Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: $x_1=20,x_2=22,x_3=24,x_4=26,x_5=28$ với tần số $4,7,10,6,8$.

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{20\cdot 4+22\cdot 7+24\cdot 10+26\cdot 6+28\cdot 8}{35}=\frac{854}{35}=24,4$$

Tổng bình phương:
$$\sum x_i^2{n}_i=400\cdot 4+484\cdot 7+576\cdot 10+676\cdot 6+784\cdot 8=21076$$

Phương sai:
$$s^2=\frac{21076}{35}-24,4^2\approx 602,171-595,36=6,811\approx 6,8$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn 6,8.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy đại diện mỗi nhóm là giá trị giữa: 20, 22, 24, 26, 28 với tần số 5, 4, 10, 7, 9. Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{5\cdot 20+4\cdot 22+10\cdot 24+7\cdot 26+9\cdot 28}{35}=\frac{862}{35}\approx 24,6286$. Tổng bình phương: $5\cdot 20^2+4\cdot 22^2+10\cdot 24^2+7\cdot 26^2+9\cdot 28^2=21484$, nên $\frac{1}{35}\sum n_i{x}_i^2\approx 613,8286$. Phương sai: $s^2=613,8286-(24,6286{)}^2\approx 7,26\approx 7,3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 7,3.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu nhóm (dạng rời rạc hóa) là hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mẫu số liệu. Nhóm chứa giá trị nhỏ nhất là $[5;6)$ với giá trị đại diện $5,5$; nhóm chứa giá trị lớn nhất là $[9;10)$ với giá trị đại diện $9,5$. Khoảng biến thiên $R=9,5-5,5=4$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số nhóm: 10, 14, 19, 32, 25 nên $n=100$. Giá trị đại diện: 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5. Tính trung bình: $\bar{x}=\frac{5,5\cdot 10+6,5\cdot 14+7,5\cdot 19+8,5\cdot 32+9,5\cdot 25}{100}=\frac{798}{100}=7,98$. Tổng bình phương: $30,25\cdot 10+42,25\cdot 14+56,25\cdot 19+72,25\cdot 32+90,25\cdot 25=6531$. Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm: $s^2=\frac{6531}{100}-7,98^2=65,31-63,6804=1,6296$, nên $s=\sqrt{1,6296}\approx 1,2766\in (1,25;1,28)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh: 25 + x + 14 + 12 + 4 = 87 nên x = 32 (mệnh đề c đúng).

Tần số tích lũy: 25; 57; 71; 83; 87.

Q3: vị trí 0,75·87 = 65,25 thuộc nhóm [1,25; 1,75). Q3 = 1,25 + (65,25 − 57)/14 · 0,5 = 1,25 + 0,2946 ≈ 1,54 giây (mệnh đề a đúng).

Khoảng biến thiên = 2,75 − 0,25 = 2,5 (mệnh đề d đúng).

Độ lệch chuẩn: các giá trị đại diện 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5. Tần số: 25; 32; 14; 12; 4.
Tổng f·x = 12,5 + 32 + 21 + 24 + 10 = 99,5 → mean = 99,5/87 ≈ 1,1437.
Tổng f·x² = 6,25 + 32 + 31,5 + 48 + 25 = 142,75.
Var = 142,75/87 − (1,1437)² ≈ 1,6408 − 1,3080 = 0,3328 → s ≈ 0,58 giây, không phải 0,33 (mệnh đề b sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
Q3 = 1,25 + (65,25 − 57)/14 · 0,5 ≈ 1,54 giây.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính được s ≈ 0,58 giây, không phải 0,33.
c) (AI giải đề cho tôi)
x = 87 − 25 − 14 − 12 − 4 = 32.
d) (AI giải đề cho tôi)
R = 2,75 − 0,25 = 2,5.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm của lớp A: 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5 với tần số 4; 5; 3; 4; 2 (n=18). Trung bình: ${\bar{x}}_A=\frac{4\cdot 5,5+5\cdot 6,5+3\cdot 7,5+4\cdot 8,5+2\cdot 9,5}{18}=\frac{130}{18}\approx 7,22$. Tổng bình phương: $4\cdot 5,5^2+5\cdot 6,5^2+3\cdot 7,5^2+4\cdot 8,5^2+2\cdot 9,5^2=970,5$. Phương sai: $s_A^2=\frac{970,5}{18}-{\left(\frac{130}{18}\right)}^2\approx 1,7562$, nên $s_A\approx 1,33\ne 1,34$ → a) Sai. Lớp B: $n=15$, ${\bar{x}}_B=\frac{108,5}{15}\approx 7,23$; tổng bình phương $=803,75$; $s_B^2=\frac{803,75}{15}-{\left(\frac{108,5}{15}\right)}^2\approx 1,2632$, $s_B\approx 1,12<s_A\approx 1,33$ nên lớp B đồng đều hơn → b) Đúng. Giá trị đại diện nhóm $[7;8)$ là $\frac{7+8}{2}=7,5$ → c) Đúng. Điểm trung bình lớp A làm tròn đến hàng phần chục là $7,2\ne 7,5$ → d) Sai. Kết quả a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai khớp đáp án mã đề 102 (SĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$s_A^2=\frac{970,5}{18}-{\left(\frac{130}{18}\right)}^2\approx 1,7562$ nên $s_A\approx 1,33\ne 1,34$, khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s_B\approx 1,12<s_A\approx 1,33$ nên học sinh lớp B có điểm đồng đều hơn lớp A.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện nhóm $[7;8)$ là $\frac{7+8}{2}=7,5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A=\frac{130}{18}\approx 7,2\ne 7,5$, khẳng định Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số nhóm $[8;10]$ là 2 (tổng $n=40$). Các giá trị đại diện: $1,3,5,7,9$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 1+5\cdot 3+5\cdot 5+25\cdot 7+2\cdot 9}{40}=\frac{236}{40}=5,9$. Tính $\frac{\sum x_i^2{n}_i}{n}=\frac{3+45+125+1225+162}{40}=\frac{1560}{40}=39$. Phương sai: $s^2=39-5,9^2=39-34,81=4,19$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,19.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số nhóm $[8;10]$ là 2 (đọc từ ảnh trang 4, khớp với tổng $n=40$). Các giá trị đại diện: 1, 3, 5, 7, 9. Tần số: 3, 5, 5, 25, 2.

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{1\cdot 3+3\cdot 5+5\cdot 5+7\cdot 25+9\cdot 2}{40}=\frac{3+15+25+175+18}{40}=\frac{236}{40}=5,9$.

Tổng bình phương: $\sum x_i^2{n}_i=1\cdot 3+9\cdot 5+25\cdot 5+49\cdot 25+81\cdot 2=3+45+125+1225+162=1560$.

Phương sai: $s^2=\frac{1560}{40}-5,9^2=39-34,81=4,19$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,19.

a) Đúng: $R=10-4=6$. b) Đúng: ${\overline{x}}_1=\frac{131}{18}\approx 7,3$; ${\overline{x}}_2=\frac{22}{3}\approx 7,3$. c) Mâu thuẫn nội bộ trong nguồn: bảng đáp án chính thức (trang 8) ghi c) S (Sai), nhưng lời giải chi tiết (trang 22) tính $s_1^2=\frac{389}{225}\approx 1,73$ và kết luận "Mệnh đề đúng". Đáp án của mệnh đề c) để unknown (null) chờ human review. d) Đúng: $s_2^2=\frac{563}{450}\approx 1,25<s_1^2$ nên nhóm 2 đồng đều hơn.
a) Mệnh đề đúng vì khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu đã cho ở 2 bảng trên là $R=10-4=6$.
b) Mệnh đề đúng, vì: Điểm kiểm tra trung bình của nhóm học sinh 1 là $${\overline{x}}_1=\frac{1.4,5+2.5,5+4.6,5+6.7,5+3.8,5+2.9,5}{18}=\frac{131}{18}\approx 7,3$$ Điểm kiểm tra trung bình của nhóm học sinh 2 là $${\overline{x}}_2=\frac{1.4,5+1.5,5+3.6,5+9.7,5+3.8,5+1.9,5}{18}=\frac{22}{3}\approx 7,3$$ Vậy điểm kiểm tra trung bình của hai nhóm học sinh trên là xấp xỉ bằng nhau.
c) NGUỒN MÂU THUẪN — đáp án chưa xác định (chờ human review): Bảng đáp án chính thức (trang 8) ghi Câu 3 c) S. Tuy nhiên lời giải chi tiết trong nguồn (trang 22) lại viết "c) Mệnh đề đúng, vì Phương sai của mẫu số liệu của nhóm học sinh 1 là $$s_1^2=\frac{1.(4,5-7,3{)}^2+2.(5,5-7,3{)}^2+4.(6,5-7,3{)}^2+6.(7,5-7,3{)}^2+3.(8,5-7,3{)}^2+2.(9,5-7,3{)}^2}{18}=\frac{389}{225}\approx 1,73$$". Về mặt toán học $s_1^2=\frac{389}{225}\approx 1,73$ nên mệnh đề đúng; bảng đáp án chính thức ghi "Sai" là nghi ngờ sai sót in ấn. Không tự ý chọn một trong hai đáp án mâu thuẫn.
d) Mệnh đề đúng, vì phương sai của mẫu số liệu của nhóm học sinh 2 là $$s_2^2=\frac{1.(4,5-7,3{)}^2+1.(5,5-7,3{)}^2+3.(6,5-7,3{)}^2+9.(7,5-7,3{)}^2+3.(8,5-7,3{)}^2+1.(9,5-7,3{)}^2}{18}=\frac{563}{450}\approx 1,25$$ Vì $s_1^2>s_2^2$ nên điểm kiểm tra của nhóm học sinh 2 đồng đều hơn của nhóm học sinh 1.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $x_1=19,25;x_2=19,75;x_3=20,25;x_4=20,75;x_5=21,25$ với tần số tương ứng $13;45;24;12;6$, nên $n=100$.

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{13\cdot 19,25+45\cdot 19,75+24\cdot 20,25+12\cdot 20,75+6\cdot 21,25}{100}=\frac{2001,5}{100}=20,015.$$

Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=13\cdot 370,5625+45\cdot 390,0625+24\cdot 410,0625+12\cdot 430,5625+6\cdot 451,5625=40087,75$.

Phương sai mẫu:
$$s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225=0,277275.$$

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{0,277275}\approx 0,5266\approx 0,53$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,53$.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $x_1=2,85$, $x_2=3,15$, $x_3=3,45$, $x_4=3,75$ với tần số $n_1=3$, $n_2=6$, $n_3=5$, $n_4=4$, $n=18$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75}{18}=\frac{59,7}{18}=3,31\overline{6}$.
Phương sai: $s^2=\frac{1}{18}\left[3(2,85-\bar{x}{)}^2+6(3,15-\bar{x}{)}^2+5(3,45-\bar{x}{)}^2+4(3,75-\bar{x}{)}^2\right]=\frac{1,66}{18}\approx 0,0922\approx 0,09$.
Vậy chọn đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 122, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: $x_1=2,85$, $x_2=3,15$, $x_3=3,45$, $x_4=3,75$ với tần số $n_1=3$, $n_2=6$, $n_3=5$, $n_4=4$, $n=18$.

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75}{18}=\frac{59,7}{18}\approx 3,3167$.

Phương sai: $s^2=\frac{3\cdot 2,85^2+6\cdot 3,15^2+5\cdot 3,45^2+4\cdot 3,75^2}{18}-{\bar{x}}^2=\frac{199,665}{18}-(3,3167{)}^2\approx 11,0925-11,0003\approx 0,0922\approx 0,09$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tổng: $n=13+45+24+12+6=100$. Giá trị đại diện các nhóm: $19,25;19,75;20,25;20,75;21,25$.

Số trung bình mẫu: $$\bar{x}=\frac{13(19,25)+45(19,75)+24(20,25)+12(20,75)+6(21,25)}{100}=\frac{2001,5}{100}=20,015.$$

Tổng $\sum n_i{x}_i^2=13(370,5625)+45(390,0625)+24(410,0625)+12(430,5625)+6(451,5625)=40087,75$.

Phương sai mẫu: $$s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225=0,277275.$$

Độ lệch chuẩn: $$s=\sqrt{0,277275}\approx 0,5266\approx 0,53.$$ Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,53.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số nhóm có các giá trị đại diện: 3, 7, 11, 15, 19 với tần số 4, 8, 13, 6, 4; cỡ mẫu n = 35. Số trung bình: x̄ = (3·4 + 7·8 + 11·13 + 15·6 + 19·4)/35 = (12 + 56 + 143 + 90 + 76)/35 = 377/35 ≈ 10,77. Tổng bình phương: 9·4 + 49·8 + 121·13 + 225·6 + 361·4 = 36 + 392 + 1573 + 1350 + 1444 = 4795. Phương sai: s² = 4795/35 − (377/35)² ≈ 137 − 116,02 ≈ 20,98. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Đề 2061, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số nhóm $[1;5)$, $[5;9)$, $[9;13)$, $[13;17)$, $[17;21)$ lần lượt là $4$, $8$, $13$, $6$, $4$ nên $n=35$. Giá trị đại diện các nhóm: $x_1=3$, $x_2=7$, $x_3=11$, $x_4=15$, $x_5=19$. Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{4\cdot 3+8\cdot 7+13\cdot 11+6\cdot 15+4\cdot 19}{35}=\frac{377}{35}\approx 10,77$. Tổng $\sum n_i{x}_i^2=4\cdot 9+8\cdot 49+13\cdot 121+6\cdot 225+4\cdot 361=4795$. Phương sai: $s^2=\frac{4795}{35}-{\left(\frac{377}{35}\right)}^2=137-\frac{142129}{1225}\approx 20,98$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Đề 1061, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+24+2=56$, nên $\frac{n}{4}=14$ và $\frac{3n}{4}=42$.

Tứ phân vị thứ nhất: nhóm chứa vị trí thứ 14 là $[12,5;14,5)$ (cumulative trước đó là 3). Ta có
$$Q_1=12,5+\frac{14-3}{12}\cdot 2=12,5+\frac{11}{6}=\frac{86}{6}=\frac{43}{3}.$$

Tứ phân vị thứ ba: nhóm chứa vị trí thứ 42 là $[16,5;18,5)$ (cumulative trước đó là 30). Ta có
$$Q_3=16,5+\frac{42-30}{24}\cdot 2=16,5+1=\frac{35}{2}.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{35}{2}-\frac{43}{3}=\frac{105-86}{6}=\frac{19}{6}.$$
Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm: 120, 160, 200, 240, 280 với tần số 3, 6, 12, 6, 3 (n=30).
a) Khoảng biến thiên = 300 − 100 = 200 → đúng.
b) Vị trí Q1: 30/4 = 7,5 thuộc nhóm [140;180): Q1 = 140 + (7,5−3)/6·40 = 170. Vị trí Q3: 22,5 thuộc nhóm [220;260): Q3 = 220 + (22,5−21)/6·40 = 230. Khoảng tứ phân vị = 230 − 170 = 60 → đúng.
c) Trung bình = (3·120 + 6·160 + 12·200 + 6·240 + 3·280)/30 = 6000/30 = 200 ≠ 220 → sai.
d) Phương sai = [3·(−80)² + 6·(−40)² + 12·0² + 6·40² + 3·80²]/30 = 57600/30 = 1920 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 300 − 100 = 200.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 170, Q3 = 230 nên khoảng tứ phân vị = 60.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình = 6000/30 = 200, không phải 220.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai = 57600/30 = 1920.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho là

$$\overline{x}=\frac{1\cdot 5+3\cdot 5+5\cdot 5+7\cdot 25+9\cdot 10}{50}=\frac{31}{5}=6,2.$$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

$$s^2=\frac{5{\left(1-6,2\right)}^2+5{\left(3-6,2\right)}^2+5{\left(5-6,2\right)}^2+25{\left(7-6,2\right)}^2+10{\left(9-6,2\right)}^2}{50}=5,76.$$

Các giá trị đại diện của mẫu số liệu là: 1; 3; 5; 7; 9
Tổng tần số là: $n=40$
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$$\overline{x}=\frac{1.19+3.9+5.5+7.6+9.1}{40}=3,05.$$
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$$S^2=\frac{1}{40}\left(1.19^2+3.9^2+5.5^2+7.6^2+9.1^2\right)-3,05^2=5,70.$$
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$$S=\sqrt{5,70}=2,39.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=6+8+12+2+2=30$. Tần số tích lũy: nhóm $[100;120)$: 6; nhóm $[120;140)$: 14; nhóm $[140;160)$: 26; nhóm $[160;180)$: 28; nhóm $[180;200]$: 30.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=7,5$ nằm trong nhóm $[120;140)$ (tần số tích lũy trước là 6, tần số nhóm là 8), nên
$$Q_1=120+\frac{7,5-6}{8}\cdot 20=120+3,75=123,75\text{ (km)}.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=22,5$ nằm trong nhóm $[140;160)$ (tần số tích lũy trước là 14, tần số nhóm là 12), nên
$$Q_3=140+\frac{22,5-14}{12}\cdot 20=140+\frac{170}{12}=140+\frac{85}{6}\approx 154,17\text{ (km)}.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 154,17-123,75=30,42\approx 30,4\text{ (km)}.$$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta Q\approx 30,4$ km.