Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm $O(0;0)$ đến đường thẳng $\Delta :5x+12y-13=0$: $d(O,\Delta )=\frac{|5\cdot 0+12\cdot 0-13|}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{13}{13}=1$. Kết quả khớp với đáp án A trong bảng mã đề 1002.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(1;-3)$ có VTCP $\vec{u}=(2;4)$ nên phương trình tham số là $x=1+2t$, $y=-3+4t$. Khớp đáp án A và bảng đáp án mã đề 1001 (Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(a_1;b_1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(a_2;b_2)$. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến (lấy giá trị trong $[0;90^{\circ }]$), nên $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|a_1{a}_2+b_1{b}_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$. Do đó khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Điểm A(-1;2) có hoành độ x = -1 nên A nằm trên đường thẳng d: x + 1 = 0. Khi đó M, N, A thẳng hàng, không thể tạo thành tam giác AMN đều, do đó khẳng định a) Sai. b) Đường thẳng qua A(-1;2) song song với Δ có dạng 3x - 4y + c = 0; thay A: -3 - 8 + c = 0 ⟹ c = 11, được 3x - 4y + 11 = 0 ⟹ Đúng. c) Bán kính bằng khoảng cách từ A đến Δ: d(A,Δ) = |3(-1) - 4(2) - 4|/√(9+16) = 15/5 = 3, nên (C): (x+1)² + (y-2)² = 9 ⟹ Đúng. d) Khoảng cách từ A đến Δ bằng 3 ⟹ Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã 1001: S, Đ, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
A(-1;2) nằm trên d: x + 1 = 0 nên M, N, A thẳng hàng, không tồn tại tam giác AMN đều; khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A(-1;2) song song Δ: 3x - 4y + c = 0, thay điểm: -3 - 8 + c = 0 ⟹ c = 11 ⟹ 3x - 4y + 11 = 0. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính R = d(A,Δ) = |3(-1) - 4(2) - 4|/5 = 15/5 = 3, nên (C): (x+1)² + (y-2)² = 9. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(A,Δ) = |-3 - 8 - 4|/√(3² + 4²) = 15/5 = 3. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng ${\Delta }_2:x-y+5=0$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(1;1)$. Đường thẳng ${\Delta }_1$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(m;m^2-2)$. Để ${\Delta }_1\parallel {\Delta }_2$ thì $\overrightarrow{u_1}$ cùng phương với $\overrightarrow{u_2}$, tức $\frac{m}{1}=\frac{m^2-2}{1}$, suy ra $m^2-2=m\iff m^2-m-2=0\iff (m-2)(m+1)=0$, cho $m=2$ hoặc $m=-1$. Với cả hai giá trị này, ${\Delta }_1$ không trùng ${\Delta }_2$ (điểm $(2;1)$ của ${\Delta }_1$ không thuộc ${\Delta }_2$ vì $2-1+5=6\ne 0$). Tổng các giá trị của $m$ là $2+(-1)=1$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d:x+y+1=0$ (VTPT $\overrightarrow{n_1}=(1;1)$) và $\Delta :y-2=0$ (VTPT $\overrightarrow{n_2}=(0;1)$). Góc $\phi$ giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \phi =\frac{|1\cdot 0+1\cdot 1|}{\sqrt{1^2+1^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\phi =45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(2;1)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-4y+8=0$ là $d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 2-4\cdot 1+8|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|6-4+8|}{5}=\frac{10}{5}=2$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (Mã đề 1001, Câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tham số của đường thẳng $d:x=1+4t,y=-2-3t$ có dạng $x=x_0+at,y=y_0+bt$, trong đó hệ số của $t$ chính là tọa độ của vectơ chỉ phương. Do đó $\vec{u}=(4;-3)$. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 210, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=(2-\mathrm{1...})$ cụ thể $\overrightarrow{BC}=(2-(-1);1-0)=(3;1)$, nên $BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\ne \sqrt{2}$ → a) Sai. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$, do đó $\overrightarrow{BC}=(3;1)$ là một vecto pháp tuyến của đường thẳng $AB$ → b) Đúng. Vecto vuông góc với $\overrightarrow{BC}$ có độ dài bằng $BC$ là $\overrightarrow{BA}=(-1;3)$ hoặc $(1;-3)$. Với $\overrightarrow{BA}=(-1;3)$ ta được $A=B+\overrightarrow{BA}=(-2;3)$ (hoành độ âm, thỏa đề); trường hợp còn lại cho $A(0;-3)$ loại. Đường thẳng $AB$ đi qua $B(-1;0)$ với pháp tuyến $(3;1)$: $3(x+1)+1(y-0)=0\iff 3x+y+3=0$ → c) Đúng. Hoành độ của $A$ là $-2$ → d) Đúng. Kết quả Sai–Đúng–Đúng–Đúng khớp với đáp án nguồn SDDD (mã đề 210).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(3;1)$ nên $BC=\sqrt{10}\ne \sqrt{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình vuông có $AB\perp BC$ nên $\overrightarrow{BC}=(3;1)$ là pháp tuyến của $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AB$ qua $B(-1;0)$, pháp tuyến $(3;1)$: $3(x+1)+y=0\iff 3x+y+3=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}=(-1;3)$ (để $A$ có hoành độ âm) nên $A=(-2;3)$, hoành độ $-2$.

Ta có $S_{ABC}=3S_{ABM}\iff \frac{1}{2}BC\cdot d(A,BC)=3\cdot \frac{1}{2}BM\cdot d(A,BC)\iff BC=3.BM$.
Gọi $M(x;y)\Rightarrow \overrightarrow{BM}=(x-2;y-1)$ và $\overrightarrow{BC}=(-3;-3)$.
Vì M nằm giữa $BC$ nên $\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BM}\iff \{\begin{array}{l}-3=3(x-2)\\ -3=3(y-1)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}\Rightarrow M(1;0)$. — 0,25 điểm.
Đường thẳng $AM$ đi qua điểm $A(3;4)$ và có vtcp $\overrightarrow{AM}=(-2;-4)$ nên có vttp $\overrightarrow{n_{AM}}=(4;-2)$.
Phương trình tổng quát $AM:2x-y-2=0$ — 0,25 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của AB là $\overrightarrow{AB}=(-3-1;2-(-2))=(-4;4)$, nên vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(1;1)$. Phương trình đường thẳng AB: $1(x-1)+1(y+2)=0\iff x+y+1=0$. Kiểm tra: $B(-3;2)$: $-3+2+1=0$ thỏa. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 210, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) $AB=\sqrt{(1-(-1){)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ → Đúng. b) Hình vuông nên $BC\perp AB$, do đó $\overrightarrow{AB}=(2;2)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC → Đúng. c) Đường thẳng BC đi qua B(1;2) với VTCP $(1;-1)$: $x+y-3=0$, không phải $x+y+3=0$ → Sai. d) $\overrightarrow{BC}$ cùng độ dài $2\sqrt{2}$, hướng vuông góc $AB$: $C=(1+2;2-2)=(3;0)$ (chọn hoành độ dương), vậy hoành độ C bằng 3 ≠ 2 → Sai. Kết quả Đ-Đ-S-S khớp đáp án chính thức.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì ABCD là hình vuông nên $BC\perp AB$, tức $\overrightarrow{AB}=(2;2)$ là pháp tuyến của BC.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC qua B(1;2), pháp tuyến $(2;2)$: $2(x-1)+2(y-2)=0\iff x+y-3=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(2;-2)$ nên $C=(3;0)$, hoành độ C bằng 3.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tham số của đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1-4t\\ y=-2+3t\end{array}$ có dạng $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$, trong đó vecto chỉ phương là $\vec{u}=(a;b)$ - chính là hệ số của $t$. Ở đây $a=-4$, $b=3$, nên $\vec{u}=(-4;3)$. Đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 110 câu 2.

1) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}\iff \{\begin{array}{l}{x}_D+2=-3\\ y_D-4=-2\end{array}$ — 0,25 điểm. $\iff \{\begin{array}{l}{x}_D=-5\\ y_D=2\end{array}\Rightarrow D(-5;2)$ — 0,25 điểm.
2) Vì $\Delta$ vuông góc $d:x-3y+2=0$ nên PTTQ của $\Delta$ có dạng $3x+y+c=0$ — 0,25 điểm. Mà $M(-2;3)\in \Delta$ nên ta có $3.(-2)+3+c=0\iff c=3$. Vậy PTTQ của $\Delta$ là $3x+y+3=0$ — 0,25 điểm.

Ta có $S_{ABC}=3S_{ABM}\iff \frac{1}{2}BC.d(A,BC)=3.\frac{1}{2}BM.d(A,BC)\iff BC=3.BM$.
Gọi $M(x;y)\Rightarrow \overrightarrow{BM}=(x+2;y+1)$ và $\overrightarrow{BC}=(3;3)$.
Vì M nằm giữa $BC$ nên $\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BM}$: $\{\begin{array}{l}3=3(x+2)\\ 3=3(y+1)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=0\end{array}\Rightarrow M(-1;0)$. — 0,25 điểm.
Đường thẳng $AM$ đi qua điểm $A(3;2)$ và có vtcp $\overrightarrow{AM}=(-4;-2)$ nên có vtpt $\overrightarrow{n_{AM}}=(2;-4)$.
Phương trình tổng quát $AM:x-2y+1=0$ — 0,25 điểm.

(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}=(3-1;2-(-2))=(2;4)$, chọn VTPT $\vec{n}=(2;-1)$. Đường thẳng $AB$ qua $A(1;-2)$: $2(x-1)-1(y+2)=0\iff 2x-y-4=0$. Kiểm tra $B(3;2)$: $6-2-4=0$ đúng. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 110, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II): a) Đường thẳng Δ: 2x−5y+4=0 có VTCP (5;2) → đúng. b) VTCP của MN là N−M=(−3;2), nên phương trình tham số phải là x=2−3t, y=−1+2t; hệ đã cho dùng (2;3) → sai. c) Tâm đường tròn đường kính MN là trung điểm I=((2−1)/2;(−1+1)/2)=(1/2;0) ≠ (−3;2) → sai. d) Bán kính R=MN=√((−3)²+2²)=√13, đường tròn tâm M(2;−1): (x−2)²+(y+1)²=13 → đúng. Kết quả khớp đáp án mã 1102 (2a Đ, 2b S, 2c S, 2d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Δ: 2x−5y+4=0 có VTCP u=(5;2) vì u·n=5·2+2·(−5)=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
VTCP của MN là (−3;2), phương trình tham số đúng là x=2−3t, y=−1+2t, không phải x=2+2t, y=−1+3t.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm MN: I=(1/2;0), không phải (−3;2).
d) (AI giải đề cho tôi)
R=MN=√(9+4)=√13 nên (x−2)²+(y+1)²=13.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :2x+3y-12=0$ cắt trục hoành khi $y=0$, suy ra $2x-12=0\Rightarrow x=6$. Vậy hoành độ giao điểm là $6$, khớp với đáp án nguồn (Mã 1102, Phần III, câu 3: 6).

a) $\overrightarrow{AB}=(-1;-2)$
Đường thẳng $AB$ có vtpt $\vec{n}=(2;-1)$
$$\cos (AB;\Delta )=\frac{\left|4.2-1.3\right|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}.\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$
b) $d\parallel \Delta$ nên $d:4x+3y+C=0;C\ne 5$
$$d(B;d)=\frac{\left|7+C\right|}{5}=5$$
$$\iff \left|7+C\right|=25\iff \{\begin{array}{l}7+C=25\\ 7+C=-25\end{array}\iff \{\begin{array}{l}C=18\\ C=-32\end{array}$$
Vậy $d:4x+3y+18=0;4x+3y-32=0$
Ghi chú: Học sinh giải cách khác đúng thì được điểm tối đa của câu đó.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1+t\end{array}$ nên một véc tơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u}=(2;1)$ (tương ứng hệ số của $t$). Trong các đáp án, chỉ có $\overrightarrow{IG}=(2;1)$ là véc tơ chỉ phương của $d$. Đáp án D khớp với đáp án nguồn (Mã 1102, câu 6: D).