Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn ban đầu $s=\sqrt{16}=4$. Khi nhân mỗi số liệu với 3 rồi cộng thêm 2, phương sai mới bằng $3^2\cdot s^2=9\cdot 16=144$ (việc cộng thêm hằng số không đổi phương sai). Vậy độ lệch chuẩn của mẫu mới là $\sqrt{144}=12$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(a)={\sum }_{i=1}^n(x_i-a{)}^2=\sum x_i^2-2a\sum x_i+n{a}^2$. Đây là hàm bậc hai theo $a$ với hệ số $n>0$, nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $f^{\prime }(a)=-2\sum x_i+2na=0$, suy ra $a=\frac{\sum x_i}{n}=\bar{x}$ (số trung bình). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì hai nhóm có cùng điểm trung bình $\bar{x}=8,0$, phương sai gộp là trung bình cộng có trọng số của hai phương sai: $$s^2=\frac{10\cdot 1,2+10\cdot 1,8}{20}=\frac{12+18}{20}=\frac{30}{20}=1,5.$$ (Không có thành phần sai lệch giữa các trung bình vì ${\bar{x}}_A={\bar{x}}_B$.) Kết quả khớp với đáp số nguồn 1,5.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: 5, 17, 42, 86, 100. Q1: vị trí 100/4 = 25 thuộc nhóm [8,8; 9,0): Q1 = 8,8 + (25-17)/25 · 0,2 = 8,864. Q3: vị trí 75 thuộc nhóm [9,0; 9,2): Q3 = 9,0 + (75-42)/44 · 0,2 = 9,15. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = 9,15 - 8,864 = 0,286.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 2,7,7,3,1 (n=20); giá trị đại diện: 6,8,10,12,14. Số trung bình: x̄ = (2·6+7·8+7·10+3·12+1·14)/20 = 188/20 = 9,4. Phương sai: s² = [2(−3,4)² + 7(−1,4)² + 7(0,6)² + 3(2,6)² + 1(4,6)²]/20 = (23,12+13,72+2,52+20,28+21,16)/20 = 80,8/20 = 4,04, nên s ≈ 2,01 (nếu chia cho n−1=19 thì s ≈ 2,06). Cả hai trường hợp đều thuộc khoảng [2;3).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n = 5+10+9+4+2 = 30. a) Khoảng biến thiên = 300 − 50 = 250 (km) → đúng. b) n/4 = 7,5 nên Q1 thuộc nhóm [100;150): Q1 = 100 + (7,5−5)/10 · 50 = 112,5 ≠ 3,1 → sai. c) 3n/4 = 22,5 nên Q3 thuộc nhóm [150;200): Q3 = 150 + (22,5−15)/9 · 50 = 150 + 125/3 ≈ 191,67 ≠ 575 → sai. d) Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1 = 191,67 − 112,5 = 79,17 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 300 − 50 = 250 (km).
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 100 + (7,5−5)/10·50 = 112,5, không phải 3,1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q3 = 150 + (22,5−15)/9·50 ≈ 191,67, không phải 575.
d) (AI giải đề cho tôi)
ΔQ = 191,67 − 112,5 = 79,17.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 3,6,12,6,3; n=30; giá trị đại diện: 120,160,200,240,280.
a) Q1 ở vị trí thứ 7,5 thuộc [140;180): Q1 = 140 + (7,5-3)/6·40 = 170. Q3 ở vị trí thứ 22,5 thuộc [220;260): Q3 = 220 + (22,5-21)/6·40 = 230. IQR = 230-170 = 60 → đúng.
b) R = 300 - 100 = 200 → đúng.
c) X̄ = (3·120+6·160+12·200+6·240+3·280)/30 = 6000/30 = 200 ≠ 220 → sai.
d) Σf(x-X̄)² = 3·6400+6·1600+0+6·1600+3·6400 = 57600; s² = 57600/30 = 1920 → đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (DDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 170, Q3 = 230 nên khoảng tứ phân vị = 60.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 300 - 100 = 200.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình = 6000/30 = 200, không phải 220.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai = 57600/30 = 1920.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: $x_1=2,85;x_2=3,15;x_3=3,45;x_4=3,75$ với tần số $n_1=3,n_2=6,n_3=5,n_4=4$, $n=18$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75}{18}=\frac{59,7}{18}=3,31\overline{6}$.
Phương sai: $s^2=\frac{1}{18}\left[3(2,85-\bar{x}{)}^2+6(3,15-\bar{x}{)}^2+5(3,45-\bar{x}{)}^2+4(3,75-\bar{x}{)}^2\right]=\frac{1,66}{18}\approx 0,0922\approx 0,09$.
Vậy chọn A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của các nhóm: 120, 160, 200, 240, 280 với tần số 3, 6, 12, 6, 3. a) Trung bình = 6000/30 = 200; tổng f·x² = 1257600, nên phương sai = 1257600/30 − 200² = 41920 − 40000 = 1920 → đúng. b) Q1: vị trí 7,5 thuộc nhóm [140;180): Q1 = 140 + (7,5−3)/6·40 = 170; Q3: vị trí 22,5 thuộc nhóm [220;260): Q3 = 220 + (22,5−21)/6·40 = 230; IQR = 230 − 170 = 60 → đúng. c) Khoảng biến thiên = 300 − 100 = 200 → đúng. d) Trung bình là 200, không phải 220 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = (3·120+6·160+12·200+6·240+3·280)/30 = 6000/30 = 200. Σf·x² = 1257600, s² = 1257600/30 − 200² = 1920.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 140 + (7,5−3)/6·40 = 170; Q3 = 220 + (22,5−21)/6·40 = 230; IQR = 60.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 300 − 100 = 200.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình số sản phẩm bán được trong một ngày là 200, không phải 220.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $x_1=2,85$, $x_2=3,15$, $x_3=3,45$, $x_4=3,75$ với tần số $n_1=3$, $n_2=6$, $n_3=5$, $n_4=4$, $n=18$.

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75}{18}=\frac{59,7}{18}=3,31\overline{6}.$$

Tổng bình phương:
$$\sum n_i{x}_i^2=3(8,1225)+6(9,9225)+5(11,9025)+4(14,0625)=199,665.$$

Phương sai:
$$s^2=\frac{199,665}{18}-{\left(\frac{59,7}{18}\right)}^2\approx 11,0925-11,00028\approx 0,0922\approx 0,09.$$

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $0,09$, khớp với đáp án A (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tổng: $n=13+45+24+12+6=100$. Giá trị đại diện các nhóm: $19,25;19,75;20,25;20,75;21,25$.
Tổng $n_i{x}_i=13(19,25)+45(19,75)+24(20,25)+12(20,75)+6(21,25)=250,25+888,75+486+249+127,5=2001,5$, nên $\bar{x}=\frac{2001,5}{100}=20,015$.
Tổng $n_i{x}_i^2=13(370,5625)+45(390,0625)+24(410,0625)+12(430,5625)+6(451,5625)=40087,75$.
Phương sai: $s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225\approx 0,2773\approx 0,28$. Kết quả trùng với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tổng: $n=13+45+24+12+6=100$. Các giá trị đại diện: $19,25;19,75;20,25;20,75;21,25$.

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{13\cdot 19,25+45\cdot 19,75+24\cdot 20,25+12\cdot 20,75+6\cdot 21,25}{100}=\frac{2001,5}{100}=20,015$.

Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=13(370,5625)+45(390,0625)+24(410,0625)+12(430,5625)+6(451,5625)=40087,75$.

Phương sai: $s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225\approx 0,2773\approx 0,28$.

Vậy phương sai bằng $0,28$, khớp với đáp án D trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm: $x_1=3,25;x_2=4,75;x_3=6,25;x_4=7,75;x_5=9,25$.

Lớp 10A: $n_A=3+16+9+6+4=38$; tổng $=3(3,25)+16(4,75)+9(6,25)+6(7,75)+4(9,25)=225,5$, nên ${\bar{x}}_A=\frac{225,5}{38}\approx 5,93$.

Lớp 10B: $n_B=0+15+13+4+6=38$; tổng $=15(4,75)+13(6,25)+4(7,75)+6(9,25)=239$, nên ${\bar{x}}_B=\frac{239}{38}\approx 6,29$.

a) Phương sai lớp 10B: $\sum f_i{x}_i^2=15(4,75{)}^2+13(6,25{)}^2+4(7,75{)}^2+6(9,25{)}^2=1599,875$. Vậy $s_B^2=\frac{1599,875}{38}-{\left(\frac{239}{38}\right)}^2\approx 42,102-39,558\approx 2,54\ne 3,54$ → Sai.

b) $s_B^2\approx 2,54$; lớp 10A: $\sum f_i{x}_i^2=3(3,25{)}^2+16(4,75{)}^2+9(6,25{)}^2+6(7,75{)}^2+4(9,25{)}^2=1446,875$, $s_A^2=\frac{1446,875}{38}-{\bar{x}}_A^2\approx 38,076-35,215\approx 2,86$. Vì $s_B<s_A$ nên điểm 10B ít phân tán hơn → Đúng.

c) $|{\bar{x}}_B-{\bar{x}}_A|\approx |6,29-5,93|\approx 0,36\le 0,5$ → Đúng.

d) $n_A=n_B=38$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với giá trị đại diện các nhóm, ${\bar{x}}_B=\frac{239}{38}\approx 6,29$ và $s_B^2=\frac{1599,875}{38}-{\bar{x}}_B^2\approx 2,54\ne 3,54$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s_B^2\approx 2,54<s_A^2\approx 2,86$ nên $s_B<s_A$, điểm 10B ít phân tán hơn.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A\approx 5,93$, ${\bar{x}}_B\approx 6,29$, chênh lệch $\approx 0,36\le 0,5$ điểm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$n_A=3+16+9+6+4=38$ và $n_B=0+15+13+4+6=38$, bằng nhau.

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng.

a) Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện

Cỡ mẫu của mẫu số liệu cổ phiếu $A$ là $n_A=8+9+12+10+11=50$.

b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm của cổ phiếu $A$ là $${\overline{x}}_1=\frac{8\cdot 121+9\cdot 123+12\cdot 125+10\cdot 127+11\cdot 129}{50}=125,28.$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$S_1^2=\frac{1}{50}\cdot \left(8\cdot 121^2+9\cdot 123^2+12\cdot 125^2+10\cdot 127^2+11\cdot 129^2\right)-{\left(125,28\right)}^2=7,5216.$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_1=\sqrt{7,5216}$.

c) Xét mẫu số liệu cổ phiếu $B$. Ta có cỡ mẫu $n_B=50$. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $${\overline{x}}_2=\frac{16\cdot 121+4\cdot 123+3\cdot 125+6\cdot 127+21\cdot 129}{50}=\frac{6274}{50}\approx 125,48.$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$S_2^2=\frac{1}{50}\cdot \left(16\cdot 121^2+4\cdot 123^2+3\cdot 125^2+6\cdot 127^2+21\cdot 129^2\right)-{\left(\frac{6274}{50}\right)}^2\approx 12,4096.$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_2=\sqrt{12,4096}$.

d) Mẫu số liệu cổ phiếu $A$ có phương sai $S_1^2=7,5216$ và độ lệch chuẩn $S_1=\sqrt{7,5216}$. Mẫu số liệu cổ phiếu $B$ có phương sai $S_2^2=12,4096$ và độ lệch chuẩn $S_2=\sqrt{12,4096}$. Vậy nếu đánh giá độ rủi ro theo phương sai và độ lệch chuẩn thì cổ phiếu $A$ có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu $B$.
a) a) Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện

Cỡ mẫu của mẫu số liệu cổ phiếu $A$ là $n_A=8+9+12+10+11=50$.
b) b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm của cổ phiếu $A$ là $${\overline{x}}_1=\frac{8\cdot 121+9\cdot 123+12\cdot 125+10\cdot 127+11\cdot 129}{50}=125,28.$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$S_1^2=\frac{1}{50}\cdot \left(8\cdot 121^2+9\cdot 123^2+12\cdot 125^2+10\cdot 127^2+11\cdot 129^2\right)-{\left(125,28\right)}^2=7,5216.$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_1=\sqrt{7,5216}$.
c) c) Xét mẫu số liệu cổ phiếu $B$. Ta có cỡ mẫu $n_B=50$. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $${\overline{x}}_2=\frac{16\cdot 121+4\cdot 123+3\cdot 125+6\cdot 127+21\cdot 129}{50}=\frac{6274}{50}\approx 125,48.$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$S_2^2=\frac{1}{50}\cdot \left(16\cdot 121^2+4\cdot 123^2+3\cdot 125^2+6\cdot 127^2+21\cdot 129^2\right)-{\left(\frac{6274}{50}\right)}^2\approx 12,4096.$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_2=\sqrt{12,4096}$.
d) d) Mẫu số liệu cổ phiếu $A$ có phương sai $S_1^2=7,5216$ và độ lệch chuẩn $S_1=\sqrt{7,5216}$. Mẫu số liệu cổ phiếu $B$ có phương sai $S_2^2=12,4096$ và độ lệch chuẩn $S_2=\sqrt{12,4096}$. Vậy nếu đánh giá độ rủi ro theo phương sai và độ lệch chuẩn thì cổ phiếu $A$ có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu $B$.

Trang 6 (bản đáp án của đề) hiển thị phương án D. 1,59 được gạch chân làm đáp án chính thức của Câu 3. Kiểm chứng: các giá trị đại diện là 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5 với tần số 4; 5; 5; 4; 2. Số trung bình $\overline{x}=\frac{4\cdot 5,5+5\cdot 6,5+5\cdot 7,5+4\cdot 8,5+2\cdot 9,5}{20}=\frac{145}{20}=7,25$. Phương sai $S^2=\frac{4\cdot 5,5^2+5\cdot 6,5^2+5\cdot 7,5^2+4\cdot 8,5^2+2\cdot 9,5^2}{20}-7,25^2=54,15-52,5625=1,5875\approx 1,59$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=25$. Tần số tích lũy: 4; 10; 18; 22; 25.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=6,25$ thuộc nhóm $[10;12)$ (nhóm thứ 2, tần số 6, đầu nhóm 10):
$$Q_1=10+\frac{6,25-4}{6}\cdot 2=10,75.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=18,75$ thuộc nhóm $[14;16)$ (nhóm thứ 4, tần số 4, đầu nhóm 14, vì tần số tích lũy trước nhóm là 18):
$$Q_3=14+\frac{18,75-18}{4}\cdot 2=14,375.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=14,375-10,75=3,625=\frac{29}{8}.$$
Vậy $a=29,b=8$ và $P=a+b=37$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n=18. Q1 ở vị trí n/4=4,5 thuộc nhóm [20;25): Q1=20+(4,5-0)/6·5=23,75. Q3 ở vị trí 3n/4=13,5; tần số tích luỹ: 6, 12, 16, 17, 18 nên Q3 thuộc nhóm [30;35): Q3=30+(13,5-12)/4·5=31,875. Khoảng tứ phân vị ΔQ=Q3-Q1=31,875-23,75=8,125.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng nhận xét: (1) Sai — khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ xấp xỉ khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc (bằng hiệu hai đầu mút của nhóm chứa giá trị lớn nhất và nhóm chứa giá trị nhỏ nhất), không luôn luôn bằng nhau. (2) Đúng — khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. (3) Đúng — khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán. Vậy có 2 nhận xét đúng, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét 1 sai vì khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường (nó chỉ dựa trên $Q_1$ và $Q_3$). Các nhận xét 2, 3, 4 đều đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=20-10=10$. Vậy chọn đáp án D.