left(-\frac{1}{2};4\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-3x^2}=5^{3x^2}$. Bất phương trình trở thành $5^{3x^2}<5^{5x+2}$, vì cơ số $5>1$ nên $3x^2<5x+2$, tức $3x^2-5x-2<0$. Phân tích: $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, nên $-\frac{1}{3}<x<2$. Các nghiệm nguyên là $x=0$ và $x=1$, tổng cộng 2 nghiệm. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $a^2>a^3$, vì $a>0$ nên chia hai vế cho $a^2$ được $1>a$, tức $0<a<1$. Xét ${\log }_b\frac{1}{3}<{\log }_b\frac{1}{4}$: do $\frac{1}{3}>\frac{1}{4}$ mà logarit với cơ số $b$ cho giá trị tại $\frac{1}{3}$ nhỏ hơn tại $\frac{1}{4}$, hàm ${\log }_{b}x$ nghịch biến, suy ra $0<b<1$. Vậy $0<a<1$ và $0<b<1$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+1>0\iff x>-1$. Bất phương trình ${\log }_2(x+1)<3\iff x+1<8\iff x<7$. Kết hợp điều kiện: $-1<x<7$, tức $S=(-1;7)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $5>1$, hàm số $5^x$ đồng biến nên $5^x\le 19\iff x\le {\log }_{5}19$. Vậy $S=(-\infty ;{\log }_{5}19]$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $\frac{4}{5}\in (0;1)$ nên hàm số $y={\left(\frac{4}{5}\right)}^x$ nghịch biến. Do đó ${\left(\frac{4}{5}\right)}^x\ge 258\iff x\le {\log }_{\frac{4}{5}}258$. Vậy $S=\left(-\infty ;{\log }_{\frac{4}{5}}258\right]$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x>0$. Vì cơ số $4>1$, bất phương trình ${\log }_{4}x>-4$ tương đương $x>4^{-4}=\frac{1}{256}$. Vậy $S=\left(\frac{1}{256};+\infty \right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $6x+3>0$ và $x+4>0$, tức $x>-\frac{1}{2}$. Với cơ số $5>1$, bất phương trình tương đương $6x+3>x+4\iff 5x>1\iff x>\frac{1}{5}$. Kết hợp điều kiện $x>-\frac{1}{2}$ ta được $S=\left(\frac{1}{5};+\infty \right)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $5^{x-1}<25^x=5^{2x}$. Vì cơ số $5>1$ nên so sánh số mũ: $x-1<2x\iff -1<x$. Vậy tập nghiệm là $(-1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $4-x>0\iff x<4$. Vì cơ số $0<0,2<1$ nên hàm log nghịch biến: ${\log }_{0,2}(4-x)<-1\iff 4-x>(0,2{)}^{-1}=5\iff x<-1$. Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là $(-\infty ;-1)$, có dạng $(-\infty ;a)$ với $a=-1$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $2>1$, hàm $2^x$ đồng biến nên $2^x\le 3⟺x\le {\log }_{2}3$. Vậy $S=(-\infty ;{\log }_{2}3]$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $1-x>0$ và $2x+3>0$, tức $-\frac{3}{2}<x<1$. Vì cơ số $\frac{1}{3}\in (0;1)$ nên hàm logarit nghịch biến, do đó ${\log }_{\frac{1}{3}}(1-x)>{\log }_{\frac{1}{3}}(2x+3)⟺1-x<2x+3⟺-3x<2⟺x>-\frac{2}{3}$. Kết hợp với điều kiện $-\frac{3}{2}<x<1$ ta được $S=\left(-\frac{2}{3};1\right)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: x−40>0 và 60−x>0 nên D=(40;60), do đó b−a=60−40=20 → a) đúng. Bất phương trình: log[(x−40)(60−x)]<2 ⟺ (x−40)(60−x)<100 ⟺ −x²+100x−2400<100 ⟺ x²−100x+2500>0 ⟺ (x−50)²>0 ⟺ x≠50. Kết hợp điều kiện: S=(40;50)∪(50;60). Vì cả hai logarit cùng xác định trên (40;60), bất phương trình tương đương log[(x−40)(60−x)]<2 → c) đúng. Số nguyên dương trong (40;60) khác 50: 41→59 trừ 50, tức 19 số → b) đúng. Số tự nhiên chẵn trong tập nghiệm: 42,44,46,48,52,54,56,58 → 8 số → d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
D=(40;60) nên b−a=20.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm nguyên dương: 41..59 trừ 50 → 19 số.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên miền xác định (40;60) cả hai logarit đều xác định nên tương đương.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số chẵn trong (40;60), x≠50: 42,44,46,48,52,54,56,58 → 8 số.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $y={\log }_{4}x\le -1$ khi $0<x\le 4^{-1}=\frac{1}{4}$, nên $a=\frac{1}{4}$. Khi đó $S=a^2+a+1=\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+1=\frac{21}{16}=1,3125\approx 1,31$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{a}x>b$ với điều kiện $x>0$. Vì $0<a<1$ nên hàm số ${\log }_a$ nghịch biến, do đó lấy lũy thừa cơ số $a$ hai vế (đảo chiều bất đẳng thức): $x<a^b$. Kết hợp điều kiện $x>0$ ta được $0<x<a^b$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $7>1$, bất phương trình $7^{2x}<7^{x+1}$ tương đương $2x<x+1$, suy ra $x<1$. Vậy $S=(-\infty ;1)$, khớp với đáp án C (mã đề 112).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+2>0$ và $6-3x>0$ tức $-2<x<2$. Vì cơ số $0,5<1$ nên hàm ${\log }_{0,5}$ nghịch biến, bất phương trình tương đương $x+2\le 6-3x\iff 4x\le 4\iff x\le 1$. Kết hợp điều kiện: $-2<x\le 1$. Các nghiệm nguyên: $x\in \{-1,0,1\}$, có 3 nghiệm. Khớp đáp án nguồn D (bảng đáp án mã đề 111, Câu 11: D).

ĐK: $x>\frac{3}{4}$ (0,25 đ)
$(\ast )\Rightarrow {\log }_3(4x-3{)}^2-{\log }_3(2x+3)\le 2$ $\Rightarrow {\log }_3\frac{(4x-3{)}^2}{2x+3}\le 2$ $\Rightarrow 16x^2-42x-18\le 0\iff x\in \left[-\frac{3}{8};3\right]$ (0,5 đ)
So sánh đk $x\in \left(\frac{3}{4};3\right]$ (0,25 đ)

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_2(x-1)<3$ có điều kiện $x-1>0\iff x>1$. Với cơ số $2>1$, ta có $x-1<2^3=8\iff x<9$. Kết hợp điều kiện: $1<x<9$, tức $S=(1;9)$. Khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (Câu 5, Mã đề 111: A).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{\frac{2}{3}}x>2$ có điều kiện $x>0$. Vì cơ số $0<\frac{2}{3}<1$ nên hàm logarit nghịch biến, do đó ${\log }_{\frac{2}{3}}x>2\iff x<{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$. Kết hợp điều kiện $x>0$ ta được tập nghiệm $\left(0;\frac{4}{9}\right)$. Khớp với đáp án B (theo bảng đáp án mã đề 1001, câu 9 là B).