Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng $(-\infty ;-2)$ ta có $y^{\prime }<0$ và trên $(-2;0)$ ta có $y^{\prime }>0$, nên mệnh đề "Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;1)$" là sai.

Xét hàm số $y=-x^3+x^2-5x+3$ có $y^{\prime }=-3x^2+2x-5<0,\forall x\in \mathbb{R}$ (do ${\Delta }^{\prime }=1-15=-14<0$ và $a=-3<0$), nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Quan sát bảng biến thiên, trên khoảng $(0;1)$, $f^{\prime }(x)>0$ và mũi tên đi lên, do đó hàm số đồng biến trên $(0;1)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn B.

Xét hàm số $y=x^3+x-1$ có $y^{\prime }=3x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, do đó hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn A.

Xét hàm số $y=2x-\cos 2x$, ta có đạo hàm $y^{\prime }=2+2\sin 2x=2(1+\sin 2x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Dấu bằng xảy ra tại các điểm rời rạc nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng $(-1;0)$ ta có $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0)$.

Xét hàm số $y=-x^3-x+2$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$ và $y^{\prime }=-3x^2-1<0,\forall x\in \mathbb{R}$, nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Xét $f^{\prime }(x)>0\iff (x+2{)}^2(x+1)(3-x)>0$. Trên khoảng $(-1;3)$ (với $x\ne -2$), ta có $(x+1)(3-x)>0$ và $(x+2{)}^2>0$, nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;3)$.

Xét hàm số ở đáp án B: $y=x^3-6x^2+12x+2\Rightarrow y^{\prime }=3x^2-12x+12=3(x-2{)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$, và $y^{\prime }=0$ chỉ tại $x=2$. Do đó hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. Chọn đáp án B.

Tập xác định: $x^2-6x+5\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 5$. Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+5}}=\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+5}}$. Với $x\in (5;+\infty )$, $x-3>0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến trên $(5;+\infty )$. Chọn đáp án B.

Ta có $x^2\ge 0,\forall x$. Dấu của $f^{\prime }(x)$ phụ thuộc vào $x+1$. $f^{\prime }(x)<0\iff x<-1$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$. Chọn đáp án D.

Ta có $(x+1{)}^{2022}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Do đó $f^{\prime }(x)>0\iff (x-1)(2-x)>0$ (với $x\ne -1$) $\iff 1<x<2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(1;2)$.

Ta có $y^{\prime }=12x^3<0\iff x<0$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;0)$.

Ta có $g^{\prime }(x)=(2x-2)f^{\prime }(x^2-2x)$. Với $x\in (2;3)$, ta có $2x-2>0$ và $x^2-2x\in (0;3)$. Từ đồ thị $f^{\prime }(x)$, trên khoảng $(0;3)$ ta có $f^{\prime }(t)>0$, suy ra $g^{\prime }(x)>0,\forall x\in (2;3)$. Vậy hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(2;3)$.

**Chọn C**

Xét hàm số $g(x)=-2f(x)\Rightarrow g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(x)=-2(x^2-2x)=-2x(x-2)$.
Hàm số nghịch biến khi $g^{\prime }(x)<0\iff x(x-2)>0\iff x\in (-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$.
Khoảng $(-1;0)\subset (-\infty ;0)$, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$.

**Chọn A**

Dựa vào đồ thị hàm số, trên khoảng $(-\infty ;-3)$ đồ thị đi lên từ trái sang phải, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-3)$.

Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng $(-1;1)$ ta có $y^{\prime }<0$ và mũi tên đi xuống, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.

Từ bảng biến thiên, đạo hàm $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Chọn đáp án D.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{2-m}{(x+2{)}^2}$. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi $y^{\prime }>0,\forall x\ne -2\iff 2-m>0\iff m<2$. Chọn đáp án D.

Từ đồ thị hàm số $g(x)=f(x^3-3x+1)$, ta xác định được dấu của $f^{\prime }(u)$.
Xét hàm số $h(x)=f(x^3-3x^2+3)$, ta có:
$h^{\prime }(x)=(3x^2-6x)f^{\prime }(x^3-3x^2+3)=3x(x-2)f^{\prime }(x^3-3x^2+3).$
Lập bảng xét dấu của $h^{\prime }(x)$:


Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng tương ứng, trong các phương án đã cho hàm số đồng biến trên khoảng $(3;5)$. Chọn đáp án D.