Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ, tần số các nhóm [160,164), [164,168), [168,172), [172,176), [176,180) lần lượt là 3, 5, 8, 4, 1 nên n = 21. Giá trị đại diện: 162, 166, 170, 174, 178. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 162+5\cdot 166+8\cdot 170+4\cdot 174+1\cdot 178}{21}=\frac{3550}{21}\approx 169,05$. Phương sai: $s^2=\frac{600500}{21}-{\left(\frac{3550}{21}\right)}^2\approx 18,14$, nên độ lệch chuẩn $s\approx \sqrt{18,14}\approx 4,26$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 5, 5, 7, 5, 3 (n=25). Giá trị đại diện các nhóm: 6, 8, 10, 12, 14. Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{5\cdot 6+5\cdot 8+7\cdot 10+5\cdot 12+3\cdot 14}{25}=\frac{242}{25}=9,68$. Tổng bình phương: $5\cdot 36+5\cdot 64+7\cdot 100+5\cdot 144+3\cdot 196=2508$, nên $\frac{1}{n}\sum n_i{x}_i^2=\frac{2508}{25}=100,32$. Phương sai: $s^2=100,32-9,68^2=100,32-93,7024=6,6176\approx 6,62$. Khớp đáp án A (đáp án nguồn 10A).

Số trung bình:

$\overline{x}=\frac{3.2,85+6.3,15+5.3,45+4.3,75+2.4,05}{20}=3,39$

Phương sai:

$S^2=\frac{3.2,85^2+6.3,15^2+5.3,45^2+4.3,75^2+2.4,05^2}{20}-3,39^2=0,1314$

Độ lệch chuẩn:

$\sigma =\sqrt{0,1314}\approx 0,36$

Chọn D. Tần số tích lũy của các nhóm [2,7;3,0), [3,0;3,3), [3,3;3,6), [3,6;3,9), [3,9;4,2) lần lượt là 3; 9; 14; 18; 20 (n = 20). Ta có $\frac{n}{4}=5$ nên $Q_1$ thuộc nhóm [3,0;3,3): $Q_1=3,0+\frac{5-3}{6}\cdot 0,3=3,1$. Ta có $\frac{3n}{4}=15$ nên $Q_3$ thuộc nhóm [3,6;3,9): $Q_3=3,6+\frac{15-14}{4}\cdot 0,3=3,675$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=3,675-3,1=0,575$.

Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện:



a) ${\overline{x}}_1=125,28$; $S_1^2=7,5216$; $S_1=\sqrt{7,5216}$. Chọn ĐÚNG.

b) ${\overline{x}}_2=\frac{16.121+4.123+3.125+6.127+21.129}{50}=125,48$. Chọn SAI.

c) $S_2^2=\frac{1}{50}\left(16.121^2+4.123^2+3.125^2+6.127^2+21.129^2\right)-(125,48{)}^2=12,4096$; $S_2=\sqrt{12,4096}$. Chọn SAI.

d) Dễ thấy $S_1<S_2$ nên cổ phiếu $A$ có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu $B$. Chọn ĐÚNG.
a) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $${\overline{x}}_1=\frac{8.121+9.123+12.125+10.127+11.129}{50}=125,28.$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$S_1^2=\frac{1}{50}\left(8.121^2+9.123^2+12.125^2+10.127^2+11.129^2\right)-(125,28{)}^2=7,5216.$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_1=\sqrt{S_1^2}=\sqrt{7,5216}$. Chọn ĐÚNG.
b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $${\overline{x}}_2=\frac{16.121+4.123+3.125+6.127+21.129}{50}=125,48.$$ Chọn SAI.
c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$S_2^2=\frac{1}{50}\left(16.121^2+4.123^2+3.125^2+6.127^2+21.129^2\right)-(125,48{)}^2=12,4096.$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_2=\sqrt{S_2^2}=\sqrt{12,4096}$. Chọn SAI.
d) Theo kết quả tính toán ở phần c) ta có: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của cổ phiếu $A$ lần lượt là: $$S_1^2=7,5216,S_1=\sqrt{S_1^2}=\sqrt{7,5216}.$$ Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của cổ phiếu $B$ lần lượt là: $$S_2^2=12,4096,S_2=\sqrt{S_2^2}=\sqrt{12,4096}.$$ Dễ thấy $S_1<S_2$ vậy nếu đánh giá độ rủi ro theo phương sai và độ lệch chuẩn thì cổ phiếu $A$ có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu $B$. Chọn ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=60$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=15$, nằm trong lớp $[20;30)$ nên $Q_1=20+\frac{15-7}{19}\cdot 10=20+\frac{80}{19}\approx 24,21$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=45$, nằm trong lớp $[30;40)$ nên $Q_3=30+\frac{45-26}{24}\cdot 10=30+\frac{190}{24}\approx 37,92$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 37,92-24,21\approx 13,7$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số: $2+7+10+11+2=32$, nên lớp 12A có 32 học sinh (A sai). Số học sinh đọc sách từ 50 phút trở lên: $10+11+2=23$ (B sai). Tần số lớn nhất là 11 thuộc nhóm $[55;60)$, không phải $[50;55)$ (C sai). Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $=65-40=25$ (D đúng). Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=42$. Vị trí tứ phân vị: $\frac{n}{4}=10,5$ và $\frac{3n}{4}=31,5$. Tần số tích lũy: $4;15;31;39;42$.
- $Q_1$ thuộc nhóm $[5;6)$: $Q_1=5+\frac{10,5-4}{11}\cdot 1=5+\frac{6,5}{11}\approx 5,5909$.
- $Q_3$ thuộc nhóm $[7;8)$: $Q_3=7+\frac{31,5-31}{8}\cdot 1=7,0625$.
Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 7,0625-5,5909=1,4716\approx 1,47$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1,47).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (đại diện hai nhóm đầu và cuối): $R=65-40=25$, nên khẳng định A đúng. Kiểm tra các khẳng định khác: B sai vì số học sinh đọc sách từ 50 phút trở lên là $10+11+2=23$ (không phải 22). C sai vì nhóm có tần số lớn nhất là $[55;60)$ với tần số 11 (nhóm $[50;55)$ chỉ có tần số 10). D sai vì tổng số học sinh là $2+7+10+11+2=32$ (không phải 35). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: 25, 35, 45, 55, 65 với tần số 3, 7, 10, 8, 2 (n=30). Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 25+7\cdot 35+10\cdot 45+8\cdot 55+2\cdot 65}{30}=\frac{1340}{30}=\frac{134}{3}$. Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=3\cdot 625+7\cdot 1225+10\cdot 2025+8\cdot 3025+2\cdot 4225=63350$. Phương sai: $s^2=\frac{63350}{30}-{\left(\frac{134}{3}\right)}^2=\frac{6335}{3}-\frac{17956}{9}=\frac{19005-17956}{9}=\frac{1049}{9}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 4,14,8,10,6,2 (n=44). Giá trị đại diện: 42,5; 47,5; 52,5; 57,5; 62,5; 67,5. Tổng: $\sum n_i{x}_i=170+665+420+575+375+135=2340$, nên $\bar{x}=2340/44\approx 53,18$. Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=7225+31587,5+22050+33062,5+23437,5+9112,5=126475$. Phương sai mẫu ghép nhóm: $s^2=\frac{126475}{44}-{\left(\frac{2340}{44}\right)}^2\approx 46,13$, nên $s\approx 6,79$. Gần nhất với 6,79 → chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu ghép nhóm: giá trị nhỏ nhất là đầu mút trái của nhóm đầu tiên là 50, giá trị lớn nhất là đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 300. Khoảng biến thiên $R=300-50=250$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu ghép nhóm có n=20, các giá trị đại diện: 171; 173; 175; 177 với tần số 3; 10; 6; 1.
a) Khoảng biến thiên R = 178 - 170 = 8 → đúng.
b) Trung bình: x̄ = (3·171 + 10·173 + 6·175 + 1·177)/20 = 3470/20 = 173,5 → đúng.
c) Phương sai: s² = (3·171² + 10·173² + 6·175² + 1·177²)/20 - 173,5² = 602092/20 - 30102,25 = 30104,6 - 30102,25 = 2,35 ≈ 2,4 (làm tròn đến hàng phần chục), không phải 2,3 → sai.
d) Độ lệch chuẩn: s = √2,35 ≈ 1,533 ≈ 1,5 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 178 - 170 = 8.
b) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = (3·171 + 10·173 + 6·175 + 1·177)/20 = 173,5.
c) (AI giải đề cho tôi)
s² = 30104,6 - 173,5² = 2,35 ≈ 2,4, không phải 2,3.
d) (AI giải đề cho tôi)
s = √2,35 ≈ 1,533 ≈ 1,5.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: $10,30,50,70,90$ với tần số $5,9,12,10,6$ (tổng $n=42$).
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 10+9\cdot 30+12\cdot 50+10\cdot 70+6\cdot 90}{42}=\frac{2160}{42}\approx 51,43$.
Tổng $n_i{x}_i^2=5\cdot 100+9\cdot 900+12\cdot 2500+10\cdot 4900+6\cdot 8100=136200$.
Phương sai: $s^2=\frac{136200}{42}-{\left(\frac{2160}{42}\right)}^2\approx 3242,86-2644,90\approx 597,96\approx 598$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: $x_1=19,25;x_2=19,75;x_3=20,25;x_4=20,75;x_5=21,25$ với tần số $13;45;24;12;6$, $n=100$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{13\cdot 19,25+45\cdot 19,75+24\cdot 20,25+12\cdot 20,75+6\cdot 21,25}{100}=\frac{2001,5}{100}=20,015$.
Tổng $n_i{x}_i^2=13\cdot 370,5625+45\cdot 390,0625+24\cdot 410,0625+12\cdot 430,5625+6\cdot 451,5625=40087,75$.
Phương sai: $s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225=0,277275\approx 0,28$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu dữ liệu ghép nhóm bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm có tần số lớn nhất (cuối bảng có dữ liệu) và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có dữ liệu. Lớp 12A: nhóm có dữ liệu đầu tiên là $[150;155)$, nhóm cuối cùng có dữ liệu là $[175;180)$, nên ${\Delta }_A=180-150=30$. Lớp 12B: nhóm có dữ liệu đầu tiên là $[160;165)$, nhóm cuối cùng có dữ liệu là $[180;185)$, nên ${\Delta }_B=185-160=25$. Vậy ${\Delta }_A=30=25+5={\Delta }_B+5$, do đó khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ, tần số các nhóm: [7,2;7,4): 2; [7,4;7,6): 4; [7,6;7,8): 7; [7,8;8,0): 5, nên n = 18. Giá trị đại diện: 7,3; 7,5; 7,7; 7,9. Trung bình mẫu: x̄ = (2·7,3 + 4·7,5 + 7·7,7 + 5·7,9)/18 = 138/18 ≈ 7,6667. Phương sai mẫu: s² = [2(7,3−7,6667)² + 4(7,5−7,6667)² + 7(7,7−7,6667)² + 5(7,9−7,6667)²]/17 = 0,66/17 ≈ 0,038824. Độ lệch chuẩn s = √0,038824 ≈ 0,197 (giờ). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số các nhóm: 6, 2, 4, 4, 6, 8; n = 30. Giá trị đại diện: 48,75; 49,25; 49,75; 50,25; 50,75; 51,25.
a) Khoảng biến thiên = 51,5 − 48,5 = 3 → đúng.
b) n/4 = 7,5 nên Q1 thuộc nhóm [49; 49,5): Q1 = 49 + (7,5 − 6)/2 · 0,5 = 49,375. 3n/4 = 22,5 nên Q3 thuộc nhóm [51; 51,5): Q3 = 51 + (22,5 − 22)/8 · 0,5 = 51,03125. Khoảng tứ phân vị = 51,03125 − 49,375 = 1,65625 ≠ 3 → sai.
c) Trung bình = (48,75·6 + 49,25·2 + 49,75·4 + 50,25·4 + 50,75·6 + 51,25·8)/30 = 1505,5/30 ≈ 50,1833 ≠ 50,32 → sai.
d) Σ n_i x_i² = 75576,875; s² = 75576,875/30 − (1505,5/30)² ≈ 2519,2292 − 2518,3703 ≈ 0,8589 ≠ 0,7009 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 51,5 − 48,5 = 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 49,375; Q3 = 51,03125; khoảng tứ phân vị = 1,65625 ≠ 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị trung bình = 1505,5/30 ≈ 50,1833 ≠ 50,32.
d) (AI giải đề cho tôi)
s² = 75576,875/30 − (1505,5/30)² ≈ 0,8589 ≠ 0,7009.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $x_1=1,45;x_2=1,95;x_3=2,45;x_4=2,95;x_5=3,45$ với tần số $n_1=4,n_2=2,n_3=1,n_4=4,n_5=2$, cỡ mẫu $n=13$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{4\cdot 1,45+2\cdot 1,95+1\cdot 2,45+4\cdot 2,95+2\cdot 3,45}{13}=\frac{30,85}{13}\approx 2,3731$.
Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=4(2,1025)+2(3,8025)+6,0025+4(8,7025)+2(11,9025)=80,63$.
Phương sai: $s^2=\frac{80,63}{13}-{\left(\frac{30,85}{13}\right)}^2\approx 6,2023-5,6316\approx 0,5707\approx 0,6$.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm: 3; 7; 11; 15; 19 với tần số 4; 8; 13; 6; 4, nên n = 35. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{4\cdot 3+8\cdot 7+13\cdot 11+6\cdot 15+4\cdot 19}{35}=\frac{377}{35}\approx 10,7714$. Tổng $\sum n_i{x}_i^2=4\cdot 9+8\cdot 49+13\cdot 121+6\cdot 225+4\cdot 361=4795$. Phương sai: $s^2=\frac{4795}{35}-{\left(\frac{377}{35}\right)}^2=137-116,0245\approx 20,98$. Vậy chọn B.