Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=7$): 24, 25, 27, 28, 30, 33, 34. Giá trị trung vị là số thứ 4: 28. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là trung vị nửa dưới (24, 25, 27) nên $Q_1=25$. Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là trung vị nửa trên (30, 33, 34) nên $Q_3=33$. Khoảng tứ phân vị $=Q_3-Q_1=33-25=8$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0111, câu 19 = 8).

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (9 giá trị): 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9. Vị trí Q1 là (9+1)/4 = 2,5 nên Q1 = 6 + 0,5·(7 − 6) = 6,5. Vị trí Q3 là 3(9+1)/4 = 7,5 nên Q3 = 9 + 0,5·(9 − 9) = 9. Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1 = 9 − 6,5 = 2,5, trùng với đáp án nguồn 2,5.

Đáp án nguồn (trang 11): 1) 13.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{2+4+6+8+10+12}{6}=7$. Phương sai: $s^2=\frac{1}{6}\left[(2-7{)}^2+(4-7{)}^2+(6-7{)}^2+(8-7{)}^2+(10-7{)}^2+(12-7{)}^2\right]=\frac{25+9+1+1+9+25}{6}=\frac{70}{6}=\frac{35}{3}\approx 11,67$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{\frac{35}{3}}\approx 3,416\approx 3,4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (5A).

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{10+8+6+2+4}{5}=6$. Tổng bình phương độ lệch: $(10-6{)}^2+(8-6{)}^2+(6-6{)}^2+(2-6{)}^2+(4-6{)}^2=16+4+0+16+4=40$. Phương sai (mẫu số liệu thống kê lớp 10, chia $n$): $s^2=\frac{40}{5}=8$, độ lệch chuẩn $s=\sqrt{8}\approx 2,8$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng năng suất hai vùng đều bằng 335 nên trung bình cùng bằng 335/7 ≈ 47,86 (A đúng). Khoảng biến thiên: vùng A = 54 − 41 = 13, vùng B = 52 − 43 = 9 nên D đúng. Khoảng tứ phân vị: vùng A có Q1 = 44, Q3 = 53 nên IQR = 9; vùng B có Q1 = 44, Q3 = 51 nên IQR = 7, vậy IQR của A lớn hơn của B (B đúng). Vì phương sai/độ phân tán của vùng A lớn hơn (khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị đều lớn hơn) nên vùng A trồng lúa kém ổn định hơn vùng B, khẳng định C là SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=5$ giá trị đã sắp xếp: 152, 154, 156, 158, 160. Tứ phân vị thứ hai là trung vị $=156$. Nửa dưới gồm 152, 154 nên $Q_1=153$; nửa trên gồm 158, 160 nên $Q_3=159$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=159-153=6$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{20\cdot 5+21\cdot 8+22\cdot 11+23\cdot 10+24\cdot 6}{40}=\frac{884}{40}=22,1$.
Tính $\sum n_i{x}_i^2=400\cdot 5+441\cdot 8+484\cdot 11+529\cdot 10+576\cdot 6=2000+3528+5324+5290+3456=19598$, nên $\overline{x^2}=\frac{19598}{40}=489,95$.
Phương sai: $s^2=\overline{x^2}-{\bar{x}}^2=489,95-(22,1{)}^2=489,95-488,41=1,54$.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=15$) theo thứ tự tăng dần: 6,3; 6,6; 7,2; 7,5; 7,5; 7,6; 7,7; 7,8; 7,9; 8,2; 8,3; 8,7; 8,8; 8,9; 9,0.

a) Khoảng biến thiên: $R=x_{\max }-x_{\min }=9,0-6,3=2,7$ (m).

b) Khoảng tứ phân vị: Vì $n=15$ lẻ, ta chia mẫu thành hai nửa: nửa dưới gồm 7 giá trị đầu (6,3; 6,6; 7,2; 7,5; 7,5; 7,6; 7,7) và nửa trên gồm 7 giá trị cuối (7,9; 8,2; 8,3; 8,7; 8,8; 8,9; 9,0), giá trị giữa là 7,8.
- $Q_1$ là trung vị của nửa dưới: giá trị thứ 4 của nửa dưới, $Q_1=7,5$.
- $Q_2=7,8$ (giá trị giữa).
- $Q_3$ là trung vị của nửa trên: giá trị thứ 4 của nửa trên, $Q_3=8,7$.
Vậy khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=8,7-7,5=1,2$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{20\cdot 5+21\cdot 8+22\cdot 11+23\cdot 10+24\cdot 6}{40}=\frac{884}{40}=22,1$. Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=2000+3528+5324+5290+3456=19598$, nên $\frac{\sum n_i{x}_i^2}{40}=489,95$. Phương sai: $s_x^2=489,95-(22,1{)}^2=489,95-488,41=1,54$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số liệu: 27, 26, 28, 32, 34, 35, 30, 28 (n = 8). Tổng $\sum x_i=27+26+28+32+34+35+30+28=240$, nên số trung bình mẫu $\bar{x}=\frac{240}{8}=30$. Tổng bình phương độ lệch: $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=(-3{)}^2+(-4{)}^2+(-2{)}^2+2^2+4^2+5^2+0^2+(-2{)}^2=9+16+4+4+16+25+0+4=78$. Phương sai mẫu $s^2=\frac{78}{7}\approx 11,1429$, nên độ lệch chuẩn mẫu $s=\sqrt{\frac{78}{7}}\approx 3,3381\approx 3,34$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=6$ giá trị đã sắp xếp: $10;12;15;18;20;25$. Chia mẫu thành hai nửa: nửa dưới $10;12;15$ và nửa trên $18;20;25$. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là trung vị của nửa dưới: $Q_1=12$. Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là trung vị của nửa trên: $Q_3=20$. Vậy khoảng giữa $Q_3-Q_1=20-12=8$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$ chỉ phụ thuộc vào các tứ phân vị (giữa 50% dữ liệu trung tâm), nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ. Trong khi đó khoảng biến thiên phụ thuộc vào min và max, phương sai và độ lệch chuẩn đều bị ảnh hưởng mạnh bởi giá trị ngoại lệ vì chúng tính theo độ lệch từ số trung bình.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=7$ giá trị đã sắp xếp: $2,4,5,7,9,11,14$. Trung vị là $7$. Nửa dưới gồm $2,4,5$ nên $Q_1=4$; nửa trên gồm $9,11,14$ nên $Q_3=11$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=11-4=7$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1+3+5+7+9}{5}=5$. Tổng bình phương độ lệch: $(1-5{)}^2+(3-5{)}^2+(5-5{)}^2+(7-5{)}^2+(9-5{)}^2=16+4+0+4+16=40$. Phương sai: $s^2=\frac{40}{5}=8$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu nhân mỗi giá trị $x_i$ với $k>0$ thì số trung bình mới là $k\bar{x}$ và phương sai mới là $s^{\prime 2}=\frac{1}{n}\sum (k{x}_i-k\bar{x}{)}^2=k^2\cdot \frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=k^2{s}^2$. Do đó độ lệch chuẩn mới là $s^{\prime }=\sqrt{k^2{s}^2}=ks$ (vì $k>0$), tức tăng gấp $k$ lần. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Cộng thêm 5 đơn vị vào mỗi giá trị thì số trung bình mới là ${\bar{x}}^{\prime }=\bar{x}+5$, nên các độ lệch $x_i^{\prime }-{\bar{x}}^{\prime }=(x_i+5)-(\bar{x}+5)=x_i-\bar{x}$ không đổi. Do đó phương sai mới $s^{\prime 2}=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=s^2$ giữ nguyên không đổi. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=8$ giá trị đã sắp xếp: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa đầu: $Q_1=\frac{2+3}{2}=2,5$. Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa sau: $Q_3=\frac{6+7}{2}=6,5$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=6,5-2,5=4$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 − Q1 = 30 − 20 = 10. Giá trị ngoại lệ nhỏ là giá trị nhỏ hơn Q1 − 1,5·Δ_Q = 20 − 1,5·10 = 5. Vậy giá trị ngoại lệ nhỏ nhất có thể là giá trị nhỏ hơn 5, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Căn cứ vào trang 127, Câu 23: mẫu số liệu là 12,1; 12,3; 12,5; 12,7; 12,9.

Bước 1: Tính số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{12,1+12,3+12,5+12,7+12,9}{5}=\frac{62,5}{5}=12,5.$$

Bước 2: Tính phương sai (sử dụng công thức $s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$):
$$s^2=\frac{(12,1-12,5{)}^2+(12,3-12,5{)}^2+(12,5-12,5{)}^2+(12,7-12,5{)}^2+(12,9-12,5{)}^2}{5}$$
$$=\frac{0,16+0,04+0+0,04+0,16}{5}=\frac{0,4}{5}=0,08.$$

Bước 3: Độ lệch chuẩn:
$$s=\sqrt{0,08}\approx 0,2828\approx 0,28.$$

Vậy đáp án đúng là A.