Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Nếu mỗi giá trị $x_i$ được cộng thêm 5 thì số trung bình mới là ${\overline{x}}^{\prime }=\overline{x}+5$, nên các độ lệch so với trung bình không đổi: $x_i+5-(\overline{x}+5)=x_i-\overline{x}$. Do đó phương sai mới $s^{\prime 2}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i+5-\overline{x}-5{)}^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2=s^2$ không thay đổi. Phương sai bất biến khi cộng (hoặc trừ) mẫu số liệu với một hằng số. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu mỗi giá trị $x_i$ được nhân với $k=3$ thì số trung bình mới là $\bar{y}=3\bar{x}$ và phương sai mới là $s_y^2=3^2{s}_x^2=9s_x^2$. Do đó độ lệch chuẩn mới là $s_y=\sqrt{9s_x^2}=3s_x$, tức độ lệch chuẩn tăng lên 3 lần. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Cả hai mẫu có cùng số trung bình bằng 14. Với mẫu X, các độ lệch so với số trung bình là $-4$, $-2$, $0$, $2$, $4$ nên phương sai là $s_X^2=\frac{16+4+0+4+16}{5}=8$. Với mẫu Y, các độ lệch là $-9$, $-2$, $0$, $2$, $9$ nên phương sai là $s_Y^2=\frac{81+4+0+4+81}{5}=34$. Vì $8<34$ nên $s_X<s_Y$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu: 11; 12; 13; 14; 15; 16; 100. Tứ phân vị: Q1 = 12, Q3 = 16, nên IQR = 4. Khoảng xác định giá trị bất thường: [Q1 − 1,5·IQR; Q3 + 1,5·IQR] = [6; 22]. Giá trị 100 nằm ngoài khoảng này (còn lại đều trong khoảng), nên 100 là giá trị bất thường. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình $\bar{x}=\frac{120}{10}=12$. Phương sai $s^2=\frac{1}{10}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{1540}{10}-144=154-144=10$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai công nhân có thời gian trung bình bằng nhau (${\bar{x}}_A={\bar{x}}_B=11$ phút) nên tốc độ trung bình như nhau. So sánh độ ổn định qua phương sai: $s_A^2=2<s_B^2=10$, do đó công nhân A làm việc ổn định hơn công nhân B. Vậy đáp án A (lưu ý: đáp án A trong đề bị thiếu chữ 'B' ở cuối, ý là 'ổn định hơn công nhân B').

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu: 3; 4; 5; 6; 7. a) Số trung bình $\overline{x}=\frac{3+4+5+6+7}{5}=\frac{25}{5}=5\ne 5,5$ nên a sai. b) Phương sai $s^2=\frac{(3-5{)}^2+(4-5{)}^2+(5-5{)}^2+(6-5{)}^2+(7-5{)}^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=\frac{10}{5}=2$ nên b đúng. c) Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{2}\ne \sqrt{3}$ nên c sai. d) Cộng thêm 2 năm vào mỗi giá trị thì số trung bình tăng thêm 2 nhưng các độ lệch so với trung bình không đổi, nên độ lệch chuẩn giữ nguyên $s=\sqrt{2}$; do đó d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{x}=\frac{3+4+5+6+7}{5}=5\ne 5,5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s^2=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{2}\ne \sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cộng thêm hằng số vào mọi giá trị không làm thay đổi độ lệch chuẩn, nên $s$ mới vẫn bằng $\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 34 (đúng/sai lý thuyết): a) Đúng — số trung bình tính theo tất cả giá trị nên bị ảnh hưởng mạnh bởi giá trị bất thường. b) Sai — khi mẫu có cỡ chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị giữa, có thể không thuộc mẫu (ví dụ 1;2;3;4 có trung vị 2,5). c) Đúng — khoảng tứ phân vị chỉ dựa vào $Q_1$ và $Q_3$, không phụ thuộc giá trị cực đoan nên ít bị ảnh hưởng hơn khoảng biến thiên. d) Sai — phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị đo; độ lệch chuẩn mới có cùng đơn vị với dữ liệu.
a) Số trung bình dùng mọi giá trị nên bị ảnh hưởng nhiều bởi giá trị bất thường.
b) Với mẫu cỡ chẵn, trung vị là trung bình cộng hai giá trị giữa, có thể không thuộc mẫu số liệu.
c) Khoảng tứ phân vị chỉ phụ thuộc $Q_1$, $Q_3$ nên ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường hơn khoảng biến thiên.
d) Phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị đo; độ lệch chuẩn mới cùng đơn vị với dữ liệu.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu đã sắp xếp: 495; 498; 500; 502; 505; 510 (n = 6).
a) Khoảng biến thiên R = 510 − 495 = 15 g → đúng.
b) Khối lượng trung bình x̄ = (495+498+500+502+505+510)/6 = 3010/6 ≈ 501,67 g ≠ 500 g → sai.
c) Q1 ở vị trí 0,25·6 = 1,5 nên Q1 = (495+498)/2 = 496,5; Q3 ở vị trí 0,75·6 = 4,5 nên Q3 = (505+510)/2 = 507,5. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = 507,5 − 496,5 = 11 g ≠ 7 g → sai.
d) Giới hạn xác định giá trị bất thường: [Q1 − 1,5·Δ_Q; Q3 + 1,5·Δ_Q] = [496,5 − 16,5; 507,5 + 16,5] = [480; 524]. Mọi giá trị của mẫu đều nằm trong khoảng này nên không có giá trị bất thường → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 510 − 495 = 15 g.
b) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = 3010/6 ≈ 501,67 g ≠ 500 g.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 496,5; Q3 = 507,5 nên Δ_Q = 11 g ≠ 7 g.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng [Q1 − 1,5Δ_Q; Q3 + 1,5Δ_Q] = [480; 524] chứa mọi giá trị, không có giá trị bất thường.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y_i=3x_i+4$: số trung bình $\overline{y}=3\cdot 10+4=34$ (đúng). Phương sai $s_Y^2=3^2{s}_X^2=9\cdot 4=36$, nên khẳng định b) $s_Y^2=12$ sai. Độ lệch chuẩn $s_Y=3\cdot 2=6$ (đúng). Khoảng biến thiên $R_Y=3R_X$, không phải 7 lần, nên d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{y}=3\overline{x}+4=3\cdot 10+4=34$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s_Y^2=3^2{s}_X^2=9\cdot 4=36\ne 12$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s_Y=|3|\cdot s_X=3\cdot 2=6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R_Y=\max y_i-\min y_i=3R_X$, không bằng 7 lần $R_X$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai lớp có cùng điểm trung bình ${\overline{x}}_A={\overline{x}}_B=7,5$ nên a đúng. Vì $s_A=0,8<s_B=1,2$, điểm của lớp 10A đồng đều hơn (phân tán ít hơn), lớp 10B phân tán nhiều hơn. Từ dữ liệu chỉ có số trung bình và độ lệch chuẩn, không thể kết luận lớp 10B có học sinh đạt điểm cao hơn lớp 10A (b sai vì không đủ cơ sở). Độ phân tán của 10A nhỏ hơn 10B nên c đúng, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\overline{x}}_A={\overline{x}}_B=7,5$ nên điểm trung bình hai lớp bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ biết số trung bình và độ lệch chuẩn, không thể kết luận lớp 10B có học sinh đạt điểm cao hơn lớp 10A.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $s_A=0,8<s_B=1,2$ nên điểm của lớp 10A đồng đều hơn lớp 10B.
d) (AI giải đề cho tôi)
Độ phân tán tỉ lệ với độ lệch chuẩn; $s_A<s_B$ nên độ phân tán của lớp 10A nhỏ hơn lớp 10B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 40: Cho s²=4, s=2. a) Nhân mọi giá trị với 2 thì phương sai nhân với 2²=4, nên s'²=4·4=16 → đúng. b) Chia mọi giá trị cho 2 thì độ lệch chuẩn chia cho 2, s'=2/2... thực tế s'=s/2=1? Kiểm tra: s=2, giảm 2 lần → s'=1. Nhưng đề nói s'=2 → sai? Xét lại: s=√4=2, chia 2 thì s'=1, không phải 2 → phát biểu b SAI. c) s²=0 ⟺ mọi x_i=x̄ ⟺ tất cả giá trị bằng nhau → đúng. d) s²≤s chỉ đúng khi s≤1; với s=2 thì s²=4>2 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nhân mọi giá trị với k=2 thì phương sai mới bằng k²·s²=4·4=16.
b) (AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn ban đầu s=√4=2. Chia mọi giá trị cho 2 thì độ lệch chuẩn mới s'=s/2=1, không phải 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
s²=(1/n)Σ(xᵢ-x̄)²=0 ⟺ mọi xᵢ=x̄ ⟺ tất cả giá trị bằng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với s=2 thì s²=4>2, nên s² không luôn nhỏ hơn hoặc bằng s (chỉ đúng khi 0≤s≤1).

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 7 giá trị đã xếp thứ tự: 3; 6; 8; 10; 14; 17; 20. Trung vị là giá trị thứ 4: 10. Nửa dưới gồm 3; 6; 8 nên $Q_1=6$. Nửa trên gồm 14; 17; 20 nên $Q_3=17$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=17-6=11$, trùng với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\overline{x}=\frac{2+4+6+8}{4}=5$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{(2-5{)}^2+(4-5{)}^2+(6-5{)}^2+(8-5{)}^2}{4}=\frac{9+1+1+9}{4}=5$. Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{5}\approx 2,24$. Kết quả trùng với đáp số nguồn 2,24.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\overline{x}=\frac{11,2+11,4+11,0+11,6+11,8}{5}=\frac{57}{5}=11,4$ (giây). Các độ lệch: $-0,2;0;-0,4;0,2;0,4$, tổng bình phương $=0,04+0+0,16+0,04+0,16=0,4$. Phương sai $s^2=\frac{0,4}{5}=0,08$, nên $s=\sqrt{0,08}\approx 0,2828\approx 0,28$ (giây). Kết quả trùng với đáp số nguồn 0,28.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 8 giá trị đã sắp xếp: 2; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 50. Tứ phân vị: Q1 là trung bình của giá trị thứ 2 và 3: Q1 = (12+14)/2 = 13; Q3 là trung bình của giá trị thứ 6 và 7: Q3 = (18+20)/2 = 19. Khoảng tứ phân vị IQR = 19 − 13 = 6. Giới hạn dưới = Q1 − 1,5·IQR = 13 − 9 = 4; giới hạn trên = Q3 + 1,5·IQR = 19 + 9 = 28. Giá trị bất thường là giá trị nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 28: đó là 2 và 50. Vậy có 2 giá trị bất thường, trùng với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức phương sai của mẫu số liệu không ghép nhóm: $s^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-{\overline{x}}^2$. Với $n=100$, $\overline{x}=15$, $s^2=9$ ta có: $9=P-15^2=P-225$, suy ra $P=9+225=234$. Kết quả trùng với đáp số đã cho (234).

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có n = 10 giá trị đã sắp xếp: 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19. Tứ phân vị thứ nhất: Q1 = x(3) = 12 (vì 10·0,25 = 2,5 nên lấy giá trị thứ 3). Tứ phân vị thứ ba: Q3 = x(8) = 17 (vì 10·0,75 = 7,5 nên lấy giá trị thứ 8). Khoảng tứ phân vị: ΔQ = Q3 − Q1 = 17 − 12 = 5.

(AI giải đề cho tôi)
Nam: số trung bình ${\bar{x}}_N=\frac{2,5+2,6+2,4+2,4+2,1}{5}=\frac{12}{5}=2,4$ (m). Phương sai $s_N^2=\frac{(2,5-2,4{)}^2+(2,6-2,4{)}^2+(2,4-2,4{)}^2+(2,4-2,4{)}^2+(2,1-2,4{)}^2}{5}=\frac{0,01+0,04+0+0+0,09}{5}=\frac{0,14}{5}=0,028\approx 0,03$.

Phương: số trung bình ${\bar{x}}_P=\frac{2,4+2,4+2,4+2,2+2,5}{5}=\frac{11,9}{5}=2,38$ (m). Phương sai $s_P^2=\frac{3(2,4-2,38{)}^2+(2,2-2,38{)}^2+(2,5-2,38{)}^2}{5}=\frac{3\cdot 0,0004+0,0324+0,0144}{5}=\frac{0,048}{5}=0,0096\approx 0,01$.

Vì $s_P^2<s_N^2$ ($0,01<0,03$), bạn Phương có kết quả nhảy xa ổn định hơn bạn Nam.

(AI giải đề cho tôi)
Hưng: tổng 35+36+38+36+37=182 nên x̄_H=182/5=36,4 cm → (a) đúng. Thịnh: tổng 30+35+38+41+30=174 nên x̄_T=174/5=34,8 cm ≠ 32,4 → (b) sai. Phương sai Hưng: các độ lệch -1,4; -0,4; 1,6; -0,4; 0,6, bình phương: 1,96+0,16+2,56+0,16+0,36=5,2, s²_H=5,2/5=1,04. Phương sai Thịnh: độ lệch -4,8; 0,2; 3,2; 6,2; -4,8, bình phương: 23,04+0,04+10,24+38,44+23,04=94,8, s²_T=94,8/5=18,96. Vì 1,04 < 18,96 nên (c) sai. Phương sai nhỏ hơn nên cây của Hưng phát triển đồng đều hơn → (d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
x̄_H=(35+36+38+36+37)/5=182/5=36,4 cm.
b) (AI giải đề cho tôi)
x̄_T=(30+35+38+41+30)/5=174/5=34,8 cm, không phải 32,4 cm.
c) (AI giải đề cho tôi)
s²_H=1,04 và s²_T=18,96, nên phương sai của Hưng nhỏ hơn của Thịnh.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì s²_H=1,04 < s²_T=18,96, cây của Hưng phát triển chiều cao đồng đều hơn.