Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và giá trị cực đại tương ứng là $y=8$.

Đạo hàm: $y^{\prime }=-3x^2-3x=-3x(x+1)$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-1$. Qua điểm $x=0$, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x=0$ là điểm cực đại của hàm số.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{2x^2-8x-24}{(x-2{)}^2}=\frac{2(x-6)(x+2)}{(x-2{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=-2$ hoặc $x=6$. Bảng xét dấu cho thấy $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=-2$ nên điểm cực đại của hàm số là $x=-2$.

Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=3x^2+9x+6=3(x+1)(x+2)=0\iff x=-1$ hoặc $x=-2$. Hàm số đạt cực đại tại $x_2=-2$ và đạt cực tiểu tại $x_1=-1$. Biểu thức $P=3x_1-x_2=3(-1)-(-2)=-1$.

Viết lại hàm số: $y=x+4+\frac{1}{x+1}$ ($x\ne -1$). Đạo hàm $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=0\iff x=-2$ hoặc $x=0$. Điểm cực đại là $A(-2;1)$ và điểm cực tiểu là $B(0;5)$. Ta có $d^2=A{B}^2=2^2+4^2=20$ và $d_1^2=O{A}^2=(-2{)}^2+1^2=5$. Vậy $d^2+d_1^2=20+5=25$.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1{)}^2(x-3)=0$ có hai nghiệm bội lẻ là $x=-2$ và $x=3$. Nghiệm $x=1$ là nghiệm bội chẵn nên đạo hàm không đổi dấu khi đi qua điểm này. Do đó hàm số có $2$ điểm cực trị.

Với $x>0$, đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}=\frac{x-4}{x^2}$. Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff x=4$. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x=4$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=4$. Giá trị cực tiểu là $f(4)=1+\ln 4$.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ với giá trị cực đại $y=4$. Do đó, điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(-2;4)$.

a) Đúng. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x+2\cos x{)}^{\prime }=1-2\sin x$.
b) Đúng. Trong khoảng $(0;2\pi )$, phương trình $1-2\sin x=0\iff \sin x=\frac{1}{2}$ có đúng hai nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{5\pi }{6}$.
c) Sai. Khi đi qua điểm $x=\frac{5\pi }{6}$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm này.
d) Đúng. Với $x\in \left(\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}\right)$ thì $\sin x>\frac{1}{2}\Rightarrow f^{\prime }(x)<0$, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}\right)$.

a) Đúng. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $(1;6)$ và $(3;2)$. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có hệ số góc $k=\frac{2-6}{3-1}=-2$.
b) Sai. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-3)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=1$, nên điểm $(1;6)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
c) Đúng. Phân tích thành nhân tử: $f^{\prime }(x)=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$.
d) Sai. Trên đoạn $[0;2]$, ta có $f(0)=2$, $f(1)=6$, $f(2)=4$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0;2]$ bằng $2$.

Dựa vào đồ thị hàm số, điểm cực đại của đồ thị là $(-1;2)$, do đó hàm số đạt cực đại tại $x=-1$.

a) Đúng. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-3$. Với mọi $x\in (-1;1)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.
b) Đúng. Phương trình $f^{\prime }(x)=0\iff x=\pm 1$, đạo hàm đổi dấu qua hai nghiệm này nên hàm số có hai điểm cực trị.
c) Sai. Trên đoạn $[0;2]$, ta có $f(0)=m$, $f(1)=m-2$, $f(2)=m+2$. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;2]$ bằng $m+2$.
d) Sai. Giá trị lớn nhất của $|f(x)|$ trên đoạn $[0;2]$ là $\max (|m-2|,|m+2|)=|m|+2$. Theo giả thiết $|m|+2=3\iff |m|=1\iff m=\pm 1$. Tập hợp $S=\{-1;1\}$ có $2$ phần tử.

a) Đúng. Trên khoảng $(-1;1)$, đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên $f^{\prime }(x)<0$, suy ra hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $(-1;1)$.
b) Sai. Đồ thị $f^{\prime }(x)$ tiếp xúc với trục hoành tại $x=-1$ và cắt trục hoành tại $x=2$, nên $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu qua $x=2$. Do đó hàm số $y=f(x)$ chỉ có đúng $1$ điểm cực trị.
c) Sai. Tại $x=-1$, đạo hàm không đổi dấu khi đi qua điểm này nên $x=-1$ không phải là điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$.
d) Đúng. Từ đồ thị xác định được $f^{\prime }(x)=(x+1{)}^2(x-2)=x^3-3x-2$. Đặt $g(x)=f^{\prime }(x)=x^3-3x-2$, khi đó $g^{\prime }(x)=3x^2-3>0$ với mọi $x>1$, nên $g$ đồng biến trên đoạn $[1;5]$. Do đó ${\max }_{[1;5]}{f}^{\prime }(x)=g(5)=5^3-3(5)-2=108$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$.
Với $x=-1\Rightarrow y=4$, ta được điểm cực trị $A(-1;4)$.
Với $x=3\Rightarrow y=-28$, ta được điểm cực trị $B(3;-28)$.
Hệ số góc của đường thẳng $AB$ là $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-28-4}{3-(-1)}=-8$.
Phương trình đường thẳng $AB$ là $y-4=-8(x+1)\iff y=-8x-4$.
Suy ra $a=-8$ và $b=-4$. Tổng $a+b=-8+(-4)=-12$.

Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-4x+a$.
Vì điểm $A(1;3)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số $(C)$ nên $y^{\prime }(1)=0\iff 3(1{)}^2-4(1)+a=0\iff a=1$.
Mặt khác đồ thị $(C)$ đi qua điểm $A(1;3)$ nên $y(1)=3\iff 1^3-2(1{)}^2+1(1)+b=3\iff b=3$.
Giá trị của biểu thức là $P=4a+b=4(1)+3=7$.

Ta có $y=x+\frac{2}{x+1}$ và $y^{\prime }=1-\frac{2}{(x+1{)}^2}$. Tại các điểm cực trị, $y^{\prime }=0\Rightarrow \frac{2}{x+1}=x+1$. Do đó, cả hai điểm cực trị đều thuộc đường thẳng $y=x+(x+1)=2x+1$.

Từ bảng biến thiên, $f(x)=2x^3-6x-1$.
a) Sai. Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$.
b) Sai. Hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$ nên không đồng biến trên $(-5;+\infty )$.
c) Đúng, vì $f(0)=-1$.
d) Đúng, vì $f(-1)=3$ và $f(2)=16-12-1=3$.

$f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi $x$ đi qua $x=1$ và $x=3$ (nghiệm bội lẻ); $x=2$ và $x=4$ là nghiệm bội chẵn nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu. Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

$f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi $x$ đi qua $x=-1$ nên điểm cực đại của hàm số là $x=-1$.

Ta có $y^{\prime }=\frac{2\cdot 1-3\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{-1}{(x+1{)}^2}<0,\forall x\ne -1$ nên hàm số không có cực trị.