Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đặc trưng trung tâm mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cần chọn 25% học sinh chạy nhanh nhất (thời gian nhỏ nhất): $0,25\cdot 41=10,25$, tương ứng tứ phân vị thứ nhất của mẫu nhóm. Tích lũy: nhóm $[40;45)$ có 5 học sinh, nhóm $[45;50)$ có 8 học sinh (tích lũy 13), nên giá trị nằm trong nhóm $[45;50)$: $T=45+\frac{10,25-5}{8}\cdot 5=45+3,28125=48,28125\approx 48,3$ giây. Khớp đáp án nguồn 48,3.

(AI giải đề cho tôi)
Thay mỗi nhóm bằng giá trị đại diện (trung điểm): [19;21)→20 với tần số 5; [21;23)→22 với tần số 8; [23;25)→24 với tần số 7; [25;27)→26 với tần số 9; [27;29)→28 với tần số 6. Tổng tần số: 5+8+7+9+6=35. Tổng các tích: 20·5+22·8+24·7+26·9+28·6 = 100+176+168+234+168 = 846. Thời gian trung bình: 846/35 ≈ 24,1714... ≈ 24,2 phút. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

a) Cân nặng trung bình của học sinh nam khối 11 (0,125):
$$\overline{x}=\frac{37,5.30+42,5.34+47,5.57+52,5.40+57,5.25+62,5.10}{196}$$
$\overline{x}\approx 48,2$ (0,125)

b) Cân nặng học sinh chiếm tỉ lệ cao nhất là số mốt. Nhóm chứa tần số lớn nhất là $[45;50)$ (0,125)
$$M_o=45+\frac{57-34}{57-34+57-40}.5=47,875(\text{kg})$$ (0,125)

Lưu ý: lời giải gốc ghi "học sinh nữ khối 11" trong khi đề bài ghi "học sinh nam" — không nhất quán trong nguồn (trang 11).

a) Tính chiều cao trung bình của học sinh nữ khối 11 (0,125):
$$\overline{x}=\frac{147,5.30+152,5.34+157,5.45+162,5.27+167,5.15+172,5.4}{155}$$
$\overline{x}=156,7$ (0,125)

b) Chiều cao học sinh chiếm tỉ lệ cao nhất là số mốt, nhóm có tần số lớn nhất là $[155;160)$ (0,125)
$$M_o=155+\frac{45-34}{45-34+45-27}.5=156,9$$ (0,125)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: nhóm chứa mốt của lô A là nhóm có tần số lớn nhất là 12, tức $[160;165)$, không phải $[155;160)$. b) Đúng: số trung bình lô A là ${\bar{x}}_A=\frac{2\cdot 152,5+6\cdot 157,5+12\cdot 162,5+4\cdot 167,5+1\cdot 172,5}{25}=\frac{4042,5}{25}=161,7$ gam; lô B là ${\bar{x}}_B=\frac{1\cdot 152,5+3\cdot 157,5+7\cdot 162,5+10\cdot 167,5+4\cdot 172,5}{25}=\frac{4127,5}{25}=165,1$ gam. Vì $165,1>161,7$ nên cam lô B nặng hơn. c) Sai: nhóm chứa mốt của lô B là nhóm có tần số lớn nhất là 10, tức $[165;170)$, không phải $[160;165)$. d) Đúng: giá trị đại diện của nhóm $[150;155)$ là $\frac{150+155}{2}=152,5$. Kết quả khớp đáp án mã đề 201: SĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nhóm chứa mốt của lô A là nhóm có tần số lớn nhất (12 quả), tức $[160;165)$, không phải $[155;160)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A=161,7$ gam, ${\bar{x}}_B=165,1$ gam, nên theo số trung bình cam lô B nặng hơn cam lô A.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nhóm chứa mốt của lô B là nhóm có tần số lớn nhất (10 quả), tức $[165;170)$, không phải $[160;165)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện nhóm $[150;155)$ là $\frac{150+155}{2}=152,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$, nên trung vị là giá trị thứ $10$. Tần số tích lũy: $4;6;9;15;...$ nên nhóm chứa trung vị là $[100;110)$ với $n_4=6$, $C=9$, $h=10$. Trung vị: $Me=100+\frac{10-9}{6}\cdot 10=100+\frac{10}{6}\approx 101,67\approx 102$ (mmHg). Kết quả trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=5+9+12+10+6=42$. Vì $n$ chẵn, trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ $21$ và $22$. Tần số tích lũy: nhóm $[0;20)$ có $5$; nhóm $[20;40)$ có $5+9=14$; nhóm $[40;60)$ có $14+12=26\ge 22$. Vậy giá trị thứ $21$ và $22$ đều nằm trong nhóm $[40;60)$, tức nhóm chứa trung vị là $[40;60)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Tần số giữa các nhóm: 8,5; 8,7; 8,9; 9,1; 9,3. Số trung bình: $\overline{x}=\frac{8,5\cdot 5+8,7\cdot 12+8,9\cdot 25+9,1\cdot 44+9,3\cdot 14}{100}=\frac{900}{100}=9,0$ (m), không phải 8,9 m.
b) Đúng. Bảng có 5 nhóm: $[8,4;8,6)$, $[8,6;8,8)$, $[8,8;9,0)$, $[9,0;9,2)$, $[9,2;9,4)$.
c) Sai. $n=100$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=25$, thuộc nhóm $[8,8;9,0)$ (tần số tích lũy trước là 17): $Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot 0,2=8,864$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=75$, thuộc nhóm $[9,0;9,2)$ (tần số tích lũy trước là 42): $Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot 0,2\approx 9,15$. Vậy $Q_3-Q_1\approx 0,286\ne 2,06$.
d) Đúng. Nhóm $[9,0;9,2)$ có tần số lớn nhất (44 cây), tâm nhóm là 9,1 m, nên số cây cao khoảng 9,1 m là nhiều nhất. Kết quả khớp đáp án mã đề 101: SĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình $\overline{x}=\frac{8,5\cdot 5+8,7\cdot 12+8,9\cdot 25+9,1\cdot 44+9,3\cdot 14}{100}=9,0$ (m) ≠ 8,9 m.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bảng có 5 nhóm số liệu.
c) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1=8,864$, $Q_3\approx 9,15$, nên $Q_3-Q_1\approx 0,286\ne 2,06$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nhóm $[9,0;9,2)$ có tần số lớn nhất 44, tâm nhóm 9,1 m.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm dùng các giá trị đại diện là trung tâm của mỗi nhóm. Các trung tâm: $\frac{16,8+19,8}{2}=18,3$; $\frac{19,8+22,8}{2}=21,3$; $\frac{22,8+25,8}{2}=24,3$; $\frac{25,8+28,8}{2}=27,3$; $\frac{28,8+31,8}{2}=30,3$.

Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{2\cdot 18,3+3\cdot 21,3+2\cdot 24,3+1\cdot 27,3+4\cdot 30,3}{12}=\frac{36,6+63,9+48,6+27,3+121,2}{12}=\frac{297,6}{12}=24,8.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn 24,8.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$, nên trung vị là trung bình của giá trị thứ 10 và 11. Tần số tích lũy: nhóm $[5;7)$ có 2; nhóm $[7;9)$ có $2+7=9$; nhóm $[9;11)$ có $9+7=16$. Vì giá trị thứ 10 và 11 nằm trong nhóm có tần số tích lũy vượt quá 10, tức nhóm $[9;11)$, nên nhóm chứa trung vị là $[9;11)$. Khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Kích thước mẫu $n=4+13+38+27+14+4=100$. Các giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là $34;36;38;40;42;44$. Thời gian trung bình: $\bar{x}=\frac{4\cdot 34+13\cdot 36+38\cdot 38+27\cdot 40+14\cdot 42+4\cdot 44}{100}=\frac{136+468+1444+1080+588+176}{100}=\frac{3892}{100}=38,92$ phút. Vậy chọn A, khớp với bảng đáp án mã đề 022 (Câu 11 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=10+20+35+15+5=85$. Vị trí tứ phân vị thứ ba là $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 85}{4}=63,75$. Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là $10;30;65;80;85$. Vì $30<63,75<65$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[1,0;1,05)$ với $c=0,05$, $n_3=35$, tần số tích lũy trước nhóm là $30$. Do đó $Q_3=1,0+\frac{63,75-30}{35}\cdot 0,05=1,0+\frac{33,75}{35}\cdot 0,05\approx 1,0482\approx 1,05$ (nghìn mAh). Kết quả trùng với đáp án nguồn 1,05.

Lời giải: Gọi $x_1;x_2;x_3;...;x_{35}$ là cân nặng của 35 học sinh xếp theo thứ tự không giảm.

Suy ra trung vị của mẫu số liệu $x_1;x_2;x_3;...;x_{35}$ là $x_{18}$ và $x_{18}\in [50;55)$. (0,25 điểm)

Do đó: $p=3,a_3=50,a_4=55,m_3=11,m_1+m_2=12$.

Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
$$M_e=a_3+\frac{\frac{n}{2}-(m_1+m_2)}{m_3}\cdot (a_4-a_3)=50+\frac{\frac{35}{2}-12}{11}\cdot (55-50)=52,5$$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=5+9+12+10+6=42$. Vì $n$ chẵn, trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ $21$ và $22$. Xét tần số tích lũy: nhóm $[0;20)$ có $5$; nhóm $[20;40)$ có $5+9=14$; nhóm $[40;60)$ có $14+12=26\ge 22$. Vậy giá trị thứ $21$ và $22$ đều nằm trong nhóm $[40;60)$, tức nhóm chứa trung vị là $[40;60)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=5+9+12+10+6=42$, nên trung vị là giá trị thứ $21$ (và $22$). Tần số tích lũy: nhóm $[0;20)$ có 5, nhóm $[20;40)$ có $5+9=14$, nhóm $[40;60)$ có $14+12=26$. Vì $14<21\le 26$, giá trị thứ 21 nằm trong nhóm $[40;60)$. Vậy nhóm chứa trung vị là $[40;60)$, khớp với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số viên pin $n=10+20+35+15+5=85$. Xét $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 85}{4}=63,75$. Cộng dồn tần số: $10;30;65;80;85$. Vì $30<63,75\le 65$ nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm $[1,0;1,05)$ với $n_3=35$, nhóm trước có tần số cộng dồn $30$, độ dài nhóm $0,05$. Do đó $Q_3=1,0+\left(\frac{63,75-30}{35}\right)\cdot 0,05=1,0+\frac{33,75\cdot 0,05}{35}\approx 1,0482\approx 1,05$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1,05.

Lời giải: Gọi $x_1;x_2;x_3;...;x_{35}$ là cân nặng của 35 học sinh xếp theo thứ tự không giảm.

Suy ra trung vị của mẫu số liệu $x_1;x_2;x_3;...;x_{35}$ là $x_{18}$ và $x_{18}\in [50;55)$. (0,25 điểm)

Do đó: $p=3,a_3=50,a_4=55,m_3=11,m_1+m_2=12$.

Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
$$M_e=a_3+\frac{\frac{n}{2}-(m_1+m_2)}{m_3}\cdot (a_4-a_3)=50+\frac{\frac{35}{2}-12}{11}\cdot (55-50)=52,5$$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=4+13+38+27+14+4=100$. Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là $34;36;38;40;42;44$. Thời gian trung bình: $\bar{x}=\frac{4\cdot 34+13\cdot 36+38\cdot 38+27\cdot 40+14\cdot 42+4\cdot 44}{100}=\frac{136+468+1444+1080+588+176}{100}=\frac{3892}{100}=38,92$ phút. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.