Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $ax+by+c=0$ song song khi và chỉ khi $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$. Xét từng phương án: A: $x+4y-3=0$ và $x-4y-3=0$ có $\frac{1}{1}\ne \frac{4}{-4}$ nên hai đường cắt nhau. B: $x+4y+3=0$ và $x-4y-3=0$ cũng có $\frac{1}{1}\ne \frac{4}{-4}$ nên cắt nhau. C: $x+4y-3=0$ và $x+4y+3=0$ có $\frac{1}{1}=\frac{4}{4}=1\ne \frac{-3}{3}=-1$ nên hai đường song song. D: hai đường trùng nhau vì cùng một phương trình. Vậy chọn C, trùng với đáp án nguồn (mã 1102, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng cắt nhau khi hệ số của $x$ và $y$ không tỉ lệ. A: $(1;4)$ và $(1;4)$ tỉ lệ, khác cặp hằng số → song song. B: ${\Delta }_2$ là $-x-4y-3=0$ tức $x+4y+3=0$, cùng hệ số $(1;4)$ với ${\Delta }_1$ → song song. C: $(1;4)$ và $(1;4)$ → song song. D: $(1;4)$ và $(-1;4)$ không tỉ lệ ($1/(-1)\ne 4/4$) → hai đường thẳng cắt nhau. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã 1102, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Từ phương trình tham số của Δ, vectơ chỉ phương là u=(-5;1), nên vectơ pháp tuyến là n=(1;5), không phải (-5;1). b) Đúng. Vectơ chỉ phương AB=(-2;3) nên vectơ pháp tuyến n=(3;2). Phương trình: 3(x-3)+2(y+2)=0 ⟺ 3x+2y-5=0. c) Sai. Bán kính R=AB=√((1-3)²+(1+2)²)=√13≠2. d) Sai. Đường tròn đường kính AB có tâm I là trung điểm AB: I(2;-1/2), bán kính R=AB/2 nên R²=13/4. Phương trình đúng là (x-2)²+(y+1/2)²=13/4, không phải 13/2. Kết quả khớp đáp án nguồn (2a S, 2b Đ, 2c S, 2d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của Δ là u=(-5;1) nên vectơ pháp tuyến là n=(1;5), không phải (-5;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=(-2;3) nên n=(3;2); qua A(3;-2): 3x+2y-5=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
R=AB=√(4+9)=√13≠2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(2;-1/2), R²=(AB/2)²=13/4, phương trình đúng là (x-2)²+(y+1/2)²=13/4.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm của $\Delta :2x+3y-12=0$ với trục tung có $x=0$, khi đó $3y-12=0\Rightarrow y=4$. Vậy tung độ giao điểm bằng 4, khớp với đáp án nguồn.

a) $\overrightarrow{AB}=(-1;-2)$
Đường thẳng $AB$ có vtpt $\vec{n}=(2;-1)$
$$\cos (AB;\Delta )=\frac{|2.3-1.4|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}\cdot \sqrt{3^2+4^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{25}$$
b) $d//\Delta$ nên $d:3x+4y+C=0;C\ne 5$
$$d(A;d)=\frac{|18+C|}{5}=5$$
$$\iff |18+C|=25\iff [18+C=25;18+C=-25]\iff [C=7;C=-43]$$
Vậy $d:3x+4y+7=0$; $3x+4y-43=0$

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1-t\end{array}$, nên một véc tơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u}=(2;-1)$ (tức hệ số của $t$ trong $x$ và $y$). Trong các đáp án, chỉ có $\overrightarrow{PQ}=(2;-1)$ là véc tơ chỉ phương của $d$. Đáp án B khớp với đáp án nguồn (Mã 1101, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $ax+by+c=0$ và $a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0$ song song khi $\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{b}{b^{\prime }}\ne \frac{c}{c^{\prime }}$. A: $4\ne -4$ nên cắt nhau. B: $4\ne -4$ nên cắt nhau. C: hai đường trùng nhau. D: $\frac{1}{1}=\frac{4}{4}=1\ne \frac{-3}{-5}$ nên song song. Đáp án D, khớp đáp án nguồn (Mã 1101, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương án qua hệ số góc. A: ${\Delta }_1:y=-\frac{x}{4}+\frac{3}{4}$ (hệ số góc $-\frac{1}{4}$) và ${\Delta }_2:y=\frac{x}{4}-\frac{3}{4}$ (hệ số góc $\frac{1}{4}$). Vì hệ số góc khác nhau nên hai đường thẳng cắt nhau. B: ${\Delta }_2:-x-4y-3=0\iff x+4y+3=0$ trùng với ${\Delta }_1$, nên hai đường trùng nhau. C: hai đường có cùng hệ số góc $-\frac{1}{4}$ nhưng khác hệ số tự do nên song song. D: hai đường trùng nhau. Vậy chỉ có phương án A thỏa mãn, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{MN}=(3-1;-1-2)=(2;-3)$ → đúng. b) Đường thẳng $x-y+2=0$ có pháp tuyến $(1;-1)$, không phải $(1;1)$ → sai. c) Đường thẳng $MN$ đi qua $M(1;2)$ với VTCP $(2;-3)$ nên có PT: $3(x-1)+2(y-2)=0\iff 3x+2y-7=0$; thử $2x-5y+14=0$ tại $M$: $2-10+14=6\ne 0$ → sai. d) Bán kính $R=d(N,{\Delta }_1)=\frac{|3-(-1)+2|}{\sqrt{1+1}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$, $R^2=18$ → $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=18$ đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=(3-1;-1-2)=(2;-3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $x-y+2=0$ là $\vec{n}=(1;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $MN$: $3x+2y-7=0$; phương trình $2x-5y+14=0$ không đi qua $M(1;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=d(N,{\Delta }_1)=\frac{|3+1+2|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$, nên $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d:3x+by+c=0$ song song với $3x-4y+5=0$ nên hai vectơ pháp tuyến tỉ lệ, suy ra $b=-4$ (loại $b=4$ vì khi đó hai đường trùng hệ số nhưng khác hằng số... thực ra song song yêu cầu $\frac{3}{3}=\frac{b}{-4}\ne \frac{c}{5}$, cho $b=-4$). Khi đó $d:3x-4y+c=0$. Khoảng cách từ $M(2;-1)$ đến $d$ bằng 3: $\frac{|3\cdot 2-4\cdot (-1)+c|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|10+c|}{5}=3\Rightarrow |c+10|=15\Rightarrow c=5$ hoặc $c=-25$. Kiểm tra: với $c=5$, $d:3x-4y+5=0$ chính là đường thẳng đã cho (không song song mà trùng), do đó loại $c=5$. Vậy $c=-25$.

$M$ là trung điểm $BC$, suy ra $M(0;1)$ (0,25 đ)

Nếu HS tìm trọng tâm đúng vẫn cho điểm

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(1;-1)$ (0,25)

Đường trung tuyến $AM$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow{MA}$ làm vtcp (0,25)

Ptts của $AM$: $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-t\end{array}$ (0,25 đ) $(t\in \mathbb{R})$ (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:-2x+3y+5=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=-2$, $b=3$. Do đó một vectơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n}=(-2;3)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng qua $A(3;-1)$, $B(4;3)$ là $\overrightarrow{AB}=(4-3;3-(-1))=(1;4)$. Phương trình tổng quát của $d$: $y+1=4(x-3)\iff y=4x-13$. Kiểm tra từng đáp án: A có vecto chỉ phương $(4;-1)$ không cùng phương với $(1;4)$, loại. B có vecto chỉ phương $(4;-1)$, loại. C có vecto chỉ phương $(1;4)$ đúng nhưng điểm mốc $(3;1)$ không thuộc $d$ vì $4\cdot 3-13=-1\ne 1$, loại. D có vecto chỉ phương $(1;4)$ và điểm mốc $(5;7)$ thuộc $d$ vì $4\cdot 5-13=7$, đúng. Vậy đáp án D, khớp với đáp án gạch chân trong đề ở trang 12.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:3x-8y+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(3;-8)$ và $d_2:8x+3y-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(8;3)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=3\cdot 8+(-8)\cdot 3=24-24=0$, suy ra $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$, do đó $d_1\perp d_2$. Vậy khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $d_1$ là $\overrightarrow{n_1}=(2;2\sqrt{3})$, của $d_2:y-6=0$ là $\overrightarrow{n_2}=(0;1)$. $\cos \phi =\frac{|2\cdot 0+2\sqrt{3}\cdot 1|}{\sqrt{4+12}\cdot 1}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng là $30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay $M(1;2)$ vào $d_1$: $3(1)-2(2)-2=-3\ne 0$ nên $M$ không thuộc $d_1$ → Sai. b) Thế $x=1+t$, $y=7-5t$ vào $d_1$: $3(1+t)-2(7-5t)-2=0\Rightarrow 13t-13=0\Rightarrow t=1\Rightarrow N(2;2)$ → Đúng. c) $d_2$ có VTCP $(1;-5)$ nên VTPT $(5;1)$; đường qua $M(1;2)$: $5(x-1)+1(y-2)=0\iff 5x+y-7=0$ → Đúng. d) $M(1;2)$, $N(2;2)$ cùng phía trên trục $Ox$. Lấy $M^{\prime }(1;-2)$ đối xứng $M$ qua $Ox$. Đường $M^{\prime }N$: hệ số góc $(2+2)/(2-1)=4$, phương trình $y=4x-6$; cắt $Ox$ tại $x=3/2$. Vậy $I(3/2;0)$, hoành độ bằng $3/2\ne 1$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$3(1)-2(2)-2=-3\ne 0$ nên $M$ không thuộc $d_1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thế tham số vào $d_1$ được $13t-13=0$, $t=1$, $N(2;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
VTPT $(5;1)$, qua $M(1;2)$ cho $5x+y-7=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đối xứng $M^{\prime }(1;-2)$, đường $M^{\prime }N$: $y=4x-6$ cắt $Ox$ tại $I(3/2;0)$, hoành độ $3/2\ne 1$.

Hai đường thẳng ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(1;1),{\vec{n}}_2=(2;m)$.

Ta có: $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2\right|}{\left|{\vec{n}}_1\right|\cdot \left|{\vec{n}}_2\right|}=\frac{\left|1\cdot 2+1\cdot m\right|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{4+m^2}}=\cos 45^{\circ }\iff \frac{\left|1\cdot 2+1\cdot m\right|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{4+m^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow 4+m^2=4+4m+m^2\Rightarrow m=0$. Vậy $m=0$ thỏa mãn đề bài.

Ta có $\overrightarrow{AC}=(10;10)\Rightarrow C(11;12)$.

$\overrightarrow{AB}=(60;80)=20.(3;4)$, suy ra đường thẳng $AB$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(4;-3)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$: $4x-3y+2=0$ (khôi phục từ $A(1;2)$ và $\vec{n}=(4;-3)$; trong nguồn in câu này bị thiếu phương trình).

Khoảng cách ngắn nhất từ tàu chở hành khách đến đảo $C$ xấp xỉ khoảng cách từ đảo $C$ đến đường thẳng $AB$:

$$d\left(C,AB\right)=\frac{\left|4.11-3.12+2\right|}{\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{10}{5}=2\text{(km)}.$$

Đường cao $CH:x-y+1=0$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-1)$.
Ta có $AB\perp CH:x-y+1=0\Rightarrow AB:x+y+c=0$,
Lại có $AB$ qua $A(1;-2)\Rightarrow c=1$. Vậy phương trình đường thẳng $AB:x+y+1=0$.

Kẻ $AI\perp BN:2x+y+5=0\Rightarrow AI:x-2y+m=0$, $AI$ qua $A(1;-2)\Rightarrow m=-5$.

Suy ra $AI:x-2y-5=0$.

Ta có $I=AI\cap BN\Rightarrow$ Tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}x-2y-5=0\\ 2x+y+5=0\end{array}\Rightarrow I(-1;-3)$.

Phương trình đường thẳng $AB:x+y+1=0$.

Ta có $B=AB\cap BN$ nên tọa độ $B$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}x+y+1=0\\ 2x+y+5=0\end{array}\Rightarrow B(-4;3)$.

Gọi $A^{\prime }$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BN$ (ta có $I$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $A^{\prime }\in BC$)

$I$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }\Rightarrow A^{\prime }(-3;-4)$.

Đường $BC$ qua $B(-4;3)$ nhận $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(-1;7)$ làm VTCP có dạng $\frac{x+4}{-1}=\frac{y-3}{7}\iff 7x+y+25=0$.

Ta có $C=BC\cap CH\Rightarrow$ Tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}7x+y+25=0\\ x-y+1=0\end{array}\Rightarrow C\left(\frac{-13}{4};\frac{-9}{4}\right)$.

[Hình cần kiểm tra lại: p16_f1]

Ta có $S_{△ABC}=\frac{1}{2}.BC.d(A,BC)=\frac{1}{2}.\frac{15\sqrt{2}}{4}.\frac{\left|7.1-2+25\right|}{\sqrt{49+1}}=\frac{45}{4}$ (đvdt). Vậy $\frac{a}{b}=\frac{45}{4}\Rightarrow ab=180$

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-3y+1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2,b=-3$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-3)$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án in đậm trong đề.