Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-4x^3+4x=-4x(x-1)(x+1)$. $y^{\prime }=0\iff x=0,x=\pm 1$. Xét dấu $y^{\prime }$: trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }>0$; trên $(-1;0)$, $y^{\prime }<0$; trên $(0;1)$, $y^{\prime }>0$; trên $(1;+\infty )$, $y^{\prime }<0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và $x=1$ với $y(-1)=y(1)=-1+2+10=11$, tức hai điểm cực đại $(-1;11)$ và $(1;11)$; hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ với $y(0)=10$, tức điểm cực tiểu $(0;10)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=-5$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-5$ là điểm cực tiểu. Tại $x=1$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=1$ là điểm cực đại. Tại $x=\sqrt{3}$, hàm số không xác định (tiệm cận đứng, $y\to -\infty$) nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=e^x-x+3$, có $y^{\prime }=e^x-1$. a) $y^{\prime }<0$ khi $x<0$ và $y^{\prime }>0$ khi $x>0$, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty )$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$ → sai. b) $y^{\prime }=0\iff x=0$ và $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=0$ → sai. c) Tại $x=0$: $y=e^0-0+3=4$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;4)$ → đúng. d) Tại $x=0$ ta có $y=4\ne 0$, nên đồ thị không đi qua gốc tọa độ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=e^x-1$ đổi dấu qua $x=0$: nghịch biến trên $(-\infty ;0)$, đồng biến trên $(0;+\infty )$, nên không nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0$ tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$, không phải cực đại.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=e^0-0+3=4$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=0$ thì $y=4\ne 0$, nên đồ thị không đi qua gốc tọa độ.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=3$, và $f(3)=-4$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm $(3;-4)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x-1)(x-2{)}^2(x-3{)}^3(x-4{)}^4$. Tại $x=1$: lũy thừa lẻ (mũ 1), $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=1$ là điểm cực đại. Tại $x=2$: lũy thừa chẵn (mũ 2), $f^{\prime }$ không đổi dấu, không phải cực trị. Tại $x=3$: lũy thừa lẻ (mũ 3), $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu. Tại $x=4$: lũy thừa chẵn (mũ 4), $f^{\prime }$ không đổi dấu, không phải cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Tại $x=0$: $y=5$; tại $x=2$: $y=-8+12+5=9$. Vậy hai điểm cực trị là $A(0;5)$ và $B(2;9)$. Độ dài $AB=\sqrt{(2-0{)}^2+(9-5{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại điểm có tung độ $y=2$ (đỉnh cực đại trên trục $Oy$), nên giá trị cực đại bằng 2 → mệnh đề a) đúng. Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt (một nghiệm âm và hai nghiệm dương), nên phương trình $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ có ba nghiệm phân biệt → b) đúng, và có hai nghiệm dương phân biệt → c) đúng. Vì có một nghiệm âm nên phương trình không thể có ba nghiệm dương phân biệt → mệnh đề d) sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, và tại mỗi điểm đó $f^{\prime }$ đổi dấu (đi từ dương sang âm hoặc âm sang dương). Vì $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, tại mỗi nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ mà đạo hàm đổi dấu, hàm số đạt một điểm cực trị. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị, tương ứng phương án B (đáp án khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: đường cong chỉ cắt trục hoành tại $x=-1$, tại đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương. Tại $x=0$ đồ thị có điểm $(0;3)$ và tại $x=1$ có điểm cực tiểu $(1;2)$ nằm phía trên trục hoành, tức $f^{\prime }(1)=2\ne 0$. Do đó:
- A sai: $f^{\prime }(0)=3\ne 0$ nên $f(x)$ không đạt cực đại tại $x=0$.
- B sai: $f(x)$ chỉ có đúng một điểm cực trị (cực tiểu tại $x=-1$), vì $f^{\prime }(x)=0$ chỉ tại $x=-1$.
- C đúng: tại $x=-1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=-1$.
- D sai: $f^{\prime }(1)=2\ne 0$ nên $f(x)$ không đạt cực trị tại $x=1$.
Đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2(x-3{)}^3(2x+3)$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)$: $x=1$ (bội 2), $x=3$ (bội 3), $x=-\frac{3}{2}$ (bội 1). Xét dấu $f^{\prime }$:
- Qua $x=-\frac{3}{2}$: $f^{\prime }$ đổi dấu (từ $+$ sang $-$ vì $(2x+3)$ đổi dấu, các nhân tử khác giữ dấu) $\Rightarrow$ cực đại.
- Qua $x=1$: $(x-1{)}^2\ge 0$ nên $f^{\prime }$ không đổi dấu $\Rightarrow$ không phải cực trị.
- Qua $x=3$: $(x-3{)}^3$ đổi dấu nên $f^{\prime }$ đổi dấu (từ $-$ sang $+$) $\Rightarrow$ cực tiểu.
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có điểm cực đại $(-1;3)$ và điểm cực tiểu $(1;-1)$. a) Sai: điểm cực tiểu là $x=1$, không phải $x=-1$. b) Sai: trên $[-3;0]$, hàm đồng biến đến $x=-1$ rồi nghịch biến, nên GTLN là $f(-1)=3$, không phải $-1$. c) Sai: hàm bậc ba có 2 điểm cực trị (một cực đại, một cực tiểu), không phải 3. d) Đúng: hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, nghịch biến trên $(-1;1)$, đồng biến trên $(1;+\infty )$, nên nghịch biến trên $(-1;1)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cho thấy điểm cực tiểu của hàm số là $(1;-1)$, tức điểm cực tiểu tại $x=1$, không phải $x=-1$ (đây là điểm cực đại).
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-3;0]$, hàm đồng biến trên $[-3;-1]$ và nghịch biến trên $[-1;0]$, nên GTLN đạt tại $x=-1$ với giá trị $f(-1)=3$, không phải $-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số bậc ba có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ là tam thức bậc hai có 2 nghiệm phân biệt $x=\pm 1$, nên hàm số chỉ có 2 điểm cực trị (một cực đại tại $x=-1$, một cực tiểu tại $x=1$), không phải 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)>0$ với $x<-1$, $f^{\prime }(x)<0$ với $-1<x<1$, $f^{\prime }(x)>0$ với $x>1$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$, đồng biến trên $(1;+\infty )$; $f(0)=0$ (cực đại), $f(1)=-1$ (cực tiểu). a) Giá trị cực tiểu bằng $-1$ chứ không phải 1 → sai. b) Khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$ nên hàm không có giá trị lớn nhất → sai. c) $y^{\prime }$ đổi dấu + thành - tại $x=0$ và - thành + tại $x=1$, hàm liên tục nên đạt cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=1$ → đúng. d) Hàm có hai cực trị ($x=0$ và $x=1$) → sai.
a) Giá trị cực tiểu của hàm số là $f(1)=-1$, không phải 1.
b) Trên $(1;+\infty )$ hàm đồng biến và $y\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, nên hàm không có giá trị lớn nhất (mặc dù có giá trị nhỏ nhất bằng $-1$).
c) $y^{\prime }$ đổi dấu từ + sang - khi qua $x=0$ nên hàm đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=0$; $y^{\prime }$ đổi dấu từ - sang + khi qua $x=1$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=-1$.
d) Hàm số có hai điểm cực trị: $x=0$ (cực đại) và $x=1$ (cực tiểu).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-1$ (điểm cực tiểu), từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ (điểm cực đại), từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ (điểm cực tiểu). Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại là $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ chỉ cắt trục hoành tại đúng một điểm $x_0$, với $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<x_0$ và $f^{\prime }(x)<0$ khi $x>x_0$. Tại $x_0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên $f$ đạt cực đại tại $x_0$. Vậy hàm số $y=f(x)$ có đúng 1 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ (hình ở đầu trang 9) cắt trục hoành tại ba điểm. Xét dấu $f^{\prime }$: hàm đi từ dưới lên cắt trục hoành lần thứ nhất (dấu đổi từ $-$ sang $+$) cho điểm cực tiểu; sau đó $f^{\prime }>0$, đồ thị đạt đỉnh rồi đi xuống cắt trục hoành lần thứ hai (dấu đổi từ $+$ sang $-$) cho một điểm cực đại; tiếp theo $f^{\prime }<0$, đạt đáy rồi đi lên cắt trục hoành lần thứ ba (dấu đổi từ $-$ sang $+$) cho điểm cực tiểu thứ hai. Vì $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, các điểm mà $f^{\prime }$ đổi dấu đều là điểm cực trị. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-2;2]$: hàm giảm trên $(-2;-1)$, đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=-1$ (điểm thấp nhất của đồ thị, $f(-1)=0$), rồi tăng trên $(-1;1)$, đạt cực đại tại $x=1$ ($f(1)=4$), sau đó giảm trên $(1;2)$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=1,3,5$; đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=3$ nên $f$ đạt cực đại tại $x=3$. Hàm $g(x)=f(x-1)-2021$ có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x-1)$, nên $g$ đạt cực đại khi $x-1=3$, tức $x=4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $g(x)=f(x+2022)$, khi đó $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x+2022)$. Số cực trị của $g$ bằng số nghiệm của $f^{\prime }(x+2022)=0$ có đổi dấu, tức bằng số nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ có đổi dấu. Từ đồ thị của $y=f^{\prime }(x)$ (đường cong bậc ba đi qua các điểm $x=-2$, $x=0$, $x=2$ và đổi dấu tại cả ba điểm: âm→dương tại $x=-2$, dương→âm tại $x=0$, âm→dương tại $x=2$), hàm $f$ có 3 điểm cực trị. Phép tịnh tiến ngang không làm thay đổi số cực trị, vậy $y=f(x+2022)$ có 3 cực trị. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x-3$ là hàm đa thức nên tập xác định $D=\mathbb{R}$ (a đúng).
$y^{\prime }=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$; $y^{\prime }<0$ khi $x\in (1;3)$ nên hàm nghịch biến trên $(1;3)$, còn trên $(0;1)$ hàm đồng biến, do đó khẳng định b sai.
$y^{\prime \prime }=2x-4$, $y^{\prime \prime }(1)=-2<0$ nên $x=1$ là điểm cực đại, $y_{CD}=y(1)=\frac{1}{3}-2+3-3=-\frac{5}{3}$ (c đúng).
Trên đoạn $[-2;4]$: $y(-2)=-\frac{59}{3}$, $y(1)=-\frac{5}{3}$, $y(3)=-3$, $y(4)=\frac{64}{3}-32+12-3=\frac{64}{3}-23=-\frac{5}{3}$. So sánh: ${\max }_{[-2;4]}y=-\frac{5}{3}$ tại $x=1$ và $x=4$ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hàm đa thức nên xác định trên toàn $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=x^2-4x+3<0$ chỉ trên $(1;3)$, còn trên $(0;1)$ hàm đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $x=1$ là điểm cực đại, $y(1)=-\frac{5}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) So sánh $y(-2)=-\frac{59}{3}$, $y(1)=-\frac{5}{3}$, $y(3)=-3$, $y(4)=-\frac{5}{3}$, giá trị lớn nhất là $-\frac{5}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có điểm cực tiểu $(-1;-2)$ và điểm cực đại $(1;2)$.
a) Đồ thị có hai cực trị (một cực đại, một cực tiểu) → Đúng.
b) Giá trị cực đại bằng $2$ (tại $x=1$), không phải $1$ → Sai.
c) Trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu đến điểm cực đại nên hàm số đồng biến → Đúng.
d) Hàm $y=x^3-3x$ có cực đại tại $x=-1$ với giá trị $2$ và cực tiểu tại $x=1$ với giá trị $-2$, trái với hình vẽ (cực đại tại $x=1$, giá trị $2$; thực chất đồ thị khớp với $y=3x-x^3$) → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có một điểm cực tiểu tại $x=-1$ và một điểm cực đại tại $x=1$, tức là có hai cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại của hàm số bằng $2$ (tại $x=1$), không phải $1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-1;1)$, đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu $(-1;-2)$ đến điểm cực đại $(1;2)$ nên hàm số đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=x^3-3x$ có cực đại tại $x=-1$ (giá trị $2$) và cực tiểu tại $x=1$ (giá trị $-2$), trái với hình vẽ nơi cực đại tại $x=1$ có giá trị $2$ và cực tiểu tại $x=-1$ có giá trị $-2$.