Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

Giá trị đại diện các nhóm là $4,75;5,25;5,75;6,25$. Số trung bình $\bar{x}=\frac{3\cdot 4,75+8\cdot 5,25+7\cdot 5,75+2\cdot 6,25}{20}=5,45$. Phương sai $s^2=\frac{3\cdot 4,75^2+8\cdot 5,25^2+7\cdot 5,75^2+2\cdot 6,25^2}{20}-5,45^2=0,19125\approx 0,19$.

a) $R=90-10=80\ne 90$ (Sai). b) Tần số tích lũy của $3$ nhóm đầu là $18,49,89$ nên nhóm $3$ ($[30;40)$) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge 50$ (Đúng). c) $Q_3=50+\frac{150-137}{50}\cdot 10=52,6\ne \frac{17}{4}$ (Sai). d) $Q_1=30+\frac{50-49}{40}\cdot 10=30,25⟹{\Delta }_Q=52,6-30,25=22,35>20$ (Đúng).

Giá trị đại diện các nhóm là $270;310;350;390;430$. Số trung bình $\bar{x}=354,8\text{g}$, phương sai $s^2=1640,96$, độ lệch chuẩn $s=\sqrt{1640,96}\approx 40,51$.

Cỡ mẫu $n=32$. Giá trị đại diện các nhóm là $2,5;7,5;12,5;17,5;22,5$ (c sai). Số trung bình $\bar{x}=\frac{270}{32}=8,4375$ (a đúng). Phương sai $s^2=100-8,4375^2\approx 28,81$ (b đúng) và độ lệch chuẩn $s=\sqrt{28,80859}\approx 5,37>5$ (d đúng).

Giá trị đại diện các nhóm là $12,5;17,5;22,5;27,5;32,5;37,5$. Trung bình $\bar{x}=\frac{1240}{60}=\frac{62}{3}$, phương sai $s^2\approx 49,14$, độ lệch chuẩn $s\approx 7,01$.

a) Đúng. b) Phương sai của Dũng là $s_1^2\approx 0,0709$ ($s_1\approx 0,266$), phương sai của Huy là $s_2^2\approx 0,0622$ ($s_2\approx 0,249$), nên độ lệch chuẩn của Dũng lớn hơn của Huy (Sai). c) Từ Bảng 15, nhóm $[7,18;7,42)$ có tần số bằng $5$ (Đúng). d) Phương sai của Huy xấp xỉ $0,06\ne 0,16$ (Sai).

Giá trị đại diện các nhóm là $9,5;10,5;11,5;12,5;13,5$. Trung bình cộng $\bar{x}=10,55$. Phương sai $s^2=112,75-10,55^2=1,4475⟹s=\sqrt{1,4475}\approx 1,2$.

Cỡ mẫu $n=6+12+19+9+4=50$. Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là $5;7;9;11;13$.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\bar{x}=\frac{6\cdot 5+12\cdot 7+19\cdot 9+9\cdot 11+4\cdot 13}{50}=\frac{436}{50}=8,72$.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $s^2=\frac{6\cdot 5^2+12\cdot 7^2+19\cdot 9^2+9\cdot 11^2+4\cdot 13^2}{50}-8,72^2=80,84-76,0384=4,8016\approx 4,8$. Chọn B.

Cỡ mẫu $n=30$.
Vị trí $Q_1$ là $n/4=7,5$. Nhóm chứa $Q_1$ là $[40;50)$.
$Q_1=40+\frac{7,5-(2+5)}{10}\cdot 10=40+0,5=40,5$.
Vị trí $Q_3$ là $3n/4=22,5$. Nhóm chứa $Q_3$ là $[50;60)$.
$Q_3=50+\frac{22,5-17}{8}\cdot 10=50+6,875=56,875$.
Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=56,875-40,5=16,375$.
Chọn A.

Cỡ mẫu $n=6+6+4+1+1=18$. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ thuộc nhóm $[20;25)$: $Q_1=20+\frac{\frac{18}{4}-0}{6}\cdot 5=23,75$. Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ thuộc nhóm $[30;35)$: $Q_3=30+\frac{\frac{3\cdot 18}{4}-12}{4}\cdot 5=31,875$. Khoảng tứ phân vị là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=31,875-23,75=8,125$. Chọn D.

Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: $6,75;7,25;7,75;8,25;8,75;9,25;9,75$.
Cỡ mẫu $n=8+10+16+24+13+7+4=82$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{8\cdot 6,75+10\cdot 7,25+16\cdot 7,75+24\cdot 8,25+13\cdot 8,75+7\cdot 9,25+4\cdot 9,75}{82}\approx 8,0549$.
Phương sai: $s^2=\frac{1}{82}\sum m_i{c}_i^2-{\bar{x}}^2\approx 0,61$.

Phân tích bảng số liệu: Nhóm đầu tiên $[0;1)$ có số sinh viên là $0$, nghĩa là không có dữ liệu thực tế nào xuất hiện trong nhóm này.
Đầu mút trái nhỏ nhất của nhóm chứa dữ liệu thực tế (tần số $>0$) là nhóm $[1;2)\Rightarrow$ giá trị đầu mút trái là $1$.
Đầu mút phải lớn nhất của nhóm chứa dữ liệu thực tế là nhóm $[4;5)\Rightarrow$ giá trị đầu mút phải là $5$.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng có dữ liệu và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có dữ liệu: $R=5-1=4$.
Chọn C.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 6), Câu 5 (Phần I) chọn đáp án D.

Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: $c_1=2,85$; $c_2=3,15$; $c_3=3,45$; $c_4=3,75$; $c_5=4,05$.

Số trung bình của mẫu số liệu:

$\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39.$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:

$s^2=\frac{3\cdot 2,85^2+6\cdot 3,15^2+5\cdot 3,45^2+4\cdot 3,75^2+2\cdot 4,05^2}{20}-3,39^2=11,6235-11,4921=0,1314\approx 0,13.$

Chọn đáp án D.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 579, trang 5), Câu 4 (Phần III, câu 20) có đáp số là $0,6$.

Với các giá trị đại diện $1,45;1,95;2,45;2,95;3,45$ và cỡ mẫu $n=13$, phương sai là $s^2\approx 0,6$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 9125, trang 5), Câu 1 (Phần I) chọn đáp án A.

Với các giá trị đại diện $2,85;3,15;3,45;3,75;4,05$ và cỡ mẫu $n=20$, số trung bình là $\bar{x}=3,405$ và phương sai là $s^2=0,1179\approx 0,12$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 9125, trang 5), Câu 11 (Phần I) chọn đáp án B.

Ta có $Q_1=60+\frac{17,5-9}{19}\cdot 10\approx 64,47$ và $Q_3=80+\frac{52,5-51}{9}\cdot 10\approx 81,67⟹{\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 17,2\approx 17$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 083, trang 5), Câu 8 (Phần I) chọn đáp án B.

Với các giá trị đại diện $13,5;15,5;17,5;19,5;21,5$ và cỡ mẫu $n=52$, phương sai là $s^2\approx 5,4$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 083, trang 5), Câu 4 (Phần II, câu 16): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Ta có $n=45$ (a đúng); độ lệch chuẩn cùng đơn vị với mẫu số liệu (b đúng); $\frac{n}{4}=11,25$ nên $Q_1\in [7;9)$ (c sai) và ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 12,625-7,929\approx 4,7\ne 5,2$ (d sai).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 083, trang 5), Câu 6 (Phần III, câu 22) có đáp số là $444$.

Với các giá trị đại diện $100,300,500,700,900,1100,1300$ và cỡ mẫu $n=23$, độ lệch chuẩn là $s\approx 444$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề thi 1121, trang 6), Câu 4 (Phần I) chọn đáp án A.

Số trung bình $\bar{x}=\frac{6\cdot 19+23\cdot 21+12\cdot 23+9\cdot 25}{50}=21,96$. Phương sai $s^2=\frac{6\cdot 19^2+23\cdot 21^2+12\cdot 23^2+9\cdot 25^2}{50}-21,96^2=3,3984⟹s=\sqrt{3,3984}\approx 1,84$.