Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ với $x_0,y_0,z_0,a,b,c$ đều là hằng số (mẫu số là vecto chỉ phương, không được chứa biến). Xét các phương án: A có mẫu là $z$ (chứa biến) ở phân số đầu; B có mẫu là $z$ ở phân số thứ hai; D có mẫu là $y$ ở phân số đầu — đều không phải phương trình chính tắc. Chỉ có phương án C: $\frac{x-6}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-5}{5}$ thỏa mãn dạng chính tắc với điểm $(6;3;5)$ và vecto chỉ phương $(3;4;5)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 8: C).

Theo HD chấm (Đề 101 và 103):
$\overrightarrow{AC}=(0;1;2);\overrightarrow{BC}=(1;-1;2)$
Vecto pháp tuyến của mp(ABC) là
$\vec{n}=(4;2;-1)$
Suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng cần viết phương trình là $\vec{n}=(4;2;-1)$
Phương trình chính tắc $\frac{x-1}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$
(Thang điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2-1;4-2;5-2)=(1;2;3)$. Vì $\vec{u}=(1;b;c)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ nên $\vec{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$, suy ra $c=3$ (và $b=2$). Vậy chọn đáp án B, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm thuộc $d$ khi tồn tại $t$ sao cho $x=2,y=3+2t,z=4-7t$. Với $M(2;3;4)$: $t=0$ thỏa. Với $N(2;5;11)$: $y=5\Rightarrow t=1$ nhưng $z=4-7(1)=-3\ne 11$, nên $N$ không thuộc $d$. Với $P(2;1;11)$: $y=1\Rightarrow t=-1$, $z=4+7=11$ thỏa. Với $Q(2;7;-10)$: $y=7\Rightarrow t=2$, $z=4-14=-10$ thỏa. Vậy điểm không thuộc $d$ là $N$, khớp đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ với $x_0,y_0,z_0,a,b,c$ là các hằng số (tọa độ điểm và vectơ chỉ phương). Xét các phương án: A: $\frac{x-9}{7}=\frac{y-8}{-1}=\frac{z-6}{-2}$ — tất cả mẫu số đều là hằng số, đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $(9;8;6)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(7;-1;-2)$. B, C, D: mẫu số chứa biến $z$ hoặc $y$ (ví dụ $\frac{y-1}{z}$, $\frac{z-5}{z}$, $\frac{x-1}{y}$), không phải hằng số nên không phải phương trình chính tắc. Vậy đáp án đúng là A, khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-2}{-1}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-1}{3}$ có dạng chính tắc $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$, nên một véc-tơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(-1;1;3)$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Tại thời điểm $t=3$ giây, thay vào phương trình đường thẳng $d$: $x=1+\frac{1}{3}\cdot 3=2$; $y=2+\frac{2}{3}\cdot 3=4$; $z=4+3=7$. Vậy $M(2;4;7)$ và $a+b+c=2+4+7=13$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-2}{-1}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-1}{3}$ có dạng phương trình tham số theo mẫu $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$, trong đó $(a;b;c)$ là tọa độ một véc-tơ chỉ phương. So sánh, ta có ${\vec{u}}_d=(-1;1;3)$. Vậy đáp án đúng là A, trùng với đáp án của đề (mã đề 1201, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $t=3$ vào phương trình đường thẳng $d$: $x=1+\frac{1}{3}\cdot 3=2$; $y=2+\frac{2}{3}\cdot 3=4$; $z=4+3=7$. Vậy $M(2;4;7)$ và $a+b+c=2+4+7=13$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 1201: 13).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ và có vecto chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$ có phương trình tham số: điểm bất kỳ $M(x;y;z)$ trên đường thẳng thỏa $\overrightarrow{AM}=t\vec{u}$, tức $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}$ với $t\in \mathbb{R}$. Đây chính là đáp án B, khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay $B(-2;3;1)$ vào $d$: $\frac{x+2}{-1}=0$, $\frac{y-3}{2}=0$, $\frac{z-1}{3}=0$ đều bằng 0 nên $B$ thuộc $d$. Mệnh đề '$B$ không thuộc $d$' là Sai. b) $\Delta$ qua $A(3;1;2)$ và song song với $d$ phải có vecto chỉ phương tỉ lệ với $(-1;2;3)$, ví dụ $x=3-t$, $y=1+2t$, $z=2+3t$. Phương trình đã cho có vecto chỉ phương $(3;1;2)$ và đi qua $(-1;2;3)$, không phải $\Delta$ nên Sai. c) Từ phương trình chính tắc của $d$, vecto chỉ phương là $\vec{u}=(-1;2;3)$ nên Đúng. d) $\vec{n}=(1;0;-1)$, $\sin \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-1-3|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{28}}=\frac{2}{\sqrt{7}}\approx 0.7559$, nên $\theta \approx \arcsin (0.7559)\approx 49^{\circ }$, không phải $41^{\circ }$, mệnh đề Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 1002: SSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $B(-2;3;1)$ vào phương trình $d$: cả ba tỉ số đều bằng 0 nên $B$ thuộc $d$. Do đó khẳng định '$B$ không thuộc $d$' là Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta$ song song với $d$ nên phải có vecto chỉ phương cùng phương với $\vec{u}=(-1;2;3)$ và đi qua $A(3;1;2)$, ví dụ $x=3-t$, $y=1+2t$, $z=2+3t$. Phương trình đã cho có vecto chỉ phương $(3;1;2)$ và đi qua điểm $(-1;2;3)$, nên Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình chính tắc $d$: $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3}$, vecto chỉ phương là $\vec{u}=(-1;2;3)$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-z+1=0$ có $\vec{n}=(1;0;-1)$. $\sin \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-1\cdot 1+3\cdot (-1)|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{28}}=\frac{2}{\sqrt{7}}\approx 0.7559$, nên $\theta \approx 49^{\circ }$ (làm tròn), không phải $41^{\circ }$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(1;-2;3)$ với vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;1;-3)$ có phương trình chính tắc $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-3}$. Khớp với đáp án D và bảng đáp án (đề 1002, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-1}{2}$ có một vecto chỉ phương là $\vec{u}=(1;-3;2)$. Các vecto cùng phương với $\vec{u}$: ${\vec{u}}_3=(-2;6;-4)=-2\vec{u}$ (đúng), ${\vec{u}}_4=(-1;3;-2)=-\vec{u}$ (đúng). Vecto ${\vec{u}}_2=(-1;2;1)$ không tỉ lệ với $\vec{u}$ vì $\frac{-1}{1}\ne \frac{2}{-3}$, nên ${\vec{u}}_2$ không phải là vecto chỉ phương của $d$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm thuộc đường thẳng khi tồn tại $t$ thỏa hệ phương trình. Với $Q(1;0;-1)$: từ $x=1-t=1\Rightarrow t=0$; khi đó $y=2t=0$ và $z=-1+3t=-1$, khớp tọa độ của $Q$. Vậy $Q\in d$. Kiểm tra các điểm khác: $N(-1;2;3)$: $t=2\Rightarrow y=4\ne 2$, loại. $M(1;2;-1)$: $t=0\Rightarrow y=0\ne 2$, loại. $P(1;2;3)$: $t=0\Rightarrow y=0\ne 2$, loại. Kết quả khớp với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $x=3+t,y=1-2t,z=2+3t$ nên một vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1;-2;3)$. Các vectơ cùng phương với $\vec{u}$: $\overrightarrow{u_2}=(-1;2;-3)=-\vec{u}$ và $\overrightarrow{u_3}=(2;-4;6)=2\vec{u}$ đều là vectơ chỉ phương của $d$. Vectơ $\overrightarrow{u_4}=(3;1;2)$ không cùng phương với $\vec{u}$ (không tồn tại $k$ để $(3;1;2)=k(1;-2;3)$), nên không phải vectơ chỉ phương của $d$. Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(2;1;-3)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-2;3)$ nên có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-2t\\ z=-3+3t\end{array}$ với $t\in \mathbb{R}$. Khớp với đáp án A và với bảng đáp án (Câu 12, đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x=2-t,y=1+3t,z=-1+t$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(-1;3;1)$ và đi qua điểm $(2;1;-1)$.
a) Đúng: $\vec{u}=(1;-3;-1)=-{\vec{u}}_d$ cùng phương với ${\vec{u}}_d$ nên là một vectơ chỉ phương của $d$.
b) Đúng: Với $t=0$ ta được điểm $(2;1;-1)=A$, nên $A\in d$.
c) Sai: Đường thẳng qua $B(3;-1;2)$ song song với $d$ có phương trình chính tắc $\frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{1}$, khác với phương trình đã cho (mẫu số dùng $x+3,y-1,z+2$ tức đi qua $(-3;1;-2)$).
d) Đúng: Vectơ chỉ phương của trục $Oz$ là $\vec{k}=(0;0;1)$. $\cos \alpha =\frac{|1|}{\sqrt{1+9+1}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{11}}\approx 0.3015$, suy ra $\alpha \approx 72.45^{\circ }\approx 72^{\circ }$. Kết quả khớp đáp án mã đề 1001: DDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(1;-3;-1)=-(-1;3;1)$ cùng phương với vectơ chỉ phương $(-1;3;1)$ của $d$, nên là một vectơ chỉ phương của $d$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $t=0$: $x=2,y=1,z=-1$, đúng bằng tọa độ điểm $A(2;1;-1)$, vậy $A\in d$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $B(3;-1;2)$ song song với $d$ phải có phương trình $\frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{1}$; phương trình trong đề $\frac{x+3}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+2}{1}$ đi qua $(-3;1;-2)$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\frac{|(-1;3;1)\cdot (0;0;1)|}{\sqrt{11}}=\frac{1}{\sqrt{11}}\approx 0.3015\Rightarrow \alpha \approx 72.45^{\circ }\approx 72^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{3}$ đi qua điểm $P_0(2;1;-1)$ với vecto chỉ phương $(1;-2;3)$. Thử từng điểm: $N(1;-2;3)$: $\frac{1-2}{1}=-1$, $\frac{-2-1}{-2}=1,5$ không bằng nhau, loại. $M(-2;-1;1)$: $\frac{-2-2}{1}=-4$, $\frac{-1-1}{-2}=1$ không bằng nhau, loại. $P(2;1;-1)$: $\frac{2-2}{1}=0$, $\frac{1-1}{-2}=0$, $\frac{-1+1}{3}=0$ đều bằng 0, nên $P$ thuộc $d$. $Q(2;1;1)$: $\frac{1-1}{-2}=0$ nhưng $\frac{1+1}{3}=\frac{2}{3}\ne 0$, loại. Vậy điểm thuộc đường thẳng $d$ là $P(2;1;-1)$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua $A(x_0;y_0;z_0)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$, $abc\ne 0$, có phương trình chính tắc $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$. Điều này khớp với đáp án C và bảng đáp án (đề 1001, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{-1}$ cho thấy $d$ đi qua điểm $(x_0;y_0;z_0)=(1;2;-1)$ (tử số bằng 0 tại các giá trị này) với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;3;-1)$. Vậy đáp án là C.