Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-3}{4}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+2}{3}$ có vectơ chỉ phương là vectơ chứa các mẫu số ở mẫu thức, tức $\vec{u}=(4;-2;3)$. Trong các đáp án, $\overrightarrow{u_2}=(4;-2;3)$ trùng với vectơ này nên là vectơ chỉ phương của $d$.

(AI giải đề cho tôi)
Du khách chuyển động thẳng trên đoạn $AB$. Vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(18;25;-5)$. Điểm $M=A+t\overrightarrow{AB}$ với $z_M=15-5t=13\Rightarrow t=0,4$. Suy ra $a=3+0,4\cdot 18=10,2$, $b=2+0,4\cdot 25=12$, $c=13$. Vậy $T=a+b+c=10,2+12+13=35,2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) VTCP của AB: $\overrightarrow{AB}=(-6;2;2)$, chọn $\vec{u}=(-3;1;1)$. Đường thẳng AB đi qua A(4;0;1): $\frac{x-4}{-3}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$ (hoặc $\frac{x-4}{-6}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{2}$).

b) Tâm I là trung điểm AB: $I(1;1;2)$. Bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{36+4+4}}{2}=\frac{\sqrt{44}}{2}=\sqrt{11}$, nên $R^2=11$. Phương trình mặt cầu: $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của Δ, vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{\Delta }=(2;1;-5)$ và điểm đi qua là $(1;3;4)$.
a) Sai: $\vec{u}=(1;3;4)$ không là vectơ chỉ phương của Δ (đó là tọa độ điểm).
b) Sai: vì $y=3+t\Rightarrow y-3=t$ nên mẫu ứng với $y-3$ phải là $1$, không phải $-1$. Phương trình chính tắc đúng là $\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-5}$.
c) Đúng: ${\vec{u}}_d=(3;4;2)$ và ${\vec{u}}_d\cdot {\vec{u}}_{\Delta }=3\cdot 2+4\cdot 1+2\cdot (-5)=6+4-10=0$, nên $d\perp \Delta$.
d) Đúng: $(Oxz)$ có $y=0\Rightarrow 3+t=0\Rightarrow t=-3$; khi đó $x=1+2(-3)=-5$, $z=4-5(-3)=19$, tức $M(-5;0;19)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của Δ là ${\vec{u}}_{\Delta }=(2;1;-5)$, không phải $(1;3;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=3+t$ nên mẫu ứng với $y-3$ là $1$; phương trình chính tắc đúng là $\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{u}}_d=(3;4;2)$, ${\vec{u}}_d\cdot {\vec{u}}_{\Delta }=6+4-10=0$ nên $d\perp \Delta$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=0\Rightarrow t=-3\Rightarrow x=-5,z=19$, nên $M(-5;0;19)$.

(AI giải đề cho tôi)
Để bắn trúng hồng tâm, điểm $A(8;-19;6m+4)$ phải nằm trên đường thẳng $d$. Theo phương trình tham số: $\frac{x-1}{1}=t\Rightarrow 8-1=7=t$. Kiểm tra $y$: $y=2-3t=2-21=-19$ ✓ khớp. Tính $z$: $z=3-5t=3-35=-32$. Suy ra $6m+4=-32\Rightarrow 6m=-36\Rightarrow m=-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $t=0$ vào phương trình tham số của $\Delta$: $x=3$, $y=1$, $z=0$, tức điểm $(3;1;0)$ thuộc $\Delta$. Kiểm tra các điểm khác: $Q(-1;-3;0)$ đòi hỏi $t=4$ từ $x=3-t=-1$ nhưng $z=2t=8\ne 0$; $M(3;1;2)$ đòi hỏi $t=0$ nhưng $z=0\ne 2$; $P(-1;3;2)$ đòi hỏi $t=4$ nhưng $y=13\ne 3$. Vậy chỉ có $N(3;1;0)$ thuộc $\Delta$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;3;-5)$. Đường thẳng cần tìm đi qua $M(-1;2;-5)$ và song song với $(d)$ nên có cùng vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;3;-5)$. Phương trình chính tắc: $\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+5}{-5}$. Khớp với phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):\frac{x-9}{1}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-8}{-1}$ có dạng chính tắc với mẫu số là các thành phần của vectơ chỉ phương, nên một vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1;2;-1)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng qua $M(1;-2)$, $N(4;3)$ là $\overrightarrow{MN}=(3;5)$. Kiểm tra các phương án: phương án B có chỉ phương $(3;5)$ và điểm $(7;8)$. Với $t=-2$: $x=7+3(-2)=1$, $y=8+5(-2)=-2$, tức đường thẳng đi qua $M(1;-2)$; với $t=-1$: $x=4$, $y=3$, tức đi qua $N(4;3)$. Vậy phương án B thỏa mãn. Các phương án A, C, D có vecto chỉ phương khác $(3;5)$ nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=3-t,y=-1,z=3t$, vecto chỉ phương là hệ số của $t$: $\vec{u}=(-1;0;3)$. Đáp án D (khớp đáp án gạch chân trong đề).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $(-1;1;-2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-1;-2)$. Thử từng điểm: với $D(1;0;-4)$, ta có $\frac{1+1}{2}=1$, $\frac{0-1}{-1}=1$, $\frac{-4+2}{-2}=1$, ba tỉ số cùng bằng $t=1$ nên $D\in d$. Các điểm còn lại: $A(-1;1;2)$ cho $\frac{2+2}{-2}=-2\ne 0$; $C(1;0;4)$ cho $\frac{4+2}{-2}=-3\ne 1$; $B(1;-1;2)$ cho $\frac{-1-1}{-1}=2\ne 1$. Vậy điểm thuộc $d$ là $D(1;0;-4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ nên có tung độ $y_M=0$. Điểm $M$ nằm trên đường thẳng $AB$ nên $M=A+t\overrightarrow{AB}$ với $\overrightarrow{AB}=(7;3;1)$. Tọa độ $y$: $3+3t=0\Rightarrow t=-1$. Khi đó $M=(-9;0;0)$. Tỉ số $\frac{AM}{BM}=\frac{|t|}{|1-t|}=\frac{1}{2}$. Vậy $\frac{AM}{BM}=\frac{1}{2}$ (tức $0,5$).

Đường thẳng $OM$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{OM}=(1;2;3)$ nên có phương trình chính tắc là $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$. Chọn C.

Đường thẳng $(d):\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_1=(3;2;1)$.

$M\in d\Rightarrow M(-1+2t;t;2+t)$.
Vì $A(1;-1;2)$ là trung điểm của $MN$ nên $N=2A-M=(3-2t;-2-t;2-t)$.
$N\in (P)\Rightarrow (3-2t)+(-2-t)-2(2-t)+5=0\iff -t+2=0\iff t=2$.
Suy ra $M(3;2;4),N(-1;-4;0)$.
Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{MN}=(-4;-6;-4)=-2(2;3;2)$. Chọn D.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có véctơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$ nên phương trình tham số của $\Delta$ là $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}$. Do đó điểm $M\in \Delta$ có tọa độ dạng $M(x_0+at;y_0+bt;z_0+ct)$. Chọn đáp án D.

Mặt phẳng $(P)$ có VTPT ${\vec{n}}_1=(2;1;2)$, mặt phẳng $(Q)$ có VTPT ${\vec{n}}_2=(1;-4;1)$. Đường thẳng $d$ song song với cả $(P)$ và $(Q)$ nên có VTCP cùng phương với $[{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2]=(9;0;-9)=9(1;0;-1)$. Vậy phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A(3;5;3)$ là $\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=5\\ z=3-t\end{array}$. Chọn đáp án C.

Gọi $M(2+t;1-2t;2t)\in \Delta$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $\Delta$. Ta có $\overrightarrow{AM}=(3+t;-2t;2t-6)$ và ${\vec{u}}_{\Delta }=(1;-2;2)$. Vì $AM\perp \Delta$ nên $\overrightarrow{AM}\cdot {\vec{u}}_{\Delta }=0\iff 1(3+t)-2(-2t)+2(2t-6)=0\iff 9t-9=0\iff t=1\Rightarrow M(3;-1;2)$. Chọn đáp án A.

Gọi $A(t_1;1-t_1;-1)=\Delta \cap d_1$ và $B(-1+2t_2;1+t_2;-2+t_2)=\Delta \cap d_2$. Ta có $\overrightarrow{MA}=(t_1-1;2-t_1;-3)$ và $\overrightarrow{MB}=(2t_2-2;t_2+2;t_2-4)$. Từ $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}$ giải được $t_1=0\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(-1;2;-3)=-(1;-2;3)$. Do đó ${\vec{u}}_{\Delta }=(1;-2;3)\Rightarrow a=-2,b=3\Rightarrow a+b=1$. Chọn đáp án D.

Đường thẳng ở phương án C có vectơ chỉ phương là $\vec{v}=(-2;-1;-1)=-\vec{u}$, cùng phương với $\vec{u}=(2;1;1)$.
Do đó đường thẳng này nhận $\vec{u}$ làm một vectơ chỉ phương.