Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng Oxyz (Toán học Lớp 12)

Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(2;-4;3)$.
Đường thẳng vuông góc với $(P)$ nên nhận $\vec{u}=\vec{n}=(2;-4;3)$ làm VTCP.
Phương trình đường thẳng: $\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z+1}{3}$.

Từ phương trình chính tắc của $d$, một vectơ chỉ phương của $d$ là ${\vec{u}}_2=(2;2;5)$. Chọn A.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_1=(2;3;6)$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 9, mã đề 101: Chọn C).

a) Đúng: $\overrightarrow{AB}=(-40;20;-5)=5(-8;4;-1)$. Chọn vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-8;4;-1)$ và đi qua $A(38;-16;6)$, phương trình đường thẳng là $x=38-8t,y=-16+4t,z=6-t$.
b) Sai: $C(46;-20;7)$ ứng với $t=-1$. Nhưng máy bay bắt đầu hạ cánh từ $A$ ($t=0$) đến $B$ ($t=5$), đoạn bay có $t\in [0;5]$, nên $C$ không nằm trong quá trình hạ cánh (nó nằm phía trước điểm bắt đầu).
c) Đúng: Vectơ pháp tuyến mặt đất $(Oxy)$ là $\vec{k}=(0;0;1)$. Gọi $\alpha$ là góc hạ cánh: $\sin \alpha =\frac{|-1|}{\sqrt{(-8{)}^2+4^2+(-1{)}^2}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{81}}=\frac{1}{9}$. Khi đó $\alpha =\arcsin (1/9)\approx 6,38^{\circ }>6^{\circ }$.
d) Đúng: Quãng đường sau 6 phút ($0,1$ giờ) là $s=270\times 0,1=27\text{ km}$. Khoảng cách $AB=\sqrt{(-40{)}^2+20^2+(-5{)}^2}=45\text{ km}$. Tỉ lệ vị trí là $\frac{s}{AB}=\frac{27}{45}=\frac{3}{5}$. Tham số $t$ tại $M$ là $t=5\times \frac{3}{5}=3$. Điểm $M$ có tọa độ $x=38-8(3)=14$, $y=-16+4(3)=-4$, $z=6-3=3$. Do đó $a+b+c=14-4+3=13$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 9, mã đề 101: a-Đ, b-S, c-Đ, d-Đ).

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 1201; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 1201; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề 1010; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9-10, mã đề 024; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(-1-(-3);2-1;1-(-2))=(2;1;3)$. Đường thẳng đi qua điểm $A(-3;1;-2)$ có phương trình chính tắc là $\frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{3}$.

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_1=(-1;2;3)$. Khi đó $-{\vec{u}}_1=(1;-2;-3)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $d$.

Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(2;-1;2)$. Đường thẳng vuông góc với $(P)$ nhận $\vec{n}$ làm VTCP và đi qua $A(2;0;-1)$ có PT tham số $\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-t\\ z=-1+2t\end{array}$.

Đường thẳng đi qua $B(-2;4;0)$ và có VTCP $\vec{a}(-1;2;3)$ có phương trình chính tắc là $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z}{3}$.

a) $\vec{u}=(2;-2;1)$ có $|\vec{u}|=3$. Vì tốc độ $4,5\text{ m/s}$ nên $\vec{v}=\frac{4,5}{3}\vec{u}=\left(3;-3;\frac{3}{2}\right)$. Do đó $M=A+t\vec{v}=\left(3t+10;-3t+3;\frac{3t}{2}\right)$ (Đúng).
b) $\sin \alpha =\frac{|1|}{\sqrt{4+4+1}\cdot 1}=\frac{1}{3}\Rightarrow \alpha \approx 19,47^{\circ }>19^{\circ }$ (Đúng).
c) $x_B=550\Rightarrow 3t+10=550\Rightarrow t=180\text{ s}$. Quãng đường $AB=4,5\times 180=810\text{ m}\ne 800\text{ m}$ (Sai).
d) PT chính tắc là $\frac{x-10}{2}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z}{1}$ (Sai).

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_3=(1;-2;3)$. (Theo bảng đáp án chính thức trang 11, mã đề 101: Chọn B.)

Thay tọa độ điểm $M(-1;2;1)$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\frac{-1+1}{-1}=\frac{2-2}{3}=\frac{1-1}{3}=0$ (đúng). Chọn B.

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(2;-1;2)$ hay ${\vec{u}}_3=-\vec{u}=(-2;1;-2)$.

Đường thẳng $AB$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=(0;0;-1)$ và đi qua $A(2;3;-1)$.
Phương trình tham số của đường thẳng $AB$ là: $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\\ z=-1-t\end{array}(t\in \mathbb{R})$.

Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-3;2)$.
Vì đường thẳng $d\perp (P)$ nên $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u}=\vec{n}=(1;-3;2)$.
Đường thẳng $d$ đi qua $M(1;3;2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-3;2)$ nên phương trình chính tắc là:
$\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-3}=\frac{z-2}{2}$.

a) Sai: Vì $ABCD$ là hình chữ nhật trong mặt phẳng $(Oxy)$ nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(1;0;0)+(0;3;0)=(1;3;0)\Rightarrow C(1;3;0)\ne (0;1;3)$.
b) Đúng: Ta có $A^{\prime }(0;0;2)$ và $B(1;0;0)\Rightarrow \overrightarrow{A^{\prime }B}=(1;0;-2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $A^{\prime }B$.
c) Sai: Ta có $\overrightarrow{AC}=(1;3;0)$ và $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(1;0;-2)$. Khi đó $\cos (AC,A^{\prime }B)=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }B}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{A^{\prime }B}|}=\frac{|1\cdot 1+3\cdot 0+0(-2)|}{\sqrt{1^2+3^2}\cdot \sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{10}\ne \frac{2}{10}$.
d) Sai: Đường thẳng $A^{\prime }B$ đi qua $A^{\prime }(0;0;2)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;0;-2)$ nên phương trình tham số đúng là $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=2-2t\end{array}(t\in \mathbb{R})$. Phương trình $z=2+2t$ là sai.